山东省烟台市莱阳市第一中学2021-2022学年高二数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

68级高二数学开学摸底考试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. (x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是（    ）

A.  B.

C.  D. (－1)m－1

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】(x－y)n的二项展开式中第m项为

Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，

所以系数为C(－1)m－1.

2. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出双曲线方程中的即得解.

【详解】解：∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，

∴．

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：D

3. 已知圆O的半径为5，，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

可得过点P的最长弦长为直径，最短弦长为过点P的与垂直的弦，分别求出即可得出公差.

【详解】可得过点P的最长弦长为直径，，

最短弦长为过点P的与垂直的弦，，

公差.

故选：B.

4. 从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．

【详解】解：设，

依题意可知抛物线准线，

，，

，．

直线PF的斜率为，

故选C．

【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．

5. 设为等比数列的前项和，且，则等于（    ）

A.  B.  C. 5 D. 11

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出.

【详解】，，，则公比，

，，.

故选：A.

6. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（    ）

A. （34，34） B. （43，34） C. （34，43） D. （A43，A43）

【答案】C

【解析】

【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．

【详解】由题意知本题是一个分步乘法问题，

首先每名学生报名有3种选择，

有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，

每项冠军有4种可能结果，

3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.

故选：C．

7. 如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】不妨令，，，根据双曲线定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．

【详解】，不妨令，，，

，，

又由双曲线的定义得：，，

，

，．

在中，，

又，，

双曲线的离心率．

故选;C
 

8. 若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.

【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，

当时，；

当时，，

也满足，所以，

所以，

所以，

又对一切恒成立，

所以，整理得，解得或.

即实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：

1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；

2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据条件求抛物线的焦点坐标，再求抛物线的标准方程.

【详解】直线与轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程，与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程是.

故选：AC

10. 已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有

A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.

【详解】双曲线离心率为

故渐近线方程为，

取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,

则，

所以则

故选BC

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.

11. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记A为“男生甲被选中”，为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】7人选3人共有种选法，分别求出事件A，B，AB所包含的基本事件的个数，再利用古典概型公式即可求出，，，即可判断ABC，利用条件概率公式即可判断D.

【详解】解：由题意得，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确.

故选：ACD.

12. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.

【详解】由题意可得，则，

由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，

因此，正整数的可能取值有、、.

故选：ACD.

【点睛】本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在三角形中，，，，双曲线以A、B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用余弦定理求出BC，结合双曲线的定义，求解c，a，然后求解离心率.

【详解】因为在三角形中，，，，

所以，

即，

在双曲线中，

，

所以离心率，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了余弦定理，双曲线的简单几何性质，双曲线的定义，属于中档题.

14. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得前99组中的数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，利用前n项求和公式即可得出第100组数中的第一个数.

【详解】由题意知，

前99组数共包含

个数，

则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，

即.

故答案为：

15. 若，则______.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可.

【详解】由题意知，

因为，

所以或，

解得(舍去)或.

故答案为：4

16. 已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.

【答案】6

【解析】

【分析】利用双曲线的性质，得到，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．

【详解】结合题意，绘制图像：

根据双曲线的性质可知，得到，所以

，而，所以

，所以最小值为6.

【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17. 已知数列为等差数列，且．

（1）求数列通项公式；

（2）若等比数列满足，求数列的通项公式．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知列式求出数列的首项和公差即可得出通项公式；

（2）由题可求出，即可求出公比，得出通项公式.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

，

，解得，；

（2），

等比数列公比为，

18. 由整数构成的等差数列满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设数列的公差为，根据题设条件，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由数列的通项公式为，根据题意，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由题意，设数列的公差为，

因为，可得，

整理得，即，解得或，

因为为整数数列，所以，

又由，可得，

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列的通项公式为，又由数列的通项公式为，

根据题意，新数列，，，，，，，，，……，

则

.

【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

19. 已知数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用可得是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；

（2）可得，则，，由裂项相消法即可求出前n项和.

【详解】（1），即，

当时，，解得，

当时，，

整理得，

是首项为3，公比为3的等比数列，

；

（2），

，则，

数列的前n项和为.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

20. 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有二项式系数的和；

（3）求展开式中所有的有理项．

【答案】（1）5    （2）32   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；

（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；

（3）根据二项式展开式的通项，求出展开式中所有的有理项．

小问1详解】

的展开式的通项为（r＝0，1，2，…，n），

∵展开式中的第二项和第三项的系数相等，

∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；

【小问2详解】

展开式中所有二项式系数的和为；

【小问3详解】

二项式展开式的通项为（r＝0，1，2，…，5），

当r＝0，2，4时，对应项是有理项，

所以展开式中所有的有理项为，，．

21. 已知椭圆：的离心率为，且经过点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.

【解析】

【分析】

（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；

（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.

【详解】（1）有题意可得，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，

设直线l的方程为，由，

联立得，，

设，定点，由题意得，

所以，

因为直线，恰好关于x轴对称，

所以直线，的斜率互为相反数，

所以，即，

所以，即，

所以，即，

所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.

综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.

【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

22. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点

①求证：；

②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值.

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意有，化简可得答案.
（2）直线的方程为,与抛物线方程联立，
①由，将韦达定理代入可证明.
②由①可得，设､，直线的方程为，则，由方程联立，韦达定理可得，再由点到直线的距离公式可证明.

【详解】（1）设由题意，

两边平方，整理得：

所以所求点的轨迹方程为.

（2）①设过椭圆的右顶点的直线的方程为.

代入抛物线方程，得.

设､，则

∴.

∴.

②设､，直线的方程为，

代入，得.

于是，.

从而

∵，∴.

代入，整理得.

∴原点到直线的距离为定值.

【点睛】本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题.