2023高考数学二轮复习（知识点多）专题06 函数的概念（原卷＋解析版）

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专题06函数的概念
【考点预测】
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
4.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：同一函数的判断
题型三：给出函数解析式求解定义域
题型四：抽象函数定义域
题型五：函数定义域的应用
题型六：函数解析式的求法
1.待定系数法（函数类型确定）
2.换元法或配凑法（适用于了型）
3.方程组法
4.求分段函数的解析式
5.抽象函数解析式
题型七：函数值域的求解
1.观察法
2.配方法
3.图像法（数形结合）
4.基本不等式法
5.换元法（代数换元与三角换元）
6.分离常数法
7.判别式法
8.单调性法
9.有界性法
10.导数法
题型八：分段函数的应用
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的定义判断.
【详解】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（       ）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义即可得到答案.
【详解】
根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.
故选：C.
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（       ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【答案】ABD
【解析】
根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；
对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.
例4．（2022·浙江·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的概念，一个只能对应一个，所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过轴即可.
【详解】
解：在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.
所以的最大值为.

故选：B.
【点睛】
思路点睛：函数的关键点：每一个都有唯一的一个确定的数和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的切线超过轴时，一个会有2个和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角.
例5．（2022·全国·高三专题练习）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________．
①；②；③；④．
【答案】④
【解析】
【分析】
根据函数定义逐项判断①②③，采用换元的方法求解④中的解析式并进行判断.
【详解】
①当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
②当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
③当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
④令，所以，令，所以，
所以，所以，符合，
故答案为：④.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于对于函数定义的理解以及换元法求解函数解析式的运用，通过说明一个自变量的值对应两个不同的的值，判断出不符合函数定义；同时在使用换元法求解函数解析式时，新元取值范围的分析不能遗漏.

【方法技巧与总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例6．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（       ）
①与．②与．③与．④与．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的概念可知同一函数需满足定义域和对应关系均相同，因此结合题目逐个分析即可得到结果.
【详解】
对于①，的定义域为，的定义域为，所以，则与的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一函数；
对于②，所以与的对应关系不同，则不是同一函数；
对于③的定义域为，的定义域为，且，，因此函数与的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；
对于④的定义域为，的定义域为，因此函数与的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；
故选：C.
例7．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和同一函数的定义逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中表示同一个函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AB
【解析】
【分析】
确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．
【详解】
A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；
C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；
D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．
故选：AB．
（多选题）例9．（2022·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.
【详解】
A选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故A符合题意；
B选项，，与定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B不符合题意；
C选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， 故C符合题意；
D选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故D符合题意；
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系（解析式），值域，而定义域和对应关系决定值域，所以判断两个函数是否相同只需要判断两个要素：定义域，对应法则是否相同即可.

【方法技巧与总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.
题型三：给出函数解析式求解定义域
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(     )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】
由题设有，
由得，故选A.
【点睛】
本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
例11．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．
【详解】
由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此，求解可得或．
故答案为：．
例12．（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域
【详解】
由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
例13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.
【详解】
解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：

【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式.
题型四：抽象函数定义域
例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.
【详解】
的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的定义域是，可求的值域，即函数的定义域，再由，即可求得的定义域.
【详解】
的定义域是，则，
即函数的定义域为，
令，解得.
则函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数定义域的求法，注意理解函数的定义域与函数定义域的区别.
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域．
【详解】
由，得，
所以，所以．
故选：B．
例17．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】
由于函数的定义域为，对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域是.
故选：B.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的定义域得到的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于
的不等式，求出不等式的解集．
【详解】
解：由函数的定义域是，得到，
故即
解得：；
所以原函数的定义域是：．
故选：．
【点睛】
本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题．
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据函数的定义域以及单调性可得，解不等式组即可．
【详解】
因为函数是定义在的单调递增函数，且，
所以，
解得或．
故选：C．
例20．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
抽象函数定义域求解，需注意两点：
①定义域是函数解析式中自变量“x”的范围；
②对于同一个对应关系“f”，“f”后括号里面式子整体范围相同.
(1)中－1的范围和中x范围相同，中x范围是；
(2)中x的范围和中2x＋4范围相同，中x范围是；
(3)中x＋1与均与中x范围相同，中x的范围是.
(1)
令－2≤－1≤2得－1≤≤3，即0≤≤3，从而－≤≤，
∴函数的定义域为.
(2)
∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈，
∴的定义域为.
(3)
由题得，，
∴函数的定义域为.

