2022-2023学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】分析直线的斜率及在轴上的截距即可.【详解】由可得：，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不经过第一象限，故选：A2．已知圆：，则该圆的圆心坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把一般方程化为标准方程即可求解【详解】圆：化为标准方程得，所以圆心坐标为，故选：D3．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直的关系列式求解作答.【详解】因直线：与直线：垂直，则有，解得.故选：B4．直线被圆截得的弦长为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由垂径定理求解即可【详解】因为圆的圆心为，半径为2，且圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故选：C5．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，求解即可【详解】由题意可知双曲线方程为且，解得，所以双曲线的标准方程为，故选：B6．若点，分别在椭圆和直线上运动，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知，利用点到直线的距离公式转化为三角函数的最值，即可求解【详解】由椭圆方程可设，则到直线的距离为，当时，，所以的最小值为，故选：A7．设椭圆：的左､右顶点为，，左､右焦点为，，上､下顶点为，，关于该椭圆，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：离心率为；丁：四边形的面积为.如果只有一个假命题，则该命题是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】先由甲乙丙丁都为真得到有关等式，在分别讨论即可求解【详解】若甲为真命题，则；若乙为真命题：；若丙为真命题，则；若丁为真命题，则；当甲乙都为真时，有，解得，则，此时，，则丙和丁都是假命题；所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；若甲、丙和丁为真，则，解得，此时，符合题意；若乙、丙和丁为真，则，解得，此时，不符合题意；综上可知：乙命题为假命题故选：B8．设椭圆：的上顶点为，左､右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于点，若，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的条件，结合椭圆定义用a表示，在中利用余弦定理列式计算作答.【详解】依题意，，由得：，而，于是得，令椭圆半焦距为c，有，如图，在中，由余弦定理得：，即，整理得，因此，解得，所以椭圆的离心率为.故选：C 二、多选题9．已知直线：，则（    ）A．直线的倾斜角为B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为C．点到直线的距离为2D．直线关于轴对称的直线方程为【答案】ACD【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D【详解】对于A：因为直线：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A正确；对于B：令，则；令，则；所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误；对于C：点到直线的距离为，故C正确；对于D：设在直线关于轴对称的直线上，则关于轴对称的点在直线上，则有，即，所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确；故选：ACD10．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（    ）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为C． D．【答案】BC【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，双曲线的离心率，A不正确；双曲线的渐近线方程为，B正确；，C正确；，，则，有，D不正确.故选：BC11．已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（    ）A．存在点，使得四边形为菱形 B．四边形的面积最小值为C．的外接圆恒过两个定点 D．原点到直线的距离不超过【答案】BCD【分析】由到直线距离结合已知条件可判断AB；由点共圆以及点求出直线，利用点到直线的距离可判断CD【详解】对于A：当四边形为菱形时，，则，又到直线的距离为，所以不存在点，使得四边形为菱形，故A错误；对于B：由A可知，，所以四边形的面积，所以四边形的面积最小值为，故B正确；对于C：设，由图象可知四点在以为直径的圆上，圆的方程为，即，令，解得或，所以的外接圆恒过两个定点，故C正确；对于D：过的圆的方程为，由得直线的方程为：，则原点到直线的距离为 ，故D正确；故选：BCD.12．已知抛物线：的焦点为，准线为，经过点的直线与抛物线相交，两点，，在上的射影分别为，，与轴相交于点，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．若，则 D．若，，则【答案】ACD【分析】设，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到，即得选项A正确；，所以选项B错误；求出即得选项C正确；由题得,求出，即得选项D正确.【详解】解：设，则，当直线斜率显然不能为零，设其方程为，联立抛物线方程得，所以 .所以，所以，所以选项A正确；所以，所以选项B错误；如图，设 过点作 ，则，由题得直线的斜率为, 所以，所以，所以选项C正确；由题得,所以 ，所以.所以.所以选项D正确.故选：ACD 三、填空题13．写出一个关于直线对称的圆的标准方程___________.【答案】（答案不唯一，形如）【分析】设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.【详解】设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为因为圆关于对称，所以在直线上，则，则圆的方程，取，设圆的半径为1，则圆的方程，故答案为： (不唯一，形如)14．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________.【答案】【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边，故.故答案为：15．