河南省濮阳市范县实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

河南省濮阳市范县实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C．D．

2．已知函数 y＝（m＋2）是二次函数，则 m 等于（ ）

A．±2 B．2 C．－2 D．±

3．下列抛物线中，过原点的抛物线是（　　）

A．

 B．y=x+12 C．y=x2+x D．

4．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是（   ）

A．70° B．65° C．60° D．55°

5．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

6．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限．

A．四 B．三 C．二 D．一

7．我县九州村某梨园2016年产量为1000吨，2018年产量为1440吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为x，则根据题意可列方程为

A．1440(1-x)2= 1000 B．1440(1+x)2= 1000

C．1000(1-x)2= 1440 D．1000(1+x)2= 1440

8．已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，则关于x的方程的两实数根分别是　　

A．1和 B．1和 C．1和2 D．1和3

9．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是　　

A．且 B． C． D．

10．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　   　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程__________．

12．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______．

13．已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为______．

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____．

三、解答题

16．解方程

(1)

(2)

17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；

（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．

18．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．

(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 ．

19．已知抛物线的顶点为，与y轴交点为

求该抛物线的解析式，并画出抛物线的草图无需列表，要求标出抛物线与坐标轴的交点坐标．

观察图象，写出当时，自变量x的取值范围．

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE的长．

21．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：      或者      ．

（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

22．某花木公司在20天内销售一批马蹄莲．其中，该公司的鲜花批发部日销售量y1(万朵)与时间x(x为整数,单位:天)部分对应值如下表所示．

另一部分鲜花在淘宝网销售，网上销售日销售量y2(万朵)与时间x(x为整数,单位:天) 关系如下图所示．

（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与x的变化规律，写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）观察马蹄莲网上销售量y2与时间x的变化规律，请你设想商家采用了何种销售策略使得销售量发生了变化，并写出销售量y2与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（3）设该花木公司日销售总量为y万朵，写出y与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总量y最大，并求出此时最大值．

23．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在（其中是一个可以变化的角）中，，以为边在的下方作等边，求的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将逆时针旋转得到，连接，当点A落在上时，此题可解（如图2）．

(1)请你回答：的最大值是           ．

(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰．边，P为内部一点，请写出求的最小值长的解题思路．

提示：要解决的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把绕B点逆时针旋转，得到．

①请画出旋转后的图形

②请写出求的最小值的解题思路（结果可以不化简）．

参考答案及解析

1．B

【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”

根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.

故选：B.

2．B

【详解】解：∵是二次函数，

∴m2-2=2，且m+2≠0，

∴m=2，

故选B．

3．C

【分析】分别求出时的值，即可判断是否过原点．

【详解】解：A、中，当时，，不过原点；

B、中，当时，，不过原点；

C、中，当时，，过原点；

D、中，当时，，不过原点；

故选：C．

【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．

4．B

【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．

【详解】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，

∴AC=A′C，

∴△ACA′是等腰直角三角形，

∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC

∴∠BAA′=180°-70°-45°=65°，

故选：B．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

5．C

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．

【详解】解：∵抛物线抛物线的开口向上，对称轴为直线，

而离直线的距离最近，点离直线最远，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

6．D

【分析】首先根据方程无实数根，求出m<-1，再判断一次函数的图象经过的象限问题．

【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，

∴△=4+4m<0，

即m<-1，

∴一次函数的比例系数m+1<0，

图像经过二四象限，

截距m-1<0，

则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限

∴一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限，

故选D．

【点睛】本题考查了根的判别式、一次函数的图象，解题的关键是求出m的取值范围．

7．D

【分析】设该梨园梨产量的年平均增长量为x，根据该梨园2016年及2018年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】设该梨园梨产量的年平均增长量为x，

根据题意得： 1000(1+x)2=1440.

故选D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程-增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．B

【详解】解：y=x2+x+c，

﹣=﹣，

即二次函数图象的对称轴是直线x=﹣ ，

设二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是a，

∵二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），

∴1﹣（﹣）=﹣﹣a，

解得：a=﹣2，

∴关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是1和﹣2，

故选B．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解答关键是关键是掌握二次函数的对称性.

9．A

【详解】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．

解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，

∴，且，

解得，b<1且b≠0.

故选A.

10．B

【详解】解：∵抛物线与交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=，故①正确；

∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误；

当y=3时，3=，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；

∵=时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．

故选B．

点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．

11．

（答案不唯一）

【分析】根据一元二次方程的定义、根与系数的关系，即可得出答案．

【详解】一元二次方程的一般形式为，由题意二次项系数为1，即，并且一个根是3，可令，这样的一元二次方程为，

故答案为：．

【点睛】本题一元二次方程的定义、根与系数的关系，熟练掌握基本知识是解题的关键．

12．24

【详解】解：x2﹣14x+48=0，

则有（x-6）(x-8)=0

解得：x=6或x=8．

所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．

菱形的面积为：24．

故答案为：24．

【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．

13．>

【分析】先根据顶点式得到抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断．

【详解】抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，

所以点，，到直线的距离分别为5和2，

所以．

故答案为．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.

