河南省濮阳市清丰县2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题

这是一份河南省濮阳市清丰县2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题，共21页。试卷主要包含了 给出一种运算，如图等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间 100分钟；
2.试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试
卷上的答案无效。
3. 答卷前请将答题卡上考生信息填写清楚。
一、选择题(每小题3分， 共30分)
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
题卡的相应位置上】
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2.下列方程中是一元二次方程的是
A. xy+2=1 B.x2+12x-9=0
C.x²=0 D.ax²+bx+c=3
3.对于二次函数 y=x-1²+2的图象，下列说法正确的是
A.开口向下 B.对称轴是x=-1
C. 顶点坐标是(-1,2) D. 与x轴无交点
4.观察下列表格，估计一元二次方程 x²+3x-5=0的一个解在
A.-1 和 0 之间 B.0和1之间
C.1 和 2 之间 D.2 和 3 之间
5. 给出一种运算：对于函数 y=xⁿ,规定 y'=nxⁿ⁻¹.例如：若函数y=x⁴,则有 y'=4x³.已知函数 y=x³,则方程 y'=12的解是
A.x₁=4,x₂=-4 B.x₁=2,x₂=-2
C.x₁=x₂=0 D.x1=23,x2=-23
6.某校办工厂生产的某种产品，今年产量为 200件，计划通过改革技术，使今后两年的
产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到 1400件.若设这个百分数
为x，则可列方程
A.200+2001+x²=1400 B.200+2001+x+2001+x²=1400
C.2001+x²=1400 D.2001+x+2001+x²=1400
7.在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax²+ka≠0与y=kx+a(k≠0)的图象可能是
8.点 P是正方形ABCD边 AB上一点(不与A、B重合),连接 PD 并将线段 PD绕点 P顺
时针旋转 90°,得线段 PE,连接BE,则∠CBE 等于
A.75° B.60° C.30° D.45°
9.已知点 A(-3,y₁),B(0,y₂),C(3,y₃)都在二次函数 y=-x+2²+4的图象上，则
y₁,y₂,y₃的大小关系是
A.y₃10.如图.四边形 ABCO为正方形,点 A 的坐标为( 13,将正方形绕点 O 逆时针旋
转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为
A.3-1 B.-1-3 C.-13 D.31
二、填空题(每小题3分， 共 15分)
11.抛物线. y=x-2²+2的顶点坐标是 .
12.抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0,，a，b，c 为常数)的部分图象如图所示，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 .
13.一元二次方程 2x²-3x-8=0的两个根为 m，n，则 m²n+mn²的值是 .
14.如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A 与点 C 重合，点 B 与点 D 重合)，则这个旋转中心的坐标为 .
15.如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,将ΔABC绕点 A 逆时针方向旋转得到△AED,连接CE,BE,当∠BCE=90°时,BE的长为 .
三、解答题 (本大题共8小题， 共75分)
16.(10分) 解下列一元二次方程
(1) (5分) x²-3x+2=0;
(2)(5分)x(x-4)=2﹣8x.
17.(9分) 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1) 请画出 △ABC关于原点成中心对称的. △A₁B₁C₁;
(2) 请画出△ABC绕点 B 逆时针旋转 90°后的. △A₂BC₂;
(3) 在y轴上有一点P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点P的坐标.
18.(9分) 已知，关于x的一元二次方程 x²+k+2x-2=0,请完成下面的问题.
(1) 求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
(2) 若此方程有一个根是 1，请求出另一个根及 k 的值.
19.(9分) 超市销售某种商品，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销量，
增加盈利，该店采取了降价措施.经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多
售出 2 件.
(1)若降价6元，则平均每天销售数量为 _件；
(2) 为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为 1200元，每件商品应降价多少元?
20.(9分) 已知二次函数 y=x²-2x+a过点(1,1).
(1) 求二次函数解析式；
(2) 把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象y₁与x轴交于A，B两点， 求线段
AB的长;
(3) 当x取何范围时,y₁<0?
21.(9分)2023年杭州亚运会女足比赛中，7号队员王霜从球门正前方8m的A处射
门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地
面 3m.已知球门高 OB为 2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
(1) 求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球
向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处?
22.(10分) 阅读下列材料.
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式
分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式 x²+4x+1x²+4x+7+9进行因式分解的过程.
解：设 x²+4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9∨(第一步)
=y²+8y+16(第二步)
=y+4²(第三步)
=x²+4x+4²(第四步).
请根据上述材料回答下列问题：
(1) 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的( )；
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2) 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：
;
(3) 请你用换元法对多项式 x²-2xx²-2x+2+1进行因式分解；
(4) 当x= 时,多项式 x²-2xx²-2x+2-2存在最_值(填“大”或
“小”),这个最值是 .
23.(10分)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形 ABC 中，( CA=CB,∠C=90°,，过点 B 作射线 BD⊥AB,，垂足为B，点P在CB 上.
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA 绕点 P逆时针旋转 90°与 BD
交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE 的度数为 度；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段 PA 与 PE的数量关系，并说明(提示：在线段 CA 上截取
CM=CP);
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线 CB上移动，将射线 PA 绕点 P逆时针旋转 90°与 BD交于点E，探究线段 BA，BP，BE 之间的数量关系，直接写出结论.
九年级数学期中考试参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，即可判断答案．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、是一元二次方程，故符合题意；
D、中的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程；②含有一个未知数；③所含未知数的项的次数是2．
3．D
【分析】图象在X轴上方，与X轴无交点
4．C
【分析】根据和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
∴的一个解x的取值范围为，
故选C．
【点睛】本题考查估计一元二次方程根的方法，结合表格数据求解是解题关键．
5．B
【分析】根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得．
【详解】解：由题意可知，即，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意：第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
【详解】解：已设这个百分数为x．
200（1+x）2=1400．
故选C．
【点睛】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以第三年的产量做等量关系可列出方程．
7．D
【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案．
【详解】解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴A选项不符合题意；
B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴B选项不符合题意；
C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，，
而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，
∴C选项不符合题意；
D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，，
而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质，从而完成求解．
8．D
【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
故选D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．
9．A
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x+2）2+4图象的对称轴为直线x＝﹣2，
又∵a=-1，二次函数开口向下，
∴点到对称轴越近，函数值越大；
∵点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴距离越远，其函数值越大，反之，开口向下，点到对称轴越近，函数值越大是解题的关键．
10．D
【分析】点C旋转回到原位置，即旋转次回到原位置．故第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同．据此即可求解．
【详解】解：∵正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°
∴正方形绕点O逆时针旋转次回到原位置
∵
∴第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同
如图：绕点O逆时针60°得到，作