已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为___________.【答案】##【分析】根据题意，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，进而且，再计算得，进而得答案.【详解】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为故答案为： 四、双空题16．已知双曲线的左､右焦点分别为、，若点在双曲线的渐近线上，且，则的面积最大值为___________，实数的最小值为___________.【答案】          【分析】（1）设，由题意可知点在圆上，则到轴的最大距离为，即可求面积的最大值；由渐近线与圆有交点可求实数的最小值.【详解】设，由得，整理得，即，所以点在圆上，则到轴的最大距离为，所以的面积最大值为；又渐近线与圆有交点，所以，即，整理得，解得，所以实数的最小值为，故答案为：；. 五、解答题17．已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.【答案】（1）（2）       【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为 其半焦距c=6.因为点P（5,2）在椭圆上，所以所以故所求椭圆的标准方程是 （2）由得 即代入椭圆方程得： 故    18．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.(1)求点B的坐标；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知，直线的斜率为，则直线的斜率为1，由，可得直线的方程，直线和直线交点为B，可求出点B的坐标；（2）设点，根据中点坐标公式，可得点的坐标为，代入所在直线的方程可求出点C所在直线方程，联立所在直线的方程，求出点C的坐标，即可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程.【详解】（1）因为直线的斜率为，，所以直线的斜率为1，又因为，所以直线的方程为，联立，解得，故点B的坐标为.（2）设点，所以.因为点是边的中点，所以点的坐标为，因为边上的中线所在直线的方程为，所以，即.联立，解得，所以点的坐标为，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.19．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与到直线的距离相等.(1)求点的轨迹方程；(2)设不经过原点的直线与点的轨迹相交于A，B两点，___________.①若直线经过点，则；②若，则直线经过定点.在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）方法1：设，根据两点间距离公式即可列出方程，整理后得出点的轨迹方程；方法2：根据抛物线的定义，可知点的轨迹为抛物线，焦点为，则，即可得出点的轨迹方程；（2）选①：设直线的方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理可求出，可证明；选②：设直线的方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理可求出，由于，所以，解得，可证明直线经过定点.【详解】（1）方法1：设，因为点到点的距离与到直线的距离相等，所以，整理得，所以点的轨迹方程为.方法2：因为点到点的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为.（2）选①.由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立，消，得，，设，，则，所以，所以，故.选②.由题意可知，直线的斜率不为0，且不经过原点，设直线的方程为.联立，消，得，，设，，则.所以，因为，所以，，所以，解得或（舍），此时，，故直线经过定点.20．已知圆：，圆：.(1)若两圆相交，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由圆与圆的位置关系求解即可；（2）由点直线的距离结合勾股定理求解即可【详解】（1）由题意，得，半径，，半径，因为两圆相交，所以，所以，即，解得，又因为，所以，故的取值范围为.（2）两圆的公共弦所在直线方程为，假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2，因为，半径，所以点到直线的距离，又因为，所以，解得，因为，所以.21．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，右顶点为，点，，.(1)求双曲线的方程；(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或或或 【分析】（1）由题意得，求解即可；（2）设：，联立，由根与系数的关系结合三角形面积求解即可【详解】（1）由题意，得，解得，，，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率不为0，设：，联立，消，得，由，解得.设，，则.所以，所以的面积，由，化简，得，解得，，，，所以直的方程为或或或.22．在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.(1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值；(2)直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围.【答案】(1)0(2) 【分析】（1）方法1：设直线，联立双曲线方程和椭圆方程，求得P，M两点坐标，因为，，则可求出，，所以；方法2：设，，因为点在双曲线上，点在椭圆线上，得出x，y的关系，即可求出，，再利用，，三点共线，即可求出的值.（2）设直线的方程为，联立双曲线方程求出点坐标，联立椭圆方程求出N点坐标，即可求出，因为点位于第一象限，可求k的取值范围，则可求出函数值域，即的取值范围.【详解】（1）方法1：设直线，联立，消，得，所以，解得，设，则，所以.联立，消，得，设，则，所以.因为，，所以，，所以.方法2设，，因为，，所以，.因为点在双曲线上，所以，所以，所以.因为点在椭圆线上，所以，所以，所以.因为，，三点共线，所以，所以.（2）设直线的方程为，联立，消，得，解得，，所以点的坐标为，因为点位于第一象限，所以，解得，联立，消，得，解得，，所以点的坐标为，所以，设，则，所以.因为函数在区间上单调递增，所以当时，，所以，所以，即，故的取值范围为.【点睛】（1）此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率之积和斜率之和证明结论.（2）解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．