14．8

【分析】先依据配方法确定出抛物线的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出AC的最小值即可.

【详解】(x-3)2+8，

抛物线的顶点坐标为．

的最小值为8．

的最小值为8．

故答案为8．

【点睛】本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键．

15．45°

【详解】如图，连接OA，∠ACO=45°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠OAC=45°，

∴∠AOC=90°，

∵∠B和∠AOC分别是所对的圆周角和圆心角，

∴∠B=∠AOC=45°，

故答案为：45°

16．(1)

(2)

【分析】根据解一元二次方程的方法﹣因式分解法解方程即可．

【详解】（1）因式分解得，

∴或，

∴，；

（2），

，

∴或，

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．

17．（1）画图见解析，A1（－2，－4），B1（－1，－1），C1（－4，－3）；（2）见解析

【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．

【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

A1（－2，－4），B1（－1，－1），C1（－4，－3）．

（2）如图，△A2BC2即为所求．

【点睛】本题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．

18．(1)证明见解析； (2)5+

【分析】（1）方程为一元二次方程，计算出根的判别式，由此即可得出结论；

（2）根据勾股定理可以解得，算出的周长.

【详解】（1）方程为一元二次方程，

∴一元二次方程有两个实数根.

即：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根．

（2）由题意：

在中，

(不合题意，舍去)

的周长

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.

19．（1）y=-(x-1)2+4；（2）或．

【分析】根据顶点坐标设其顶点式，再将代入求解可得；

根据函数图象知，时x的范围即为抛物线位于x轴下方部分对应的x的范围，据此可得．

【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4，

将点代入，得．

解得，

抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，其函数图象如下：

由函数图象知，时x的范围即为抛物线位于x轴下方部分对应的x的范围，

或．

【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次不等式间的关系．

20．

【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理求得即可．

【详解】解：连接，如下图：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴

由题意可得：

由勾股定理可得：

故答案为：

【点睛】此题考查了圆的垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解．

21．（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC；（2）EF是⊙O的切线

【分析】（1）若EF是切线，则AB⊥EF，添加的条件只要能使AB⊥EF即可；

（2）作直径AM，连接CM，理由圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角即可．

【详解】（1）∠BAE＝90°；∠CAE＝∠B ；

（2）EF是⊙O的切线．

作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，

∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，

∵∠CAE＝∠B，

∴∠CAM＋∠CAE＝90°，

∴AE⊥AM，

∵AM为直径，

∴EF是⊙O的切线．

22．（1）（0≤x≤20）；

（2）销售8天后，该花木公司采用了降价促销（或广告宣传）的方法吸引了淘宝买家的注意力，日销量逐渐增加．；

（3）第12天，日销售总量最大，最大值为32万朵．

【分析】（1）由图表数据观察可知y1与x之间是二次函数关系，设将（4，16）代入即可求得结果；

（2）仔细分析图象特征结合待定系数法求函数关系式进行求解即可；

（3）先求出y关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：（1）由图表数据观察可知y1与x之间是二次函数关系，

设将（4，16）代入得：

∴y1与x函数关系式为（0≤x≤20）；

（2）销售8天后，该花木公司采用了降价促销（或广告宣传）的方法吸引了淘宝买家的注意力，日销量逐渐增加，；

（3）当0≤x≤8时，

∵抛物线开口向下，x的取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而增大，

∴当x=8时y有最大值为28

当8<x≤20时，

∵抛物线开口向下，顶点在x的取值范围内

∴当x=12时y有最大值为32

∴该花木公司销售第12天，日销售总量最大，最大值为32万朵．

【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

23．(1)6

(2)①作图见解析，②，解题思路见解析

【分析】（1）由旋转得到，有是等边三角形，当点三点共线时，，最大即可；

（2）由旋转得到结论，只有，四点共线时，（）最短，即线段最短，根据勾股定理，即可．

【详解】（1）解：∵逆时针旋转得到，

∴

∴是等边三角形，

∴，

在中，，即，

则当点三点共线时，，

即，

即的最大值是：6；

故答案是：6．

（2）①旋转后的图形如图1；

②如图2，

∵是等腰三角形，∴．

以B为中心，将逆时针旋转得到．则，，

∴．

∵当四点共线时，最短，即线段最短，

∴，

∴长度即为所求．

过作延长线于D．

∵（由旋转可知），

∴．

∵，

∴，

∴；

在中，．

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点．