2023届贵州省镇远县文德民族中学校高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2023届贵州省镇远县文德民族中学校高三上学期第三次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求出集合，求出，再求交集可得答案.

【详解】集合， ，

则.

故选：A.

2．已知i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简可得，，从而求得，则.

【详解】由可得，，

所以，，则.

故选：B.

3．若数列是等比数列，且，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.

【详解】因为数列是等比数列，由，得，

所以，因此.

故选：C.

4．已知函数，则的零点个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】分段令，解方程即可得解.

【详解】当时，令，得；

当时，令，得.

故选C.

【点睛】本题主要考查了分段函数零点的求解，涉及指数和对数方程，属于基础题.

5．已知某公司的1800名员工由老年人、中年人、青年人组成，其中中年人有360人，用分层抽样的方法抽取360人，抽取的青年人比抽取的老年人多88人，则该公司的员工中青年人人数是（    ）

A．188 B．360 C．760 D．940

【答案】D

【分析】首先求出抽样比为，可知抽取中年人为72，设抽取的青年人数为，可得，从而得到结果.

【详解】由已知可得，抽样比为，则抽取的中年人数为.

设抽取的青年人数为，则抽取的老年人数为，

所以，有，解得.

所以，该公司的员工中青年人人数是.

故选：D.

6．若，满足约束条件则的最大值是

A．-8 B．-3 C．0 D．1

【答案】C

【分析】作出可行域，把变形为，平移直线过点时，最大.

【详解】作出可行域如图：

由得：，

作出直线，

平移直线过点时，.

故选C.

【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题，属于中档题.

7．与双曲线的渐近线平行，且距离为1的直线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，再设与渐近线平行的直线方程为，由平行线间的距离公式求出t即可.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，

设与渐近线平行的直线方程为，

根据平行直线间的距离公式：

，得.

所求直线方程为.

故选A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，渐近线，平行线间的距离，属于中档题.

8．某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为40，则其最长侧棱与底面所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长侧棱与底面所成角的正切值即可

【详解】

由三视图可知，该四棱锥的底面是长为6，宽为5的矩形，设高为h，

所以，解得，

则其最长侧棱与底面所成的角的正切值为.

故选：A

【点睛】本题解答的关键是画出直观图，考查线面角的求法，属于基础题.

9．在中，，斜边上一点满足，则（    ）

A．24 B．27 C．36 D．81

【答案】B

【分析】先根据向量的减法,把用和表示,在应用,根据数量积定义和运算律计算即可.

【详解】因为,所以

,可得,

所以

又因为,,所以

所以

故选:.

10．奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸．若向图（1）内随机投入一点，则此点取自图中黑色部分的概率约为（    ）

A．0.108 B．0.237 C．0.251 D．0.526

【答案】B

【分析】求最大圆的面积，利用两圆面积差求黑色圆环面积，利用三角形的面积公式求每一个黑色三角形面积，最后利用数值的估算锁定答案.

【详解】最大圆的面积；

黑圈面积 ；

每个黑色三角形

黑色面积与总面积的比值为

0.237（可以代入，也可以借助找到最接近的答案）

故选：B.

11．如图，在长方体中，，E，F分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平行线，将异面直线的夹角问题转化为共面直线的夹角问题，再解三角形.

【详解】

取BC中点H，BH中点I，连接AI、FI、，因为E为的中点，在长方体中，，所以四边形是平行四边形，所以

所以，又因为 F为的中点，所以，所以，

则即为异面直线与所成角(或其补角).

设AB=BC=4，则，则, ，根据勾股定理：

，，

，

所以 是等腰三角形，所以 .

故B，C，D错误.

故选：A.

12．若函数在区间上的最大值是，则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】C

【分析】把函数化为的二次函数,根据求出函数的最大值,由此求得的值.

【详解】函数

由,得,所以时,

函数在区间上取得最大值,解得

故选:

二、填空题

13．设函数为奇函数，当时，，则_______．

【答案】

【分析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.

【详解】函数为奇函数，当时，，

所以.

故答案为-1.

【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.

14．已知等差数列满足，公差，则当的前n项和最大时，___________．

【答案】3

【分析】根据公式求出前n项和，再利用二次函数的性质.

【详解】因为等差数列，，

所以，

当时，取到最大值.

故答案为：3.

15．函数的上的最大值是___________.

