2022-2023学年江苏省淮安市涟水县第一中学高二上学期第二次阶段检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市涟水县第一中学高二上学期第二次阶段检测数学试题

一、单选题

1．直线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】作出直线的图象，可得出结论.

【详解】作出直线的图象如下图所示：

由图可知，直线不过第三象限.

故选：C.

2．若数列的通项公式，则此数列（    ）

A．是公差为-3的等差数列 B．是公差为-2的等差数列

C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列

【答案】B

【分析】结合求出和，逐项判断即可.

【详解】因为，所以，，只有B项符合.

故选：B

3．准线方程为的抛物线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用抛物线的定义求出准线方程，得到答案.

【详解】的准线方程为，A正确；

的准线方程为，B错误；

的准线方程为，C错误；

的准线方程为，D错误.

故选：A

4．已知为等差数列，则（    ）

A．4 B．5 C．10 D．15

【答案】B

【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出，从而得到.

【详解】因为为等差数列，设公差为，

则，解得：，

.

故选：B

5．设数列的前项和，则的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【分析】利用求解即可.

【详解】，，

故.

故选：D

6．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出圆的方程，由圆心到直线距离等于半径，得到答案.

【详解】设圆的方程为，

故，

故圆的方程为.

故选：D

7．在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（    ）

A．1 B． C．1或 D．1或

【答案】C

【分析】分类讨论q是否为1，结合等比数列前n项和公式，即可解得q的值.

【详解】当q=1时，，满足.

当时，由已知可得，

，显然，.

所以，有，解得，q=1（舍去）或.

综上可得，q=1或.

故选：C.

8．设椭圆的左、右顶点为、，左、右焦点为、，上、下顶点为、，关于该椭圆，有下列四个命题：

甲：；乙：离心率为；丙：；丁：四边形的面积为.

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】对甲、乙、丙、丁四个命题分别为假命题进行分类讨论，根据已知条件得出关于、、的方程组，判断方程组是否有解，即可得出结论.

【详解】若命题甲为假命题，则，该方程组无解，故命题甲不为假命题；

若命题乙为假命题，则，该方程组无解，故命题乙不是假命题；

若命题丙是假命题，则，解得，此时，合乎题意；

若命题丙为假命题，则，该方程组无解，故命题丙不为假命题.

故选：C.

二、多选题

9．已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆M的半径为4

B．圆M关于直线对称

C．点在圆M外

D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5

【答案】BCD

【分析】A选项，将圆的一般方程化为标准方程，求出半径为5，A错误；得到圆心在直线上，得到圆M关于直线对称，B正确；求出与圆心的距离得到点在圆外，C正确；将看作圆M上的点到的距离，得到最小值为的长减去半径5，求出答案.

【详解】变形为，圆心为，半径为5，A错误；

由于满足，故圆心在直线上，故圆M关于直线对称，B正确；

与的距离为，故点在圆M外，C正确；

实数x，y满足圆M的方程，则，

则可看作圆M上的点到的距离，

故最小值是的长减去半径5，即，D正确.

故选：BCD

10．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A．是等差数列 B．

C． D．有最大值

【答案】AB

【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D.

【详解】当时，，

当时，

，符合，

故，

所以，，

所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；

，B正确；

因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；

，

易知当或时，有最大值，D错误.

故选：AB

11．已知数列{}中，，，下列说法正确的是（    ）

A．若{}是等比数列，则=-8或8 B．若{}是等比数列，则或-16

C．若{}是等差数列，则=17 D．若{}是等差数列，则公差为

【答案】BCD

【分析】分类讨论根据等差等比数列的相关知识即可进行判断.

【详解】由已知，

当数列{}为等差数列时：

，解得，故D正确

，解得，故C正确.

当数列{}为等比数列时：

，所以，解得

，故A错误.

，故B正确.

故选：BCD

12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，则下列结论正确的是（    ）

A．该双曲线的离心率为

B．该双曲线的渐近线方程为

C．若，则的面积为9

D．点P到两渐近线的距离乘积为

【答案】AD

【分析】A选项，求出，得到离心率；

B选项，根据公式求出渐近线方程；

C选项，根据双曲线定义得到，由勾股定理求出，从而联立得到，得到三角形面积；

D选项，设出，则，求出点P到两渐近线的距离，相乘后求出答案.

