2023届高考数学二轮复习专题学案含答案共3套

这是一份2023届高考数学二轮复习专题学案含答案共3套，共29页。


探究三多得分，要想解题巧，数学思想离不了
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．
数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．
一 函数与方程思想
例1
[2022·全国甲卷]记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
听课笔记：
对接训练
1.f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________．
二 数形结合思想
例2
[2022·全国乙卷]双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs∠F1NF2＝，则C的离心率为( )
A． B．C． D．
听课笔记：
对接训练
2.已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
三 分类讨论思想
例3
[2022·北京卷]设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为________．
听课笔记：
对接训练
3.设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________．
四 转化与化归思想
例4
已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值．
听课笔记：
对接训练
4.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0B.g(－)＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
探究三 多得分，要想解题巧，数学思想离不了
一 函数与方程思想
[例1] 解析：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－.
当n＝1时，a1＝S1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－，∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.
等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，
∴an－an－1＝1.
∴{an}是公差为1的等差数列．
(2)由(1)可得an＝a1＋(n－1)．
∴a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8.
∵a4，a7，a9成等比数列＝a4·a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，∴a1＝－12，
∴Sn＝na1＋×1＝－12n＋＝n2－n.
当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，为×122－×12＝－78.
对接训练
1．解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥，
设g(x)＝，则g′(x)＝，所以g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
因此g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；
当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤，
设g(x)＝，且g(x)在区间[－1，0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
答案：4
二 数形结合思想
[例2] 解析：由题意，知点N在双曲线的右支上，不妨设点N在第一象限，如图．
设切点为点A，连接DA，则DA⊥MN，易知|DA|＝a，|DF1|＝c，则|AF1|＝＝b.过点F2作F2B⊥MN交直线MN于点B，则F2B∥DA.又因为点D为F1F2的中点，所以|F2B|＝2|DA|＝2a，|F1B|＝2|AF1|＝2b.由cs ∠F1NF2＝，得sin ∠F1NF2＝，tan ∠F1NF2＝，所以|F2N|＝＝，|BN|＝＝，所以|F1N|＝|F1B|＋|BN|＝2b＋.由双曲线的定义，得|F1N|－|F2N|＝2a，则2b－a＝2a，即＝.所以双曲线C的离心率e＝＝＝.故选C.
答案：C
对接训练
2.
解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
答案：C
三 分类讨论思想
[例3] 解析：当a<0时，f(x)＝－ax＋1(x答案：0(答案不唯一) 1
对接训练
3．解析：因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝＞0，
即＞0(n∈N*)，则有 ①
或 ②
由①得－1＜q＜1，由②得q＞1.
故q的取值范围是(－1，0)
答案：(－1，0)
四 转化与化归思想
[例4] 解析：∵当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
∴f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.
∴原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m)．∵h′(x)＝－1≤0，
∴函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.∴要使得对任意x∈[1，m]，t值恒存在，只需1＋ln m－m≥－1.∵h(3)＝ln 3－2＝ln >ln ＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln ∴满足条件的最大整数m的值为3.
对接训练
4．解析：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x)．令t＝－2x，则x＝，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x)．对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图像关于点(，0)对称，即g()＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图像关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－)＝2，所以g()＝g(－)＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图像关于点(2，)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图像关于直线x＝对称，所以f(x)的周期为4×(2－)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2)．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图像不关于直线x＝对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.
答案：BC
探究二少失分，保住基本分才能得高分
选择、填空在高考中属于保分题目，只有“保住基本分，才能得高分”．在平时的训练中，针对选择、填空题，要做到两个方面：
一是练准度：高考中遗憾的不是难题做不出来，而是简单题和中档题做错，会做的题目没做对，平时训练一定要重视选择、填空的正确率．
二是练速度：提高选择、填空题的答题速度，能为攻克后面的解答题赢得充足时间．
方法一直接法
(1)直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得出结果．
(2)拿到一个选择题应根据其所提供信息，迅速确定最佳解法．而高考卷中大部分选择题需要用直接法求解．
(3)直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些形成结论的应用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质．
例1
(1)[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100πB．128π
C．144πD．192π
(2)[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.