【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
例21．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得到恒成立，根据定义域为得到恒成立，且满足，,解出得范围,二者取交集即可.
【详解】
因为，的定义域为，
所以首先满足恒成立，，
再者满足，变形得到
，最终得到.
故选：B.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由在上恒成立，分和结合二次函数性质求解即可..
【详解】
由题意得：在上恒成立.
即时，恒成立，符合题意，
时，只需，
解得：，
综上：，
故选：C.
（多选题）例23．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
该题可等价于在区间上恒成立，分离参数即可求得.
【详解】
函数在区间上有意义，
等价于在区间上恒成立，
由得在区间上恒成立，所以，
故选：AB．
例24．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
根据函数的解析式，可知当定义域为时，说明在上恒成立，则对进行分类讨论，确定满足条件的的范围.
【详解】
由题意可得在上恒成立．
①当时，则恒成立，
符合题意；
②当时，
则，解得．
综上可得，
∴实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】
不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．
例25．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．
【详解】
解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，
∴ax＞0恒成立，
∴ax恒成立，
设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
(10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
1.观察法
例50．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合，即可求解.
【详解】
因为，所以，故函数的值域.
故选：C.
例51．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．
【详解】
解：函数的值域为，，故排除；
函数的值域为，故排除；
函数的值域为，故满足条件；
函数的值域为，，故排除，
故选：．
例52．（2022·浙江·高三专题练习）下列函数中，函数值域为的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
对于选项，函数值域为，所以选项错误；
对于选项，函数的值域为，所以选项正确；
对于选项函数的值域为,所以选项错误；
对于选项，函数的值域为，所以选项错误.
【详解】
对于选项，函数的值域为，所以选项错误；
对于选项，函数，所以函数的值域为，所以选项正确；
对于选项函数的值域为,所以选项错误；
对于选项，函数的值域为，所以选项错误.
故选：B

2.配方法
例53.（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算
的范围即可求解.
【详解】
令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
例54．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.
【详解】
由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，
所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，
综上可知，函数的值域为，
故选：B.
例55．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数，，满足，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，可得，结合，是正实数可得的范围，将代入，分离，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为可得：，
所以，即 ，
因为，当时取得最小值，
所以，
所以的最大值为，
故选：C.

3.图像法（数形结合）
例56．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意，画出二次函数的图象，数形结合求值域.
【详解】
因为，故作出其函数图象如下所示：

由图，结合二次函数的性质，可知：
，，
故其值域为.
故选：B.
【点睛】
本题考查二次函数在区间上的值域，数形结合即可求解.
例57.（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】
当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，
综合得，，
故最小值为：.
故选：B.
例58．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝的值域为(　　)
A．[－,] B．[－,0]
C．[0,1] D．[0,]
【答案】C
【解析】
【详解】
令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.

点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
例59.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
分别作，的图象，取点，
，则原式可看为两图象上各取一点的距离的平方，可转化为图象上点到圆心的距离减半径的平方.计算结果即可.
【详解】
解：分别作，的图象，
分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设为与的交点，
，即.
当且仅当时，取等号.
故得的最小值为.
故答案为：.

例60．（2022·上海·高三专题练习）函数的值域为_____.
【答案】[，]
【解析】
【分析】
先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=cosθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.
【详解】
∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.
令x﹣2=cosθ     且θ∈[0，π]
∴
=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.
故答案为：

【点睛】
本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

4.基本不等式法
例61．（2022·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
A. 由二次函数的性质求解判断； B. 令，利用对勾函数的性质求解判断；C.利用基本不等式求解判断；D. 由时判断.
【详解】
A. ，最小值为5，故错误；
B. 令，则在上递减，其最小值为10，故错误；
C. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
D. 当时，，显然不成立，故错误；
故选：C
例62．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.
【详解】
函数
，
当，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为，
故答案为.
【点睛】
本题考查求具体函数的值域，属于简单题.

5.换元法（代数换元与三角换元）
例63．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解．
【详解】
解：令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
例64．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可得，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域.
【详解】
解：令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，
故选：B.
例65．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，原函数即为：，可解决此题．
【详解】
解：令，则，
原函数即为：，
对称轴方程为，可知，
函数值域为．
故选：C．
例66．（2022·全国·高三专题练习）若，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出的取值范围，令，将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为
所以解得，令，
则

所以，
因为，所以，所以
所以
故答案为：

6.分离常数法
例67．（2022·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域．
【详解】
解：，
∴y，
∴该函数的值域为．
故选：D．
例68．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将化简为，求出的值域，进而可求得的值域.
【详解】
解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．

7.判别式法
例69．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解.
【详解】
设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
例70．（2021·浙江杭州·高一期中）函数的值域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】
解：，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：求值域的常见方法
单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域.
例71．（2021·江苏·高一专题练习）求函数的值域______________．
【答案】
【解析】
【分析】
由解析式知函数的定义域为，将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域.
【详解】
由解析式知：函数的定义域为，且，
∴整理可得：，即该方程在上有解，
∴当时，，显然成立；
当时，有，整理得，即，
∴综上，有函数值域为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：由解析式求函数定义域并将函数转化为方程形式，求值域问题转化为方程在上有解.
例72.（2021·浙江·高一期末）函数的值域为_________.
【答案】
【解析】
将函数变形为关于的方程，分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围，从而值域可求.
【详解】
因为，所以，所以，
当，即时，此时；
当，即时，此时，所以，
综上可知：，所以的值域为，
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项：
（1）原函数中分子分母不能约分；
（2）原函数的定义域为实数集.

