初中冀教版22.4 矩形精品课件ppt

教学目标

1.探索并证明矩形的判定定理；

2.灵活运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形.

教学重难点

重点：探索并证明矩形的判定定理；

难点：灵活运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形.

教学过程

旧知回顾

回忆矩形的性质：

除具备平行四边形的一切性质外，另有特性：

①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形.

导入新课                           

 问题情境：

木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？

你现在有办法帮他吗?

今天我们来学习矩形的判定，教师板书课题.

探究新知 

矩形的判定

（一）矩形的判定方法1（定义法）

由定义入手：

分析矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

由定义识别：∵ 四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，

∴ ABCD是矩形.

（二）矩形的判定定理1，2

一起探究

我们知道矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形有几个角是直角就能判定它是矩形呢？（小组合作，完成猜想并进行证明）

猜想：

有一个角是直角的四边形是矩形吗？

有两个角是直角的四边形是矩形吗？

有三个角是直角的四边形是矩形吗？

请观察下面三幅图，提出你的猜想.

猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.

已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

证明：∵ ∠A＝∠B＝90°，

∴ ∠A+∠B＝180°，

∴ AD∥BC.

同理可得AB∥CD.

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

又∵ ∠A＝90°，

∴ 四边形ABCD是矩形.

归纳

矩形的判定定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形.

几何语言：

在四边形ABCD中，

∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴ 四边形ABCD是矩形.

猜想：对角线相等的平行四边形是矩形吗？

请你画一个对角线相等的平行四边形，观察所画图形并提出你的猜想.

猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.

已知：在ABCD中，AC＝BD.

求证：ABCD是矩形.

证明：∵ 在ABCD中，AB＝DC，BC＝CB，且AC＝DB，

∴ △ABC≌△DCB（SSS），

∴ ∠ABC＝∠DCB.

∵ AB∥CD，∴ ∠ABC+∠DCB＝180°，

∴ ∠ABC＝∠DCB＝90°.

又∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ ABCD是矩形.

归纳

矩形的判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形.

几何语言：

在平行四边形ABCD中，∵ AC＝BD，

∴ 平行四边形ABCD是矩形.

议一议

对角线相等的四边形是矩形吗？答案是否定的，反例如下图：

（三）总结矩形常用的判定方法

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

下面我们用一个简单的图示来展示矩形的判定方法的使用.

解决问题

现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？（学生讨论，展示成果）

方案：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，那么窗框符合规格.

方案：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，那么窗框符合规格.

方案：分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边的长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格.

（四）例题讲解

例　已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别为OB，OC，OD，OA的中点.

求证：四边形EFGH是矩形.

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AC＝BD，且OA＝OC，OB＝OD，

∴ OA＝OC＝OB＝OD.

又∵ 点E，F，G，H分别为OB，OC，OD，OA的中点，

∴ OE＝OG＝OH＝OF，

∴ 四边形EFGH是平行四边形.

又∵ EG＝OE+OG＝OH+OF＝HF，

∴ 平行四边形EFGH是矩形.

变式训练

已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.

求证：四边形EFGH是矩形.

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AO＝BO＝CO＝DO.

又∵ AE＝BF＝CG＝DH，

∴ OE＝OF＝OG＝OH，

∴ 四边形EFGH是平行四边形.

又∵ EO+OG＝FO+OH，

即EG＝FH，

∴ 四边形EFGH是矩形.

练习

1.下列说法是否正确？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形.（　×　）

（2）四个角都相等的四边形是矩形.（　√　）

（3）四个角都是直角的四边形是矩形.（　√　）

（4）对角线相等的四边形是矩形.（　×　）

（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（　√　）

（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形.（　√　）

2.已知：如图，在四边形ABCD中，AO＝BO＝CO＝DO，试说明四边形ABCD是矩形.

证明：∵ AO＝BO＝CO＝DO，

∴ AO＝CO，BO＝DO.

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

又∵ AO+CO＝BO+DO，即AC＝BD，

∴ 平行四边形ABCD是矩形.

课堂小结

矩形的判定方法

1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

布置作业

完成教材第139页习题A组，B组.

板书设计

第二十二章　四边形

22.4　矩　形

第2课时　矩形的判定