听课笔记：
对接训练
1.[2022·新高考Ⅱ卷](多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点(，0)中心对称，则( )
A．f(x)在区间(0，)单调递减
B．f(x)在区间(－)有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
2．[2022·全国甲卷]设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
方法二排除法
排除法也叫淘汰法，就是充分运用单项选择题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个正确．
例2
(1)[2022·全国甲卷]函数y＝(3x－3－x)csx在区间的图象大致为( )
(2)[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是( )
A．B．
C．D．
听课笔记：
对接训练
3.设函数f(x)＝，则满足f(x)＋f(x－)＞1的x的取值范围是( )
A．(－∞，) B．()
C．(－∞，) D．(，＋∞)
4．[2022·全国乙卷]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )
A．y＝B．y＝
C．y＝D．y＝
方法三特值、特例法
(1)特值、特例法是解答单项选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
(2)当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
例3
(1)[2022·广东华南师大附中三模](多选)如果aA．a＋dbd
C．ac2>bc2D．<
(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A．3∶1B．2∶1
C．4∶1D．∶1
听课笔记：
对接训练
5.已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，若过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＝( )
A.3B．4
C．5D．
6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________．
方法四数形结合法
(1)“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．
(2)对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果．
例4
(1)[2021·新高考Ⅱ卷](多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是( )

A B

C D
(2)[2022·全国甲卷]设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A．B．
C．D．
听课笔记：
对接训练
7.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－2)＝－f(x)，且在区间[0，1]上是增函数，若方程f(x)＝m在区间[－4，4]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值可能为( )
A．0B．2
C．4D．－4
8．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
方法五构造法
构造法就是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例5
(1)[2022·全国甲卷]已知a＝，b＝cs，c＝4sin，则( )
A．c>b>aB．b>a>c
C．a>b>cD．a>c>b
(2)
如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
听课笔记：
对接训练
9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(－∞，－1)
D．(0，1)
10．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个正四面体的表面积为________．
方法六估值法
有些问题(主要针对单项选择题)，由于条件限制，无法(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，而只能依赖于估算．估算实质上是一种粗略的算法，它以正确的算理为基础，通过合理观察、比较、推理、判断，从而做出正确的判断；也即把有关的数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或做出一个估计．
例6
(1)[2022·河北保定一模]已知a＝，b＝lg37，c＝ln27，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b(2)
[2019·全国卷Ⅰ]古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )
A．165cmB．175cm
C．185cmD．190cm
听课笔记：
对接训练
11.做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理(够用，且浪费最少)的是( )
A．4.6mB．4.8m
C．5mD．5.2m
12.
如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A．B．5
C．6D．
探究二 少失分，保住基本分才能得高分
方法一 直接法
[例1] 解析：(1)设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
(2)不妨设P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
答案：(1)A (2)x＝－
对接训练
1．解析：由题意，得f＝sin (＋φ)＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以φ＝.故f(x)＝sin (2x＋)．选项A，当x∈(0，)时，2x＋∈()．由y＝sinu的图象，知y＝f(x)在区间(0，)上单调递减，故正确．选项B，当x∈(－)时，2x＋∈()．由y＝sinu的图象，知y＝f(x)在区间(－)内只有1个极值点，故错误．选项C，当x＝时，2x＋＝3π，则f＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故错误．选项D，令f′(x)＝2cs (2x＋)＝－1，得cs (2x＋)＝－，则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z.所以函数y＝f(x)的图象在点(0，)处的切线斜率为f′(0)＝2cs＝－1，切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，故正确．选AD.
答案：AD
2．解析：因为cs〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
答案：11
方法二 排除法
[例2] 解析：(1)设函数f(x)＝(3x－3－x)csx，则对任意x∈[－]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cs (－x)＝－(3x－3－x)csx＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cs1＝cs1＞0，所以排除C选项．故选A.
(2)因为函数y＝sinx的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋，
对于函数f＝7sin，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则⊆⊄，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为，
⊄且⊄⊄，CD选项均不满足条件．
故选A.
答案：(1)A (2)A
对接训练
3．解析：当x＝1时，f(1)＋f()＝0＋＝＜1，由此排除D选项．当x＝0时，f(0)＋f(－)＝1＋＞1，由此排除B选项．当x＝时，f()＋f(0)＝＋1＝＞1，由此排除A选项．综上所述，选C.
答案：C
4．解析：对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝＝cs3.因为cs3>－1，所以cs3>－，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝>0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
答案：A
方法三 特值、特例法
[例3] 解析：(1)取a＝c＝－2，b＝d＝－1，则a＋d＝b＋c＝－3，ac2＝－8，bc2＝－4，故AC不正确；
因为－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，所以ac＞bd，故B正确；
因为c＜d，＜0，所以＜，故D正确．
故选BD
(2)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.
答案：(1)BD (2)B
对接训练
5．解析：由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．
方法一 如图1，PQ∥BC，则＝＝，此时m＝n＝，故＝3.故选A.