∵
∴
∵点A的坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
即点
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与旋转规律问题．根据题意确定第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同，是解题关键．
11．
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
12．（5，0）
【分析】观察图象得：该抛物线与轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线，根据二次函数的对称性，即可求解．
【详解】解：观察图象得：该抛物线与轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线，
∴该抛物线与轴的另一个交点坐标是（5，0）．
故答案为：（5，0）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．
13．
【分析】根据根与系数的关系得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
14．(4，2)
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
15．或4
【分析】分在上方和下方两种情况求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
．
如图1，当点在上方时，；
如图2，当点在下方时，是等边三角形，所以．
综上所述，的长为或4．

故答案为：或4．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
16．(1)，x2=2
(2)，
【分析】（1）用十字相乘法解一元二次方程即可；
（2）先整理成一般式，再用公式法解一元二次方程即可．
（2）
整理得：
∵，，，
∴，
∴
∴，
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，掌握求根公式以及正确计算是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)点P的坐标为（0,2）；
【分析】（1）分别作出点A、B、 C关于原点的对称点，再顺次连接即可得;
（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转后所得对应点,再顺次连接可得；
（3）点B关于y轴的对称点的坐标为(-1,1)，利用待定系数法求出直线解析式，求出x=0时y的值，据此可得．
【详解】
（2）解：如图，绕点B逆时针旋转后的
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换、旋转变换，关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点．
18．(1)，k=-1
(2)见解析
【分析】（1）将代入原方程即可求出k值．
（2）由则有两个不相等的实数根即可解得．
【详解】（1）证明：b2-4ac=(k+2)2-4×(-2)×1=(k+2)2-4×(-2)×1=(k+2)2+8
∵(k+2)2≥0
∴(k+2)2+8＞0
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）解：设此方程的另一个根是，由根与系数关系得：
∴，由1+(-2)=-(k+2)，
∴k=-1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，代入求解是解题的关键．
19．(1)32
(2)每件商品应降价20元
【分析】（1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可；
（2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为件，
故答案为：32
（2）解：设每件商品应降价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵要尽快减少库存，
∴，
∴每件商品应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
20．(1)二次函数解析式为y=x2-2x+2
(2)AB=2
(3)当0【分析】（1）先利用待定系数法先求出a，得出二次函数解析式；
（2）利用平移求解析式，令y=0,解出x1=2，x2=0
得AB=2
（3）根据二次函数的图象在x轴下方即可写出自变量x的取值范围．
21．(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．(1)C；
(2)；
(3)见解析；
(4)1，小，．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）结合材料，用换元法进行分解因式；
（4）利用还原法把原式变形、分解，由即可得解．
【详解】（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法，故选C；
（2）
设，
原式
故答案为：；
（3）设，
原式
；
（4）设，
原式
即：当时，多项式存在最小值，为：．
【点睛】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
23．(1)135
(2)相等，见解析
(3)当P在线段上时，；当P在线段的延长线上时，
【分析】（1）根据题意画出图形，由，得，而，即得；
（2）过P作交于M，证明是等腰直角三角形，得，，即可证，故；
（3）当P在线段上时，过P作交于M，结合（2）可得；当P在线段的延长线上时，过P作交于N，证明是等腰直角三角形，可得，即可证，，根据，即得．
【详解】（1）画出图形如下：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：135；
（2），理由如下：
过P作交于M，如图：

∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当P在线段上时，过P作交于M，如图：

由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴；
当P在线段的延长线上时，过P作交BE于N，如图：

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，当P在线段上时，；当P在线段的延长线上时，．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．