高中物理高考 专题（03）运动图象 追及相遇问题（解析版）

2021年高考物理一轮复习必热考点整合回扣练

专题（03）运动图象 追及相遇问题（解析版）

考点一 　

1．x­t图象与v­t图象的比较

2.三点说明

(1)x­t图象与v­t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹．

(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系．

(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．

题型1　位移—时间图象

【典例1】(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻两车速度相等

B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等

C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等

D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等

【答案】CD

【解析】x­t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A项错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．

【变式1】a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移—时间图象如图所示，其中a是一条顶点坐标为(0,10)的抛物线，下列说法正确的是  (　　)

A．b、c两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同

B．在0～5 s内，a、b两个物体间的距离逐渐变大

C．物体c的速度越来越大

D．物体a的加速度为0.4 m/s2

【答案】B

【解析】x­t图象的斜率表示速度，b和c为直线，斜率恒定，b、c做匀速直线运动，但斜率正负不同，即速度方向不同，A、C错误；t＝0时刻，a、b在同一位置，a的切线的斜率为正，即速度为正，b的斜率为负，即速度为负，所以两者反向运动，故两物体间的距离越来越大，B正确；因为a是一条抛物线，即满足x＝x0＋kt2，可知物体a做匀加速直线运动，因为抛物线经过(0,10)点和(5,20)点，故x＝10＋0.4t2，所以a＝0.4，a＝0.8 m/s2，D错误．

【提 分 笔 记】

应用x­t图象解题的六个关键点

题型2　速度—时间图象

【典例2】　甲、乙两物体从同一地点开始沿同一方向运动，其速度随时间的变化关系如图所示．图中t2＝，两段曲线均为四分之一圆弧，则下列说法正确的是(　　)

A．两物体在t1时刻加速度相同

B．两物体在t2时刻运动方向均改变

C．两物体在t3时刻相距最远，t4时刻相遇

D．0～t4时间内甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度

【答案】C

【解析】 因两段曲线均为四分之一圆弧，由题图知在t1时刻曲线的切线斜率的绝对值与直线斜率相等，即两者加速度大小相等，但方向相反，A项错误；两物体均做单方向的直线运动，B项错误；甲先做匀加速运动再做匀减速运动，乙先做加速度减小的减速运动，再做加速度减小的加速运动，在t3时刻，两物体相距最远，两物体在0～t4时间内图线与t轴所围面积相等，即两物体在t4时刻相遇，在0～t4时间内的平均速度相同，C项正确，D项错误．

【变式2】(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是(　　)

A．两车在t1时刻也并排行驶

B．在t1时刻甲车在后，乙车在前

C．甲车的加速度大小先增大后减小

D．乙车的加速度大小先减小后增大

【答案】BD

【解析】t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C项错误，D项正确．

【提 分 笔 记】

应用v­t图象解题的六个关键点

题型3　加速度—时间图象

【典例3】　某同学在开展研究性学习的过程中，利用加速度传感器研究某一物体以初速度2 m/s做直线运动的加速度a随时间t变化的规律，并在计算机上得到了前4 s 内物体加速度随时间变化的关系图象，如图所示．以物体的初速度方向为正方向，则下列说法正确的是(　　)

A．物体在1 s末速度方向改变

B．物体在3 s末速度方向改变

C．前4 s内物体的最大速度出现在第3 s末，大小为3.5 m/s

D．物体在第2 s末与第4 s末的速度大小相等，方向也相同

【答案】D

【解析】分析物体的运动情况：在0～3 s内物体沿正方向做加速运动，在3～4 s内沿正方向做减速运动，故在第3 s末物体的速度最大，1 s末、3 s末速度方向都没有改变，故A、B错误；a­t图象的“面积”大小等于速度变化量，则在前3 s内物体速度的变化量Δv＝3.5 m/s，所以3 s末的速度v＝v0＋Δv＝2 m/s＋3.5 m/s＝5.5 m/s，故C错误；由图象可知，前2 s内和前4 s内的a­t图象的“面积”相等，则速度变化量相等，所以物体在第2 s末与第4 s末的速度大小相等，方向也相同，故D正确．

【变式3】(多选)宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度的概念．加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同．一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图．下列说法正确的是(　　)

A．t＝1 s时急动度是0.5 m/s3

B．t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度等大反向

C．2～4 s内的质点做减速运动

D．0～6 s内质点速度方向不变

【答案】AD

【解析】根据题意可知急动度是指加速度变化的快慢，由图象可知斜率表示急动度，t＝1 s时急动度是0.5 m/s3，选项A正确；t＝3 s时和t＝5 s时图线的斜率相同，所以急动度大小及方向相同，选项B错误；根据速度与加速度的方向关系可知，2～4 s内的质点做加速度减小的加速运动，选项C错误；根据图象面积的物理意义可知6 s末质点的速度大于零，质点一直朝同一方向运动，选项D正确．