方法二 如图2，取直线BE作为直线PQ，显然，此时＝＝，故m＝1，n＝，所以＝3.故选A.
答案：A
6．解析：a1，a3，a9的下标成等比数列，故可令an＝n，又易知它满足题设条件，于是＝.
答案：
方法四 数形结合法
[例4] 解析：(1)设正方体的棱长为2，
如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝，
故MN⊥OP不成立，故A错误．
如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCM­NADT可得SN⊥平面ANTD，而OQ⊂平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN＝N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN⊂平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ＝Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．
如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确．
如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，
则AC∥MN，
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，
PO＝＝＝，QO2故PO，MN不垂直，故D错误．故选BC.
(2)因为f(x)＝sin，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)时，f(x)取得极值．又因为f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以解得＜ω≤.当ωx＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)时，f(x)＝0.又因为f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，所以解得＜ω≤.综上可得，ω的取值范围是.故选C.
答案：(1)BC (2)C
对接训练
7．解析：
根据题意，函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，且f(x－2)＝－f(x)＝f(－x)，则函数f(x)的对称轴为x＝－1.又由f(x)是奇函数，则x＝1也是函数f(x)的对称轴，x∈[0，1]时，函数f(x)是增函数，据此作出函数f(x)的简图，若方程f(x)＝m在区间[－4，4]上有四个不同的根，必有m≠0，分2种情况讨论：①当m>0时，方程f(x)＝m(m>0)在区间[－4，4]上的四个不同的根，两两分别关于x＝－3和x＝1对称，不妨设x1答案：CD
8．解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y－c代入并整理，得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|DE|＝＝·＝＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.
答案：13
方法五 构造法
[例5] 解析：(1)a－c＝－4sin＝1－－.不妨设f(x)＝1－x2－＝.令h(x)＝x－x3－sinx，则h′(x)＝1－x2－csx．令g(x)＝1－x2－csx，则g′(x)＝－3x＋sinx．当x∈时，sinx＜3x，所以当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减，所以当x∈时，g(x)＜g(0)＝0，所以当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在上单调递减．所以当x∈时，h(x)＜h(0)＝0，所以当x∈时，f(x)＜0，所以f＜0，即a＜c.结合四个选项，排除B，C，D.故选A.
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，
所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
答案：(1)A (2)π
对接训练
9．解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，
由题意知，当x>0时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0.
∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0，1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.
又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)，(x≠0)
∴g(x)是偶函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)<0，从而f(x)>0；
当x∈(－1，0)时，g(x)>0，从而f(x)<0.
综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)
答案：A
10．解析：
将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示．设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，得R＝.∵正四面体的外接球和正方体的外接球是同一个球，∴a＝2R＝2，∴a＝2，∵正四面体ABCD的每条棱长均等于正方体的面对角线长，∴正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16.
答案：16
方法六 估值法
[例6] 解析：(1)因为2＝＜a＝＜＝3，b＝lg37＜lg39＝2，c＝ln27＞lne3＝3，所以b＜a＜c，故选B.
(2)26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178 (cm)，故其身高可能是175cm，故选B.
答案：(1)B (2)B
对接训练
11．解析：设两直角边分别为a，b，则ab＝1，∴ab＝2.
∴a＋b＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
∵2＋2≈4.828，∴钢管长度选5m最合理．
故选C.
答案：C
12．解析：连接BE，CE，四棱锥E－ABCD的体积为VE－ABCD＝×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥E－ABCD的体积，即所求几何体的体积V>VE－ABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有，故选D.
答案：D
探究四高考数学文化与人文价值
情境问题 近三年来，高考试题紧密联系生活实际与“五育”结合，与社会热点结合，与生产、生活实际结合，与现代前沿科学技术结合，以考查学生基础知识和基本能力为主线，注重基础性、综合性和应用性，强调以素养为导向，突出考查数学建模、数据分析、逻辑推理和数学运算等核心素养．
情境一 紧跟社会热点
例1
[2022·北京卷]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是( )
A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
听课笔记：
对接训练
1.北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约7小时后，神舟十四号载人飞船与中国空间站成功对接．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v(单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v＝ωln (1＋)来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m(单位：吨)表示它装载的燃料质量，M(单位：吨)表示它自身(除燃料外)质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比约为( )
A．e1.58－1B．e1.58
C．e0.58－1D．e0.58
情境二 关注经济发展
例2
[2022·湖南永州模拟]“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则( )
A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍
B．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
C．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
D．该直播间第三季度服装收入低于前两季度的服装收入之和
听课笔记：
对接训练
2.为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A、B两种小商品．当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A、B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝x，g(x)＝5ln (x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A、B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投________千元．
情境三 聚焦科技前沿
例3
[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，….依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)，则( )
A．b1C．b6听课笔记：
对接训练
3.第六届世界互联网大会发布了15项世界互联网领先科技成果，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端AI芯片、思元270、赛灵思的Versa自适应计算加速平台．现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择芯片领域的概率为( )
A.B．
C．D．
情境四 结合生产实践
例4
[2020·新高考Ⅰ卷]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.