【答案】

【分析】应用导数研究的单调性，进而确定其最大值即可.

【详解】由题设，，易知：时，时，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴.

故答案为：

16．已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为______.

【答案】

【分析】由题知，进而根据得，再根据焦半径公式得，再联立抛物线与直线的方程得，最后根据计算即可.

【详解】解：如图，因为为等边三角形，且面积为，

所以，，解得，

因为，

所以，

因为由焦半径公式得：，解得，

所以，抛物线，直线的方程为：.

所以，联立方程得，解得，

因为，

所以

所以

故答案为：

三、解答题

17．在中，角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，的面积为，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)由正弦定理得到，两边消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因为，所以，再结合余弦定理得到结果.

【详解】（1）由,

得,

因为，所以，

整理得：，因为，所以.

（2）因为，所以，

因为及，

所以，即.

【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

18．某学校计划举办运动会，为了搞好服务工作，学校向全校招募了26名男生和24名女生，调查发现，男、女生中分别有20人和16人喜欢运动，其余人不喜欢运动.

(1)根据以上数据完成以下列联表：

(2)根据列联表的独立性检验，能否有95%的把握认为喜欢运动与性别有关？请说明理由.

附：，其中.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）由题设条件填写即可；

（2）计算卡方，即可作出判断.

【详解】（1）由题意可知，列联表如下表：

（2）

即没有95%的把握认为喜欢运动与性别有关.

19．如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面．

(1)证明：；

(2)求C到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的性质证明出；（2）利用等体积转换法，先求出O到平面AEF的距离，再求C到平面的距离.

【详解】（1）在矩形中，.

因为平面平面，平面平面,

所以平面，所以.

（2）设AC与BD的交点为O,则C到平面AEF的距离为O到平面AEF的距离的2倍.

因为菱形ABCD的边长为4且，所以.

因为矩形BDFE的面积为8，所以BE=2.

,,则三棱锥的体积.

在△AEF中, ,所以.

记O到平面AEF的距离为d.

由得：,解得：，所以C到平面AEF的距离为.

20．已知椭圆C：的离心率为，焦距为，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M（t，2）（t≠0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明PQ过定点．

【答案】（1）（2）见解析.

【分析】（1）根据离心率、焦距及椭圆中a、b、c的关系，求得a、b、c的值，得到椭圆的标准方程．

（2）表示出MA、MB的直线方程，分别联立方程表示出P、Q的坐标，进而用t表示出两条直线的斜率，根据斜率相等即可求得过的定点坐标．

【详解】（1）解：由题意知， 解得，

所以椭圆的方程为

（2）证明：易知，

则直线的方程为，直线的方程为

联立，得，

于是，

同理可得，

所以直线的斜率，直线的斜率

因为，

所以直线过定点

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题．

21．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)证明：当时，，.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减．

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可

（2）将转化为证当时，对任意， 恒成立，由此利用构造法，令，通过导函数的单调性，求解函数的最值，然后证明结论.

【详解】（1）由题意知， ,

当 时， 对恒成立，

所以当 时， ；当 时，,

所以函数 在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：要证明当时，，,

即证当时，对任意， 恒成立，

令 ，

所以，

因为，，则，仅在或时取等号，

所以函数 在上单调递减，

所以 ，

即当时，，.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的问题，一般是将不等式进行等价转化，根据其结构特征构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题解决.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，求的最小值.

【答案】(1)：，：

(2)

【分析】(1)曲线化成，根据化简成的关系式.把曲线的极坐标方程中的,用两角和的余弦展开化简，再根据代入可得.

(2)根据直线外一点与直线上一点的距离的最小值为直线外这一点到直线的距离，设出，然后根据点到直线的距离公式得到，根据，来讨论，即可求出最小值.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以，又因为

所以，曲线：

又因为，即

即，即

又因为，所以变为：

故曲线的直角坐标方程：

（2）设，

因为直线外一点与直线上一点的距离的最小值为直线外这一点到直线的距离.

点到直线的距离为：

又因为，所以，所以

所以的最小值为，故的最小值为

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分，，不同范围讨论，分别求解即可得到结果；

（2）根据题意转化为求，即可得到，求解不等式即可得到结果.

【详解】（1）由，得，

当时，由，得；

当时，由，得；

当时，由，得，

综上所述，不等式的解集为

（2）不等式，即为，

而，

所以，解得或，

所以的取值范围是