【提 分 笔 记】

应用a­t图象解题的六个关键点

题型4　运动学图象的综合应用

【典例4】　在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0从同一地点竖直上抛另一物体B.若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔Δt必须满足的条件是(不计空气阻力)(　　)

A.<Δt<  B.<Δt<

C.<Δt<  D.<Δt<

【答案】D

【解析】依据x＝v0t－gt2作出x­t图象，如图所示．显然，两条图线相交表示A、B相遇．由图线可直接看出，当Δt满足关系式<Δt<时，A、B可在空中相遇，选项D正确．

【提 分 笔 记】

解决此类问题要根据物体运动规律的公式做出正确的图象，利用图象的交点的意义读取图象信息，再通过分析推理打开解题思路．

考点二 　

1．分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．

(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

2．能否追上的判断方法

物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0<xB，则能追上；若xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0>xB，则不能追上．

3．特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．

4．三种方法

(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．

(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．

(3)图象法

①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．

②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．

题型1　速度小者追速度大者

【典例5】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

【答案】2 s　6 m

【解析】解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v自＝at

所以t＝＝2 s

Δx＝v自t－at2＝6 m.

解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝v自t－at2

代入已知数据得Δx＝6t－t2

由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m

所以经过t＝2 s后，两车相距最远，为Δx＝6 m.

解法三(图象法)：自行车和汽车的v­t图象如图所示．由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1＝＝ s＝2 s，Δx＝＝ m＝6 m.

【变式4】

如图所示，A、B两物体相距s＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在滑动摩擦力作用下向右做匀减速运动，B与水平地面的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为(　　)

A．7 s  B．8 s

C．9 s D．10 s

【答案】B

【解析】做匀减速运动，其加速度大小为a＝μg＝2 m/s2，减速到零用时t＝＝5 s，其位移xB＝vBt＝25 m，此时A的位移xA＝vAt＝20 m，由位移关系可知，B停下时A并未追上，若要A追上B，则有s＋xB＝vAt，得t＝8 s，选项B正确，A、C、D错误．

【提 分 笔 记】

掌握“三种分析方法”

(1)分析法

应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解．

(2)极值法

设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解．

(3)图象法

在同一坐标系中画出两物体的运动图象．位移图象的交点表示相遇，速度图象抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．

题型2　速度大者追速度小者

【典例6】　A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止．问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？

【答案】不会相撞　5 m

【解析】解法一：设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2－v＝2ax

可得02－302＝2×(－aB)×180

解得aB＝2.5 m/s2

设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝x0＋vAt

即30t－×2.5t2＝85＋10t

整理得t2－16t＋68＝0

由Δ＝162－4×68<0可知t无实数解，即两车不会相撞．

速度相等时两车相距最近，此时vA＝vB－aBt1，

解得t1＝8 s

此过程中xB＝vBt1－aBt＝160 m

xA＝vAt1＝80 m

两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m.

解法二：设B车刹车时加速度为a，根据运动学公式

02－v＝2ax，解得a＝－2.5 m/s2

设经过时间t两车共速，则vB＋at＝vA，解得t＝8 s

两车位移分别为xA＝vAt＝80 m，xB＝vBt＋at2＝160 m

由于xA＋x0>xB，所以不会相撞

且两车最近距离Δx＝xA＋x0－xB＝5 m.

【变式5】在平直的高速公路行车道上，有五辆间距为100 m的货车以90 km/h的速度匀速行驶，在第五辆车后200 m处的相邻车道上，有一小型客车的行驶速度也为90 km/h.该小型客车司机为了超过前面的货车，先使客车做匀加速运动，当客车速度达到108 km/h时，保持速度不变．从客车开始加速到刚好超过这五辆货车，所用时间为125 s，忽略货车的长度，求：

(1)客车加速的时间；

(2)客车加速时加速度的大小．

【答案】(1)10 s　(2)0.5 m/s2

【解析】(1)货车的速度及客车的初速度相同，设为v0，客车加速后速度为v＝30 m/s，设客车追的过程总时间为t，加速阶段时间为t1，加速阶段位移为x1，匀速阶段位移为x2

x1＝t1，x2＝v(t－t1)

货车在此过程位移x＝v0t

由几何关系x1＋x2＝x＋(5－1)×100 m＋200 m

解得t1＝10 s.

(2)客车加速时加速度a＝

解得a＝0.5 m/s2.

【提 分 笔 记】

巧解追及相遇问题常用方法