【详解】中，，故，

所以双曲线离心率为，A正确；

该双曲线的渐近线方程为，B错误；

由双曲线定义得：，，

因为，所以，

故，解得：，

故的面积为，C错误；

设，则，即，

点P到两渐近线的距离分别为：，

故点P到两渐近线的距离乘积为，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.

【答案】

【分析】根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】由已知可得，，可得，，

所以，，解得.

故答案为：.

14．在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是______.

【答案】

【分析】分析出，利用韦达定理结合等比中项的性质可求得的值.

【详解】对于方程，，

设等比数列的公比为，则，即、同号，

由韦达定理可得，则、均为负数，，，

由等比中项的性质可得，.

故答案为：.

15．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升2cm时，水面宽度为______cm.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，代入点的坐标，求出抛物线方程，进而得到时，，求出水面宽度.

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，

由题意得：点在抛物线上，

所以，解得：，

抛物线方程为，

则当水面再上升2cm时，即时，

故，解得：，

故水面宽度为cm.

故答案为：.

四、双空题

16．有两个等差数列、，其前项和分别为、.

（1）若，则______；

（2）若，则______.

【答案】     ##    

【分析】（1）利用等差数列的基本性质可求得出，即可得解；

（2）设，，其中，求出、，即可得出的值.

【详解】（1）；

（2）因为，设，，其中，

则，，

因此，.

故答案为：（1）；（2）.

五、解答题

17．等差数列满足，.

(1)求的通项公式和前项和；

(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可求得、的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式；

（2）设等比数列的公比为，求出、的值，利用等比数列的的求和公式可求得的表达式.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，

，解得，则.

所以，.

（2）解：设等比数列的公比为，则，，

所以，.

18．已知圆C：，直线l：

(1)求证：直线l恒过定点；

(2)求直线l被圆C所截的弦长的最大值与最小值；并求截得的弦长最短时m的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)最长弦为6；最小弦长为4，

【分析】（1）直线整理为关于的方程，则前面系数为0，常数项为0，解出关于的方程组即可；

（2）最长弦为过点的直径，最短弦时，直线与垂直，则斜率相乘为，解出即可.

【详解】（1）证明：由直线方程可以整理为：

，则，所以，

恒过定点.

（2）圆心，半径，

令定点，最长弦为过点M的直径，长为6．

最小弦长时直线l与CM垂直，圆心，，此时弦长为,故弦长最小值为4，

，∴，解得.

19．数列的各项均为正数，，当时，.

(1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，数列前项和为，证明：．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】（1）将递推式变形为，消去即可证明，再根据等差数列的通项公式求解即可；

（2）变形得，利用裂项相消法计算，再观察即可得结果.

【详解】（1）由得

因为数列的各项均为正数，故，

，又

所以是以1为首项，1为公差的等差数列.

即；

（2）由（1）得，

，

，

则，，

即.

20．已知椭圆C：，，分别为其左､右焦点，短轴长为2，离心率，过作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A，B两点.

(1)求线段AB的长；

(2)求的周长和面积.

【答案】(1)；

(2)的周长为，面积为.

【分析】（1）由题可得，然后根据离心率结合条件可得椭圆方程，进而可得直线方程，然后利用韦达定理法及弦长公式即得；

（2）利用椭圆的定义及三角形面积公式即得.

【详解】（1）∵椭圆的短轴长为2，

∴，又∵，

∴，

∴椭圆C的方程为：，，，

设，，直线 l 的方程为：，

由，可得，

所以，，

所以

；

（2）由于，分别为椭圆的左､右焦点，

所以的周长为，

因为到直线l：的距离为，

所以的面积.

21．已知数列的前n项和满足．

(1)求的通项公式；

(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合，可证明是等比数列，求解即可；

（2）乘公比错位相减法求和可得，代入，化简可得恒成立，结合单调性求解即可.

【详解】（1）∵，当可得，

，

∴，

即是以1为首项，的等比数列，

∴.

（2）∵,

∴,

,

两式相减：

,

∴,

∴,

∴,

即存在使成立,

∵随着n增大，在减小,

∴当时，.

22．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线的标准方程.

(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程；

（2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积.

【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则，

因为一条渐近线方程为，所以，

又，解得：，，

所以双曲线的标准方程为；

（2）设直线：，，，

联立，

则，

所以，，

由

，

解得或（舍去），                

所以，，

：，令，得，

，

所以的面积为.