8.单调性法
例73．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得，即求.
【详解】
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
例74．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
先求出函数的定义域，结合函数单调性即可求解值域.
【详解】
由，得，
即函数的定义域为，
又函数在上递减，
所以函数在上递减，
所以函数的最大值为，最小值为，
即函数的值域为，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数值域的计算，结合函数单调性与最值之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.
例75．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得函数在为增函数，再求值域即可得解.
【详解】
解：令，解得：，
即函数在为增函数，
所以，
即函数的值域为，
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的定义域，重点考查了利用函数的单调性求函数的值域，属基础题.

9.有界性法
例76．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是________________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用分离常数法先将解析式化简得，由于本题的函数是一个复合函数，其单调性不易判断，故可以采取由内而外逐层求解的方法来求值域，先求的值域，再求
，最后求函数的值域.
【详解】
由题意，
因为，
所以，
所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
例77．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数解析式，利用反比例函数的性质求出值域．
【详解】

故选：C．
例78．（2022·全国·高三专题练习（理））实数，满足，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
令，，即可用令、表示令、，再利用辅助角公式及正弦函数的有界性计算可得；
【详解】
解：令，，则，，所以

其中
所以当时，
故答案为：


10.导数法
例79．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））函数在上的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究在上的单调性，即可求其最小值.
【详解】
由题设，，
∴上，单调递减；上，单调递增；
∴在上的最小值为.
故答案为：
例80．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．
【详解】
由题意可知，，
，．
当时，，
函数在区间上单调递增，则．
故答案为：
例81．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当时，函数的最大值为_______ .
【答案】
【解析】
【分析】
对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值．
【详解】
因为，所以函数是上的增函数，故
当时，函数的最大值为．
【点睛】
本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题．
例82．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的值域可以确定，然后换元令，进而根据讨论得出，代入可得，解出m，转化为用导数求值域的问题.
【详解】
由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以
记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为

题型八：分段函数的应用
例83．（2022·山东济南·二模）已知函数若，则m的值为（       ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得或，即求.
【详解】
∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
例84．（2022·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（       ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得，进而即得.
【详解】
∵，，
∴必有，
∴，
解得或（舍去），
∴.
故选：B.
例85．（2022·浙江·模拟预测）己知函数，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用分段函数和对数运算进行求解.
【详解】
由题意，得，.
故选：B．
例86．（2022·广东梅州·二模）设函数，则（       ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，分别求出函数值即可得解.
【详解】
解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
例87．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数___________.
【答案】     1    
【解析】
【分析】
将直接代入即可求出的值；因为，分类讨论满足的
值，最后综合讨论结果，可得答案.
【详解】
因为，所以.
，，
当时，， 当时，，
所以当即时，，不符合；
当即时，，符合；
当即时，，无解，不符合.
所以实数.
故答案为：1；
例88．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设，若，则__________，__________.
【答案】          6
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值，进而求得结果.
【详解】
若，则，由，得，即，
解得：（舍去）或；
若，由，得，该方程无解.
综上可知，，
故答案为：； 6

【方法技巧与总结】
1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.


【过关测试】
一.单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：A中，B中，C中，D中
考点：函数关系判断
2．（2022·陕西陕西·二模（理））已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（       ）
A．12 B．14 C． D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意转化为为常数，设（k为常数）可求出，进而可求出.
【详解】
因为是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，
所以必是常数，
设（k为常数），得，
所以，解得，
∴，因此.
故选：B
3．（2022·宁夏·银川一中一模（文））若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f（2）＝（　　）
A． B．e
C． D．－1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，令，解可得，进而在中，令，变形计算即可得答案．
【详解】
由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.
故选：B
4．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））设全集，集合，则（        ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
M集合即要求对数的真数大于0，N集合即要求偶次方根内要大于等于0.
【详解】
，，
所以，
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（       ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设函数的定义域，应用换元法求出的定义域，进而求的定义域即可.
【详解】
由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数值域的求法先将分式分离常数后化求解.
【详解】
解：

又

，所以函数的值域为
故选：A
7．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】
因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（       ）
A． B．， C．，， D．，0，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.
【详解】
，
，，，
，
或0，
的值域为，.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
由，可得，解方程组求出，结合选项逐一判断即可．
【详解】
，
化简得
两式相加得，解得
故，A正确，B错误；
又，则，C正确，D错误；
故选：AC
10．（2022·全国·高三专题练习）下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（       ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝，g(x)＝
【答案】BD
【解析】
分别求出每个选项中的两个函数的定义域和对解析式进行化简可得答案.
【详解】
对于A，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于B，、的定义域都为，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于D，、的定义域都为，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数
故选：BD
11．（2022·全国·高三专题练习）关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（       ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】
化简函数表达式即为，作出直线与函数的图象，通过数形结合直接判断即可.
【详解】
由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD

12．（2022·全国·高三专题练习）等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，分离结合即可求得的范围，进而可得正确选项.
【详解】
因为等差数列中，，且，
所以，
整理得，
因为，所以，，
所以，
所以实数的可能取值为，．
故选：AB．
三、填空题
13．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））已知函数，则____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
直接代入，即可求解.
【详解】
因为函数，所以函数，所以.
故答案为：1
14．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））若定义在的函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求得的函数，再利用导数的几何意义，即可求解曲线的切线方程.
【详解】
由题意，定义在的函数，满足，
可得，
即，
将代入可得，
可得，所以，可得，
又由，所以曲线在点处的切线方程为，
即切线方程为.
故答案为：.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，在区间[﹣2，2]上，f（x）＝，且f（5）＝2f（），则3a+2b+c的值为__．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用已知条件，建立关于a，b，c的方程组，解出即可得解．
【详解】
依题意，，即，
∴，
∴3a+2b+c＝3a+c＝1．
故答案为：1．
16．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则的值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
求出定义域，对原式平方，根据二次函数的性质，可计算最大值和最大值，从而求出比值.
【详解】
解：要使函数有意义，则，解得，
，
，
即，
，
当时，有最大值，即，
当或时，有最小值，即，
，
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））若，其中是常数
(1)求的值;．
(2)方程的两根异号， 求实数的取值范围；
(3)当时， 求出不等式的解集．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，将展开化简即可求得答案;
（2）根据方程的两根异号，列出不等式，解得答案；
（3）写出的表达式，并化简，讨论x的正负，结合一元二次不等式的解法，求得答案.
(1)
由题意可得：
；
(2)
由方程的两根异号可得： ，此时 ，即 ；
(3)
时，即 ，
故当 时， ，可得 或 ；、
故当 时，，原不等式此时无解，
故不等式的解集为 ；
18．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
【解析】
【分析】
（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；
（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；
（4）变形得，即可得解；
（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（6）令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得；
（7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可；
（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可.
【详解】
解：（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
【点睛】
方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；
（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.
19．（2022·全国·高三专题练习）知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
（1）将问题转化为在上恒成立问题，利用二次函数的性质列不等式求解；
（2）将问题转化为在上恒成立问题，利用参变分离，转化为最值问题求解；
（3）利用复合函数单调性及最值列不等式求解．
【详解】
解：（1）因为函数的定义域为，
则在上恒成立，
当时，，得，不合题意舍去；
当时，，解得，
综合得；
（2）函数在上恒有意义，即在上恒成立
，恒成立，
令，，则，当时，，
；
（3）当时，或，
解得，
当时，或，
解得．
故存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2．
【点睛】
方法点睛：恒成立问题有两种处理方式，一．直接转化为最值问题，这种方式可能要分类讨论；二．先参变分离，再转化为最值问题，这种方式可避免分类讨论．
20．（2022·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；
（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.
∴的定义域为；
（Ⅱ）当时，，
（1）当，即时，的定义域为，值域为，
∴时，不是“同域函数”.
（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.
∴.
综上所述，的值为.
（Ⅲ）设的定义域为，值域为.
（1）当时，，此时，，，从而，
∴不是“同域函数”.
（2）当，即，
设，则的定义域.
①当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，，
又∵，∴的取值范围为.
②当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，       
此时，由，可知不成立.
综上所述，的取值范围为
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域.
21．（2022·全国·高三专题练习）若f （x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数的取值范围.
【详解】
由于函数g（x）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g（x）的值域是函数f （x）值域的子集．
，，
函数f （x）的值域是[－1，3]，因为a>0，所以函数g（x）的值域是[2－a，2＋2a]，
则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即．故a的取值范围是．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知二元函数，则的最大值和最小值分别为多少？
【答案】最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
当时，可知；当时，令，可将转化为单位圆上的动点与连线斜率的倒数，采用数形结合的方式及圆的切线方程的求解方法可确定的范围，由此得到的值域，由值域可得最大值和最小值.
【详解】
当时，，
当时，，
令，则或，
则表示平面上单位圆上的动点与连线斜率的倒数，
当时，设单位圆的切线方程为：，即，
则，解得：，

由图象可知：当时，与连线斜率，
则当时，，
由对称性可知，当时，；
，
综上所述：，
的最大值为，最小值为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题关键是能够将二元函数的值域转化为单位圆上的点与定点连线斜率取值范围的求解问题，进而利用数形结合的方式来进行求解.