2022届湖北省恩施州高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2022届湖北省恩施州高三上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则中元素的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】化简集合，根据交集的定义，即可求解.

【详解】因为，

，

所以，所以中元素的个数为3.

故选:B.

【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.

2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z，即可求解.

【详解】由，得，

所以复数z在复平面内对应的点为，

所以对应点位于第三象限.

故选:C.

【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱.为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是

A．83.5；83 B．84；84.5 C．85；84 D．84.5；84.5

【答案】B

【解析】根据茎叶图，即可求出“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数.

【详解】A小区“空巢老人”年龄的平均数为

，

B小区“空巢老人”年龄的中位数为.

故选:B.

【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题.

4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简c,利用对数函数的单调性，即可得出结论.

【详解】因为，

又因为在上单调递增，

且，所以.

故选：D.

【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用对数函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.

5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.

【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，

其面积.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，

其面积为，巧板④可看作是边长为的正方形

与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，

其面积为，

故所求的概率.

故选:C.

【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题

    .

6．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.

【详解】.

故选:A.

【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题.

7．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C，再取特殊值，即可求解.

【详解】由图可知，该函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，

所以选项C不符合；又因为，所以选项A，B不符合.

故选:D.

【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题.

8．已知向量，，，若，则在上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先求出的坐标，根据，则得到，的关系式，由计算在上的投影.

【详解】解：由，，得，

所以，则

得，

所以在上的投影为．

故选：．

【点睛】本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题.

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

A．-2 B．-6 C．-8 D．-12

【答案】D

【解析】将初始值，代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论.

【详解】当，不满足条件；

执行第一次循环：，，不满足条件；

执行第二次循环：，，不满足条件；

执行第三次循环：，，不满足条件；

执行第四次循环：，，满足条件；

执行第五次循环：，，满足条件，

退出循环，所以输出S的值为-12.

故选:D.

【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.

10．设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F的直线的斜率在之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出的范围，从而求出离心率的取值范围.

【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，

当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.

直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，

当渐近线的斜率满足，即时，

直线l与双曲线左、右支均相交，

所以.

故选:C.

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题.

11．在如图所示的平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ）

A．4 B．8 C． D．

【答案】B

【解析】在中由三角函数求出，在中由余弦定理得，再由基本不等式可得即可求出的最小值.

【详解】解：在中，因为，，所以.

在中，因为，

所以由余弦定理得，

即，

又由不等式的性质可知，即得，

所以，从而，当且仅当时等号成立.

故选：.

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题.

12．已知函数，，若存在，使不等式成立，则的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】将转化为关于的二次函数，配方求出的最小值，只需，解关于的不等式，即可得出结论.

【详解】，，可化为

.当时，，所以当时，，由题意可知，，

所以，从而得到，

所以或或.

故选:C.

【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题.

二、填空题

13．已知函数，则曲线在点处的切线在轴上的截距为________.

【答案】

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案．

【详解】解：由，得，

，又，

曲线在点处的切线方程为，

取，得曲线在点处的切线在轴上的截距为．

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

14．已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为________.

【答案】

【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，即可求解.

【详解】设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得，

即（*）.∵O为线段的中点，

N为线段MF的中点，由中位线的性质得，

代入（*）式，解得，故其离心率.

故答案为:.

【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.

15．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.

【答案】

【解析】由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论

【详解】设数列的公比为q，由，，

得，所以或，

又因为，所以，

从而，

所以.

令，

又因为，所以.

故答案为:6

【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.

16．在平面直角坐标系xOy中，圆与x轴，y轴的正方向分别交于点A，B，点P为劣弧AB上一动点，且，当四边形OAQP的面积最大时，的值为___________.

【答案】

【解析】设，因为，所以四边形OAQP为平行四边形，所以，当时取得最大值，即可求出点的坐标，则的值可求.

【详解】解：如图所示：

则，，因为点P在圆弧上运动，

所以可设，，则，

因为，所以四边形OAQP为平行四边形，

所以，

当时，最大，此时点P与点B重合，点，

.

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题.

三、解答题

17．在数列中，有.

（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析，，(2)

【解析】（1）由前项和与通项关系，求出的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；

（2）求出数列的通项公式，用裂项相消法，即可求解.