听课笔记：
对接训练
4.[2022·全国甲卷]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
情境五 渗透数学文化
例5
[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝( )
A．0.75B．0.8
C．0.85D．0.9
听课笔记：
对接训练
5.[2022·全国甲卷]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝( )
A．B．
C．D．
情境六 强调五育并举
例6
2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2)．已知R＝＋1，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为( )
A．B．
C．D．
听课笔记：
对接训练
6.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为( )
A．60种B．50种
C．30种D．24种
探究四 情景问题
[例1] 解析：当P＝1 026时，lg 103答案：D
对接训练
1．解析：由题意，v＝7.9，ω＝5代入v＝ωln (1＋)可得
7．9＝5ln (1＋)⇒ln (1＋)＝1.58，
故1＋＝e1.58，∴＝e1.58－1.
故选A.
答案：A
[例2] 解析：对于选项A，因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的2×2＝4倍，故A错误；
对于选项B，设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为2a，4a，
第二季度的化妆品收入为2a×20%＝0.4a，第三季度的化妆品收入为4a×30%＝1.2a，
所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的＝，故B正确；
对于选项C，第一季度的化妆品收入为a×10%＝0.1a，所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的＝，故C错误；
对于选项D，第一、二季度服装收入和为a＋2a－0.1a－0.4a＝2.5a，第三季度服装收入为4a－1.2a＝2.8a，故D错误．
答案：B
对接训练
2．解析：设投入经销B商品的资金为x千元(0≤x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)千元，所获得的收益为S(x)千元，
则S(x)＝(5－x)＋5ln (x＋1)＝5ln (x＋1)－x＋5(0≤x≤5)，
可得S′(x)＝－1＝，
当0≤x<4时，可得S′(x)>0，函数S(x)单调递增；
当4所以当x＝4时，函数S(x)取得最大值，最大值为S(4)＝5ln 5＋1，
所以当投入B商品的资金为4千元，投入经销A商品的资金为1千元时，
此时总收益最大为1＋5ln 5千元．
答案：1
[例3] 解析：方法一 因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<≤1，所以α1<α1＋，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋.
设＝t1，所以α2＋>α2＋，
则α1＋<α1＋，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋.
设＝t2，所以α1＋>α1＋，所以b2设＝t3，所以α3＋>α3＋，则α2＋<α2＋，所以α1＋>α1＋，所以b4方法二 此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．
由αk∈N*，可令αk＝1，则b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b5＝，b6＝，b7＝，b8＝.对比四个选项，可知选D.
答案：D
对接训练
3．解析：现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则基本事件总数n＝15×15×15＝3 375，至少有1名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域，则至少有1名学生选择芯片领域的概率P＝1－＝.
答案：D
[例4] 解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形，又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF′＝5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，∴OA＝2，则阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2＝(cm2)．
答案：＋4
对接训练
4．解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差＝×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.
答案：B
[例5] 解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且＝0.725，即＝0.725，解得k3＝0.9.故选D.
答案：D
对接训练
5．解析：连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝×2＝，则CD＝2－，所以的弧长的近似值s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
答案：B
[例6] 解析：如图，A，B是两圆心，C，D是两圆交点坐标，四边形ACBD边长均为＋1，又AB＝＋2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，四边形ACBD是正方形，
R＝＋1，
弓形面积为S′＝πR2－R2，两个弓形面积为2S′＝－R2，
两圆涉及部分面积为S＝2πR2－＝πR2＋R2，
所以所求概率为P＝＝＝.
答案：B
对接训练
6．解析：据题意乒乓球兴趣小组报名人数可能是1人也可能是2人，总方法为：＝30.
答案：C
函数思想
方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决
方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想
借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
分类讨论的原则
分类讨论的常见类型
(1)不重不漏
(2)标准要统一，层次要分明
(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论
(1)由数学概念而引起的分类讨论
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论
(5)由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略
转化与化归的原则
常见的转化与化归的方法
(1)熟悉化原则 (2)简单化原则 (3)直观化原则 (4)正难则反原则
(1)直接转化法 (2)换元法 (3)等价转化法 (4)构造法 (5)正难则反法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法