2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期末检测数学（文）试题（解析版）

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2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期末检测数学（文）试题一、单选题1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②，那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是A．①用随机抽样法，②用系统抽样法 B．①用分层抽样法，②用随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 D．①用分层抽样法，②用系统抽样法【答案】B【分析】调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．【详解】对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本所以选B【点睛】本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．2．下面命题正确的是（    ）A．“若，则”的否命题为真命题；B．命题“若任意的，则”的否定是“存在，则”；C．设，则“且”是“”的必要不充分条件；D．设，则“”是“”的必要不充分条件．【答案】D【分析】对于A，写出其否命题，判断其真假即可；对于B，写出其否定即可判断；对于C，D，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.【详解】对于A，“若，则”的否命题为“若，则”，否命题显然是假命题，故A不正确；对于B，命题“若任意的，则”的否定是“存在，则”，故B不正确；对于C，由且能够推出，由不能够推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C不正确；对于D，由不能够推出，由能够推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：D3．直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（    ）A． B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根据垂径定理求出直线斜率，再求倾斜角得选项.【详解】因为，因此直线的倾斜角为或，故选：C【点睛】本题考查垂径定理以及斜率与倾斜角关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件，跳出循环，计算输出的值．【详解】由程序框图知：输入时，，，，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；满足条件，跳出循环，输出，故选C．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，当循环的次数较少时，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，当循环次数较多时，寻找其规律，注意循环的终止条件是解题的关键，属于基础题．5．已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意，再根据，即可得到，从而求出渐近线方程；【详解】解：因为双曲线的离心率为2，即，又，所以，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为；故选：A6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.7．已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式组作出可行域，根据的几何意义:可行域内的点与连线的斜率求解即可.【详解】由约束条件作出可行域如图:的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，由可行域可知，当取点时，连线斜率最大，所以的最大值为，当取点时，连线斜率最小，所以的最小值为，则的取值范围是.故选:C.【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题中的目标函数范围问题，属于中档题，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.8．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（    ）A．24 B．25 C．25.5 D．26【答案】A【分析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出、，将样本中心点带入回归方程，即可求得参数.【详解】设缺少的数值为，则，，因为回归直线方程经过样本点的中心，所以，解得.故选：A．9．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（    ）A．4 B．12 C． D．【答案】B【分析】结合抛物线定义，为正三角形，即可解决.【详解】由题知抛物线：，开口向右，，记准线与轴交于点，因为，根据抛物线定义有：，因为，所以为正三角形，所以，所以因为焦点到准线的距离为，所以，所以，故选：B10．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75【答案】D【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次，至少击中3次的频率为.据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D11．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A，B，若，则的周长为（    ）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】结合双曲线图像对称性，可得轴，根据圆的性质和双曲线，，的关系可计算出，，的长度，进而求出的周长.【详解】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，，又因为，所以，即，所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为，点到渐进线距离为，所以，所以，，所以的周长为，故选：B12．已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C过和两点，点P在线段上，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆过点求出，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解.【详解】因为椭圆过点和，所以，可得，所以，，设，由题意直线的方程为，即，因为点P在线段上，所以满足， 则，，当时，，当时，，所以的取值范围为.故选：D二、填空题13．抛物线的焦点到准线的距离是______.【答案】【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.故答案为：14．已知“，都有不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】根据命题的否定得“，使得成立”是真命题，进而转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】“，都有不等式成立”是假命题，故“，使得成立”是真命题，因此，使，只需要，而二次函数在单调递减，在单调递增，故当时，取最大值，因此，故答案为：15．在区间上随机取两个数、，则满足的概率为______．【答案】【分析】根据几何概型由面积比即可求解．【详解】由题意可得总的基本事件为,，事件包含的基本事件为,,，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影部分，其中故所求概率，故答案为：16．已知直线与椭圆C：交于A，B两点，弦BC平行y轴，交x轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法中正确的命题有______．①椭圆C的离心率为：；    ②；③；        ④以AE为直径的圆过点B．【答案】②③④【分析】根据椭圆的方程得到：，，即可求得椭圆的离心率；由椭圆的对称性知、关于原点对称，设，则，，结合斜率公式可以判断②；设，联立直线和椭圆，得到：，根据根与系数的关系和在直线上得到，即可判断③和④.【详解】由题意得：，则，所以椭圆的离心率，所以①错误；又由椭圆的对称性知、关于原点对称，设，则，，由斜率公式得：，，由题知则，所以②正确；由上得直线的方程为，设，则，则，联立直线和椭圆得：，因为直线经过点，点在椭圆内，则，所以，将其代入，又，所以，则，即，所以以AE为直径的圆过点B，所以④正确；又，所以③正确；故答案为：②③④.三、解答题17．已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径．(1)求圆C的方程；(2)已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；（2）先判断点在圆上，再求得直线的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.【详解】（1）因为圆C的直径为AB，故其圆心为C，其半径为，故圆C的方程为：．（2）因为，故P在圆C上，连接PC，而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，故所求切线的方程为：．18．某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.【答案】（1）0.006；（2）76；（3）.【分析】(1)由频率分布直方图的各小矩形的面积和为1可得：，解之可得答案； (2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，列出方程，解之可得答案；(3)由频率分布直方图可知评分在[ 40，60 )内的人数和评分在[ 50，60 )内的人数，再运用列举法可求得概率.【详解】(1)由频率分布直方图可得：，解得a=0.006； (2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得m=76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76 .(3)由频率分布直方图可知评分在[ 40，60 )内的人数为 (人)，评分在[ 50，60 )内的人数为(人)，设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为，则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况，其中分数在在[ 50，60 )内的2人有，，，有3种情况，所以概率为P=.【点睛】本题考查频率直方图的识别和计算，以及运用列举法求古典概率的问题，属于中档题.19．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．(1)求C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【详解】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意得，所以，①又双曲线的一条渐近线为，所以，②又，③ 联立上述式子解得，，故所求方程为；（2）设，，联立，整理得，由，所以，，即20．某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．(1)求y关于x的回归直线方程；附：，．(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？【答案】(1)(2)21.5元【分析】（1）根据表中数据求得和，再求得和，即可得到y关于x的回归直线方程；（2）由题意得获得的利润，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由表格数据得，．则，，则，，则y关于的回归直线方程为.（2）获得的利润，对应抛物线开口向下，则当时，取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．21．已知椭圆C：()的离心率为，点与椭圆C的左、右顶点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线MN与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，直线OM、ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，理由见解析．【分析】(1)根据G与椭圆的左右顶点构成等腰直角三角形可求出a，再根据离心率可求出c，根据可求出b，从而求出椭圆的方程；(2)设，，设直线MN为y=kx+m，联立直线和椭圆的方程，得到根与系数的关系，根据=得到k与m的关系，表示出和O到直线MN的距离，根据可求△OMN面积．【详解】（1）点G(0，2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，∴；离心率为，，∴椭圆方程为；（2）设，，若MN斜率不存在，则OM与ON关于x轴对称，，∵，故MN斜率必存在，∴可设MN为y=kx+m，由得，∴，=，∴，，原点O到l的距离，∴，为定值．22．如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.【答案】（1）2，；（2），.【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.(2)设，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，故：，，设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：，，令可得：，则.即，由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，则，则.当且仅当，即，时等号成立.此时，，则点G的坐标为.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22232425262324▲2628单价/元1819202122销量/册6156504845