2023届高考数学二轮复习专题四立体几何第4讲空间向量与距离、探索性问题课件

这是一份2023届高考数学二轮复习专题四立体几何第4讲空间向量与距离、探索性问题课件，共30页。PPT课件主要包含了热点一空间距离等内容，欢迎下载使用。

感悟高考 明确备考方向
1.[探索性问题](2021·全国甲卷,T19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE;
1.[探索性问题](2021·全国甲卷,T19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
2.[探索条件问题](2022·全国乙卷,T18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;
(1)证明:因为AD=CD,E为AC的中点,所以AC⊥DE;在△ABD和△CBD中,因为AD=CD,∠ADB=∠BDC,DB=DB,所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点,所以AC⊥BE.又因为DE,BE⊂平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED,因为AC⊂平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
2.[探索条件问题](2022·全国乙卷,T18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
高考对空间距离的考查既有客观题也有解答题,处理方法常有两种:(1)等体积法;(2)空间向量法.难度中等或偏上;对探索性问题的考查常以解答题的形式出现,难度中等偏上.
突破热点 提升关键能力
典例1　(2022·北京一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,M为线段A1C1上一点.(1)求证:BM⊥AB1;
典例1　(2022·北京一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,M为线段A1C1上一点.
点面距的求解步骤(1)求出该平面的一个法向量.(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.
(1)求证:QB∥平面PDC;
(2)求二面角C-PB-Q的大小;
热点二　空间中的探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类:一类是探究线面的位置关系;另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则:先建立空间直角坐标系,引入参数(有些是题中已给出),设出关键点的坐标,然后探究这样的点是否存在,或参数是否满足要求,从而做出判断.
典例2　(2022·江苏连云港二模)如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是正三角形,平面ABC⊥平面BCD,BD⊥CD,点E,F分别是BC,DC的中点.(1)证明:平面ACD⊥平面AEF;
(1)证明:因为△ABC是正三角形,点E是BC的中点,所以AE⊥BC,又因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊂平面ABC,所以AE⊥平面BCD,又因为CD⊂平面BCD,所以CD⊥AE,因为点E,F分别是BC,CD的中点,所以EF∥BD,又因为BD⊥CD,所以CD⊥EF,又因为AE∩EF=E,AE,EF⊂平面AEF,所以CD⊥平面AEF,又因为CD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面AEF.
典例2　(2022·江苏连云港二模)如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是正三角形,平面ABC⊥平面BCD,BD⊥CD,点E,F分别是BC,DC的中点.(2)若∠BCD=60°,点G是线段BD上的动点,问:点G运动到何处时,平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立,再在这个前提下进行推理,如果能推出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,并可进一步证明,否则假设不成立.(2)探索线段上是否存在满足条件的点时,一定注意三点共线的条件的应用.
热点训练2　 (2022·广西桂林二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.(1)求证:平面AEF⊥平面PBC;
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,因为底面ABCD为正方形,所以AB⊥BC,又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为AE⊂平面PAB,所以AE⊥BC,因为PA=AB,E为线段PB的中点,所以AE⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC,又AE⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.
热点训练2　 (2022·广西桂林二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.(2)试确定点F的位置,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.