2023届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期数学期末模拟试题（解析版）

2023届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期数学期末模拟试题

一、单选题

1．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.

【详解】由题化简得，，

作出的图象，

又由易知．

故选：C.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.

2．下列命题中，真命题的个数为（    ）

①命题“若，则”的否命题；

②命题“若，则或”；

③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.

【详解】①的逆命题为“若，则”，

令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；

②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；

③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.

故选：C.

【点睛】本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．

(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：

①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．

3．复数的虚部为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.

【详解】解：=，

故虚部为-2.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.

4．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.

【详解】曲线，即，

当时，代入可得，所以切点坐标为，

求得导函数可得，

由导数几何意义可知，

由点斜式可得切线方程为，即，

故选：A.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.

5．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是(　　 )

A．29 B．30 C．31 D．32

【答案】C

【分析】设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

【详解】设正项等比数列的公比为q，

则a4=16q3，a7=16q6，

a4与a7的等差中项为，

即有a4+a7=，

即16q3+16q6，=，

解得q=（负值舍去），

则有S5===31．

故选：C．

【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．

6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为.

A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元

【答案】D

【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．

【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．

故选D．

【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．

7．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】过圆外一点引圆的两条切线，则两个切点在以为直径的圆上，圆的方程为，

则由两圆作差可得经过两切点的直线方程为.

故选：．

8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合三角函数的定义可求得的值，然后结合诱导公式和二倍角公式计算即可.

【详解】解：由题知，又.

故选：D.

【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式及倍角公式，属于基础题.

9．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，，则此数列的前20项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意得数列的奇数项为等差数列，偶数项加1为等比数列，代入数据，即可得结果.

【详解】当为奇数时，，

则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，

当为偶数时，，

则数列中每个偶数项加1后，是以3为首项，以3为公比的等比数列.

所以

，

故选：A

【点睛】本题考查数列的递推关系，分组求和，等差、等比前n项和公式，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.

10．函数的部分图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.

【详解】，函数是奇函数，排除，

时，，时，，排除，

当时，，

时，，排除，

符合条件，故选C.

【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.

11．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.

【详解】设平面向量与的夹角为，，可得，

在等式两边平方得，化简得.

故选：A.

【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

12．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.

【详解】由，

则展开式中的系数为，展开式中的系数为，

二者的系数之和为，得.

故选：B.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

二、填空题

13．函数的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.

【答案】

【分析】根据图象利用，先求出的值，结合求出，然后利用周期公式进行求解即可．

【详解】解：由，得，

，，

则，

，

，即，

则函数的最小正周期，

故答案为：8

【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．

14．已知函数函数，则不等式的解集为____．

【答案】

【详解】，，

所以，

所以的解集为．

点睛：本题考查绝对值不等式．本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到的解析式，求得的分段函数解析式，再解不等式即可．绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理．

15．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．

【答案】

【分析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.

【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，

易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

16．已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.

【答案】0

【解析】由题意，列方程组可求，即求.

【详解】∵在点处的切线方程为，

，代入得①.

又②.

联立①②解得：.

.

故答案为：0.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

三、解答题

17．在中，内角的对边分别是，满足条件．

（1）求角；

（2）若边上的高为，求的长．

【答案】（1）．（2）

【解析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.

（2）已知，由知，在中，解出即可.

【详解】（1）由正弦定理知

由己知，而

∴，

（2）已知，

则由知

先求

∴

∴

∴

【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.

18．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；

（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.

【详解】（1）①当时,不等式可化为,得，无解；

②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故0<x≤1;

③当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x< 2.

综上，不等式的解集为

（2）由题意知在R上恒成立，

所以

令，则当时，

又当时，取得最小值，且

又

所以当时，与同时取得最小值.

所以

所以，

即实数的取值范围为

【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.

19．设，函数.

（1）当时，求在内的极值；

（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.

【答案】（1）极大值是，无极小值；（2）

【分析】（1）当时，可求得，令，利用导数可判断的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；

（2）表示出，并求得，由题意，得方程有两个不同的实根，，从而可得△及，由，得．则可化为对任意的恒成立，按照、、三种情况分类讨论，分离参数后转化为求函数的最值可解决；

【详解】（1）当时，.

令，则，显然在上单调递减，

又因为，故时，总有，所以在上单调递减.

由于，所以当时，；当时，.

当变化时，的变化情况如下表：

所以在上的极大值是，无极小值.

（2）由于，则.由题意，方程有两个不等实根，则，解得，且，又，所以.

由，，可得

又.将其代入上式得：.

整理得，即

当时，不等式恒成立，即.

当时，恒成立，即，令，易证是上的减函数.因此，当时，，故.

当时，恒成立，即，

因此，当时，所以.

综上所述，.

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．

20．如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.

(I)求证：为直角三角形；

(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

【答案】（1）见解析；(II) .

【详解】试题分析：（1）取中点,连结,以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明为直角三角形；（2）设，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.

试题解析：(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,

又平面平面，

所以平面，

又平面，所以,

因为,所以，即,

从而为直角三角形.

(II)法一：由(I)可知,又平面平面,平面平面,

平面，所以平面.

以为原点，建立空间直角坐标系如图所示,则

,

由可得点的坐标

所以,

设平面的法向量为，则,

即解得，

令，得，

显然平面的一个法向量为,

依题意，

解得或（舍去），

所以，当时，二面角的余弦值为.

法二：由(I)可知平面,所以,

所以为二面角的平面角，

即,

在中，,

所以

，

由正弦定理可得，即

解得，

又,所以,

所以，当时，二面角的余弦值为.

21．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.

【答案】（1）点M的极坐标为或（2）

【解析】（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.

（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.

【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，

由，得，

∵

∴或，

所以点M的极坐标为或

（2）由题意可设，.

由，得，.

故时，的最大值为.

【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.

22．设函数.

（1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性；

（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点.

【答案】（1）f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增（2）证明见解析

【解析】（1）利用函数为偶函数及

，可判断函数在上的单调性；

（2）函数为上的偶函数，要证明函数在上有且仅有两个零点，只要证明在上有且仅有1个零点，再结合（1）所求得的单调性和极值，可判断出在，上各有一个零点，从而可证明结论.

【详解】（1），

由f(x)=0，x∈[−π，π]得x=0或或.

当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增.

（注：在端点处写成闭区间也给分）

（2）由（1）得极大值为f(0)=−4；极小值为f()=f()<f(0)<0.

又f(π)=f(−π)=π2+4>0，

所以f(x)在，上各有一个零点.

显然x∈(π，2π)时，−4xsinx>0，x2−4cosx>0，所以f(x)>0；

x∈[2π，+∞)时，f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>0，

所以f(x)在(π，+∞)上没有零点.

因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x)，

所以f(x)为偶函数，

从而x<−π时，f(x)>0，即f(x)在(−∞，−π)上也没有零点.

故f(x)仅在，上各有一个零点，即f(x)在R上有且仅有两个零点.

【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查推理证明能力，属于难题.