【详解】（1）因为，

所以当时，，

上述两式相减并整理，得.

又因为时，，适合上式，

所以.从而得到，

所以，

所以数列为等差数列，且其通项公式为.

（2）由（1）可知，.

所以

.

【点睛】本题考查由数列的前项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前项和，属于中档题.

18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下列联表：

（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；

（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.

附：.

参考数据：

【答案】（1）有, （2）

【解析】（1）根据列联表求出，比较数据，即可得结论；

（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.

【详解】18.解：（1），

所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关.

（2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为，

所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.

记男性5人分别为a，b，e，d，e；女性2人分别为A，B，

从7人中任意选取2人的所有情况有：ab，ac，ad，ae，aA，aB，

bc，bd，be，bA，bB，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB，

共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以，

所以这2人中至少有一名女性的概率为.

【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.

19．在如图所示的三棱柱中，底面ABC，.

（1）若，证明：；

（2）若底面ABC为正三角形，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析，（2）

【解析】（1） ， 底面ABC，可证平面，即可求证；

（2）取的中点F，连接，可证平面，求出三棱锥，根据等体积法，，求出的面积，即可求解.

【详解】（1）因为底面ABC，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以.

（2）设点到平面的距离为d，所以，

由题可知，所有棱长均为2a，

所以在中，，，

所以.

取的中点F，连接，由题易知，

从而得到平面，

所以是点到平面的距离，所以，

又，

所以由等体积法可知，

，

即得，

所以点到平面的距离为.

【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.

20．在平面直角坐标系中，点满足方程.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）本题可以根据对两边平方并化简得出点的轨迹的方程；

（2）本题首先可以设点，得出切线的斜率为以及方程为，然后联立方程组得出以及，再然后设出点处的切线斜率为，求出切线方程为，用同样的方法得出点处的切线方程为，最后联立方程组，求出、的交点坐标，即可证得、的交点必在曲线上.

【详解】（1）由，

两边平方并化简，得，即，

故点的轨迹的方程为.

（2）依题可设点，，

曲线切于点的切线的斜率为，

切线l的方程为，整理得，

依题可知曲线，，

联立方程组，即，，

设，，则，，

设曲线上点处的切线斜率为，

切线方程为，整理得，

同理可得曲线上点处的切线方程为，

联立方程组，解得，

因为，，

所以，，、的交点坐标为，

满足曲线的方程，即、的交点必在曲线上.

【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线综合问题，考查韦达定理的灵活应用，也考查了利用导数的几何意义求解切线方程的问题，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.

21．已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间及极值；

（2）讨论函数的零点个数.

【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）答案见解析.

【解析】（1）求导，求出的解，即可求出单调区间，进而求出极值；

（2）求导，求出单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对分类讨论，即可求解.

【详解】由题得，函数的定义域为.

（1）当时，，

所以，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

所以当时，有极大值，

且极大值为，无极小值.

（2）由，得.

当时，恒成立，函数单调递增，

当时，，

又，所以函数有且只有一个零点；

当时，令，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以的极大值为

，

①当，即得时，

解得，此时函数没有零点；

②当，即时，函数有1个零点；

③当，即时，

.

当时，令，

则在上恒成立，

所以，即，

所以，

故当且时，.

当时，有，

所以函数有2个零点.

综上所述：当时，函数没有零点；

当或时.函数有1个零点；

当时，函数有2个零点.

【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区间、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于较难题.

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）利用，消去参数，将曲线C的参数方程化为普通方程，再运用 ，，将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解.

【详解】（1）因为曲线C的参数方程为

，（为参数），

所以曲线C的直角坐标方程为，

即，

将，，，

代入上式得.

（2）直线l的参数方程为，（t为参数），

将代入，

整理得，

设点M，N所对应的参数分别为，，

则，，，

因为，异号，

所以.

【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；

（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论.

【详解】（1）当时，不等式，即为，

当时，由，得，所以，

当时，由，得，所以，

当时，由，得，所以，

故不等式的解集为.

（2）当时， ，

由，得，

当时，由基本不等式得，

当且仅当，即时取等号，

因为函数在上单调递减，

所以当时，取最大值为，

故实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.