天津市河北区2023年高二数学上学期期末试卷（Word版附解析）

河北区2023年上学期期末高二年级质量检测数学

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有(　　)

A. k＝－，b＝3 B. k＝－，b＝－2

C. k＝－，b＝－3 D. k＝－，b＝－3

【答案】C

【解析】

【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程y=kx+b，即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可．

【详解】方程变形为：，
∴此直线的斜率，直线在y轴上的截距．
故选：C．

【点睛】本题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键．

2. 圆的圆心和半径分别为（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】利用配方法进行求解即可.

【详解】，

所以该圆的圆心为，，

故选：C

3. 椭圆的离心率是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由椭圆方程得出，可求出离心率.

【详解】由椭圆，可得，则

所以椭圆的离心率为

故选：A

4. 双曲线的渐近线方程是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由，得．所以双曲线的渐近线方程是．选C．

5. 抛物线的准线方程是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线的方程直接求解准线方程即可.

【详解】解：由抛物线，可得其准线方程是.

故选：A.

6. 在等比数列中，若，，则公比的值等于（）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由等比数列通项公式求解即可.

【详解】在等比数列中，

因为，，

所以，

故选：C.

7. 等比数列1，，，，…的前项和为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由条件求出等比数列的公比，利用等比数列求和公式求其前项和.

【详解】设该数列为，数列的公比为，由已知，，所以，

所以数列的前项和，

故选：D.

8. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】由可知，该椭圆的焦点在y轴，且半焦距为，

设双曲线方程为：，所以该双曲线的半焦距为，

因为该双曲线的离心率，所以有，所以，

因此双曲线的标准方程为，

故选：A

9. 如图，长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接，，，根据题中条件，得到为异面直线与所成角或其补角，结合题中数据，即可求出解.

【详解】

连接，，，

在长方体中，易知，

所以为异面直线与所成角或其补角，

又在长方体中，，

所以，，

在中，由余弦定理得.

因为异面直线所成的角的取值范围是，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：D.

【点睛】思路点睛：

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

10. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ）

A. 0个 B. 至多有一个 C. 1个 D. 2个

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.

【详解】因为直线和圆没有交点，

可得，即，

所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，

又因为椭圆，可得，

所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，

所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.

故选：D.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.

11. 在数列中，，，则数列的第5项为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据及递推公式计算可得结果.

【详解】因为，，

所以，

，

，

.

故答案为：.

12. 已知两点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果.

【详解】依题意可得圆心坐标为，半径为，

所以以线段为直径的圆的标准方程为：.

故答案为：.

13. 与的等比中项是________.

【答案】

【解析】

【分析】利用等比数列的定义即可求解.

【详解】设与的等比中项是，

则，

即，

解得：，

故答案为：

14. 已知倾斜角为45°的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则焦点的坐标为______；线段的长为______.

【答案】    ①.     ②. 8

【解析】

【分析】①根据焦点坐标公式即可求解；②根据弦长公式即可求解.

【详解】①因，

所以，

所以，

的焦点为，

即为.

②倾斜角为45°的直线经过抛物线的焦点，

所以直线的方程为，

联立，

所以，

所以，

故答案为：  8

15. 已知数列的前项和公式为，则______；数列的通项公式______.

【答案】    ①. ；    ②.

【解析】

【分析】利用代入法，结合与之间的关系进行求解即可.

【详解】在中，令中，得；

当时，，显然不适合，

因此数列的通项公式，

故答案为：；

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 已知等差数列中，，.

（1）求首项和公差；

（2）求该数列的前10项的和的值.

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列通项公式进行求解即可；

（2）根据等差数列前项和公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为在等差数列中，，，

所以有；

【小问2详解】

因为在等差数列中，，

所以.

17. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率直接求解即可；

（2）写出直线的方程，利用弦长公式可求得，并可计算点到直线的距离，故.

【小问1详解】

解：椭圆的一个顶点为，，

又离心率为，，

椭圆方程为.

【小问2详解】

解：，直线的方程为，

由，消去，得，

所以直线与椭圆有两个公共点，

设为，

则，

，

又点到直线的距离，

故

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

18. 如图，在长方体中，，，与交于点，的中点为.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）直线与平面所成角的正弦值为；

（3）平面与平面夹角的余弦值为.

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明平面；

(2)求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求平面与平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，与交于点，的中点为，

所以，，，，，，

所以，，，

所以，，

所以，即，又，平面，所以平面；

【小问2详解】

由(1)，，所以，，，

设平面的法向量为，则，，

所以，，取，可得，

所以向量为平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为；

【小问3详解】

由(1)，，，设平面的法向量为，

则，，所以，，取，则，所以为平面的一个法向量，

又向量为平面的一个法向量，

设平面与平面夹角为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

19. 已知数列是等差数列，是公比不等于1的等比数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和.

【答案】（1），；，

（2），.

【解析】

【分析】（1）设出公差与公比，利用等差数列与等比数列通项公式化简方程，组成方程组解出公差和公比后，利用通项公式即可解决问题；

（2）将，代入中化简，然后利用错位相减法求解即可.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，，

所以

解得或（舍去），

所以等差数列的通项公式为：

，，

等比数列的通项公式为：

，.

【小问2详解】

由（1），

所以，

所以，①

所以，②

①②：，

即，

即，

即，

即，

即，