2022-2023学年湖北省恩施州来凤县高三年级（上）数学期末模拟测试（解析版）

来凤县2022-2023学年高三年级（上）期末模拟测试

数学

一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共 40分。下列各题，每小题只有一个选项符合题意。）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数，则（    ）

A．25 B．7 C．5 D．

3. 六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（    ）

A. 15种 B. 90种 C. 540种 D. 720种

4. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（    ）

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

6. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则数列是单调递减数列 

B. 若，则数列是单调递增数列

C. 时， 

D. 时，

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 当时，函数单调递增

C. 当时，点的纵坐标越来越小

D. 当时，

10. 某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（    ）

A. 变量x与y正相关 B. y与x的相关系数

C.  D. 产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨

11. 设，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（    ）

A.

B.

C. 三棱锥的体积为定值

D. M为BD的中点时，则二面角的平面角为60°

三.填空题(共4题，总计 16分)

13. 已知函数是偶函数，则______．

14. 一个盒子内装有形状大小完全相同的个小球，其中个红球个白球.如果不放回依次抽取个球，则在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为___________.

15. 已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝___.

16. 已知为正方体表面上的一个动点，，是棱延长线上的一点，且，若，则动点运动轨迹的长为___________.

四.解答题(共6题，总计74分)

17. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．

（1）求；

（2）记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．

18. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，求△ABC的面积．

19. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.

（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；

（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.

为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.

20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

（1）求证：；

（2）若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点、是双曲线的两个实轴顶点，点是双曲线上异于、的任意一点，直线交于，直线交于，证明：直线的倾斜角为定值．

22. 过点可以作出曲线的两条切线，切点分别为A，B两点．

（1）证明：；

（2）线段AB的中点M的横坐标为，比较与a的大小关系．

来凤县2022-2023学年高三年级（上）数学期末模拟测试

参考答案及解析

一.单项选择题

1.【答案】：C

【解析】：由得，

函数R上单调递增，则，即，

又由得，即，

所以.

故选：C.

2.【答案】：C

【解析】：因为，所以，故．

故选：C．

3.【答案】：B

【解析】：解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有种方法，再从剩下4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法.由乘法分步原理得共有种方法.

故选：B

4.【答案】：D

【解析】：由，可得或，

当时，此时，即充分性不成立；

反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

5.【答案】：B

【解析】：因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：

若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；

若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙

被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，

综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.

故选：B

6.【答案】：B

【解析】：设与夹角为，因为，，所以．

故选：B

7.【答案】：A

【解析】：由题可知，因为的垂直平分线过的下顶点，所以，则，解得：，所以的离心率.

故选：A

8.【答案】：C

【解析】：由得，

即，

所以数列是以4为公差的等差数列，

函数，

A项，，，在上是单调递增函数，即数列是单调递增数列，

B项，，在上是单调递减函数，即数列是单调递减数列，

C项，时，可知，，

，

D项，时，，由C知，，

故选：C.

二. 多选题

9.【答案】：CD

【解析】：因为，所以，

因为旋转一周用时6秒，所以角速度，

所以，

所以根据三角函数的定义可得，

所以，所以A错误，

对于B，当时，，则函数在此区间上不单调，所以B错误，

对于C，当时，，所以函数在上单调递减，所以点的纵坐标越来越小，所以C正确，

对于D，当时， ，所以，因为，所以，所以D正确，

故选：CD

10.【答案】：ACD

【解析】：，

，

所以，

所以变量x与y正相关，y与x的相关系数，，产量为8吨时预测所需材料约为吨.

所以ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

11.【答案】：AC

【解析】：依题意，

由于在上递增，所以，A选项正确.

由于在上递减，所以，B选项错误.

，所以，C选项正确.

对于D选项，，，D选项错误.

故选：AC

12.【答案】：BC

【解析】：由正方体的性质可知，与不平行，故A错误；

由正方体的性质可知，又，

∴平面，又平面，

∴，故B正确；

由题可知M到平面的距离为定值d=2，三角形的面积为定值，所以为定值，故C正确；

如图建立空间直角坐标系，则

∴，

设平面PQM的法向量为，则

，令，则，

平面的法向量可取，

设二面角的平面角为，则

，故D错误.

故选：BC.

二. 填空题

13.【答案】：

【解析】：

由为偶函数，则

即

即

所以，则，故

故答案为：

14.【答案】： .

【解析】：记事件第一次抽到红球，记事件第二次抽到红球，

则，，因此，所求概率为.

故答案为：.

15.【答案】： 4

【解析】：延长交于，由于是的角平分线，，

所以三角形是等腰三角形，所以，且是的中点.

根据双曲线的定义可知，即，

由于是的中点，所以是三角形的中位线，

所以.

故答案为：

16.【答案】： .

【解析】：因为，是棱延长线上的一点，且，所以，

由勾股定理，可知，

因为，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如下如所示：

所以动点运动轨迹在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；

所以动点运动轨迹的长为.

故答案为：.

四.解答题

17【答案】：

（1）   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

由得，则，

因，则，，

又，，则，

所以.

【小问2详解】

（2）由题设及（1）得，且当时，，即

，

，

所以．

18【答案】：

【解析】：

解：因为），由正弦定理得：，即

即，又因为A为内角，，所以

因为，所以．

根据余弦定理及，，，得，即，即，．

所以△ABC的面积

19【答案】：

（1）；   

（2）分布列答案见解析，数学期望为.

【解析】：

【小问1详解】

解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，

由正态分布的对称性可知，

，

所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.

【小问2详解】

解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，

，；，

所以，随机变量的分布列为：

所以.

20【答案】：

（1）证明见解析   

（2）存在；CK的长度为2

【解析】：

小问1详解】

因为，，，

所以平面ADE．

因为平面ADE，所以．

【小问2详解】

方法一：

因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

因为平面ADE，所以平面平面ADE．

过A作，垂足为G，因为平面平面，

所以平面CDEF．

连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即．

在中，因为，，所以．

在中，因为，所以．

设，过K作于H，则．

在中，由，得，

解之得或（舍），所以，即．

方法二：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

A（2，0，0），，

设直线AK与平面CDEF所成角为，则，从而．

设平面CDEF法向量为，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为，则．

因为，

所以，令，则

所以，解得．

此时，点K为点F，CK的长度为2．

21【答案】：

（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】：

【小问1详解】

解：由题意得，解得，所以，椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

解：由（1）知，双曲线方程为．

设，则，则，

因为、，所以．

设直线的方程为，

联立，消去得，

由韦达定理可得，则，

直线的方程为，

联立，消去可得，

由韦达定理可得，则，

所以，直线的倾斜角为.

22【答案】：

（1）证明见解析   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

证明：令，则，设，，则

，，则方程有两根，．

令，则有两个零点．

若，则单调递增，至多一个零点，不合题意．

因此，．此时，，．

当时，，单调递减：

当时，，单调递增

当时，取得最小值，若要使有两个零点，则需，即．

综上所述，．

【小问2详解】

依题设，只需比较与的大小关系．

由（1）知：，，

两式相减，得，即，

则，

不妨设，则，取，则，，

令，，则

于是在为减函数，，故，即．