2023届广东省中山市小榄中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

2023届广东省中山市小榄中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，则（    ）

A．{0，4} B．{4} C．{1，2，3} D．⌀

【答案】A

【分析】根据集合补集、交集的定义进行求解即可.

【详解】因为U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，

所以={0，3，4}，={0，1，4}，

所以{0，4}．

故选：A

2．若，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】选取特殊值直接代入各选项进行判断即可.

【详解】取.

对于A，，此时，故A错误；

对于B，，此时，故B错误；

对于C，，此时，故C正确；

对于D，，此时，故D错误.

故选:C

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性一一判断即可；

【详解】解：对于A：为偶函数，且在上单调递增，故A错误；

对于B：，不具有奇偶性，故B错误；

对于C：为偶函数，且在上单调递增，故C错误；

对于D：为偶函数，且在上单调递减，故D正确；

故选：D

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必想条件

【答案】A

【分析】求出给定的两个不等式的解集，再由两个集合的关系即可得解.

【详解】解不等式，即且，解得，于是得不等式的解集为，

解不等式，即，解得，于是得不等式的解集为，

显然有，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．下列不等式一定成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.

【详解】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误；

B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误；

C：恒成立，故C正确；

D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误；

故选：C

6．若函数是增函数．则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由于函数为增函数，所以在上恒成立，从而可求出实数的取值范围

【详解】解：的定义域为，

由，得，

因为是增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，解得，

故选：D

7．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的定义域以及真数的单调增减区间，根据复合函数的单调性再写出函数的单调减区间即可.

【详解】解：的定义域为：，解得：.

令，对称轴为，单调增区间为，减区间为

为单调递增函数，所以的单调递减区间为.

故选：D

8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案

【详解】解：∵当时，恒成立，

∴当时，，即，

∴函数在上为单调增函数，

∵函数是偶函数，即，

∴函数的图象关于直线对称，∴，

又函数在上为单调增函数，∴，

即，∴，

故选：B．

二、多选题

9．已知命题；命题.若是的充分不必要条件，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】先将命题化为最简形式，再代入选项中的值判断即可.

【详解】对于：；对于.

对于A，当时，，是的既不充分也不必要条件，故A错误；

对于B，当时，，是的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C，当时，，是的充分不必要条件，故C正确；

对于D，当时，，是的充分不必要条件，故D正确.

故选:CD

10．下列四个结论中正确的是（    ）

A．“”是“的函数值恒小于0”的充要条件

B．“，”的否定为“，”

C．函数的值域是

D．函数在上单调递增

【答案】BCD

【分析】逐项进行判断，对A，不明确的符号；对B，特称命题的否定；对C，利用二次函数的值域的求法可得；对D，双勾函数直观想象判断即可.

【详解】对A，当时，的函数值恒大于0，故A错；

对B，特称命题的否定为全称命题，故正确；

对C，的对称轴为，所以当时，；当时，

所以函数的值域是，故正确；

对D, 函数在单调递增，在上单调递增，故正确；

故选：BCD

11．已知函数的值域是[1，2]，则其定义域可能是（    ）

A．[] B．[ ] C． D．[]

【答案】ABC

【解析】由可得或，由可得，然后可得答案.

【详解】因为函数的值域是[1，2]，由可得或，由可得

所以其定义域可以为A、B、C中的集合

故选：ABC

12．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若在上有最小值，则在上有最大值1

C．若在上为增函数，则在上为减函数

D．若时，，则时，

【答案】ABD

【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．

【详解】由得，故正确；

当时，，且存在使得，

则时，，，且当有,

∴在上有最大值为1，故正确；

若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；

若时，，则时，，，故正确．

故选：．

【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．

三、填空题

13．已知函，，则______.

【答案】或

【分析】分和解方程，即可得解.

【详解】当时，由可得；

当时，由可得.

所以，或.

故答案为：或.

14．已知，且，则的最小值是___________.

【答案】8

【分析】根据基本不等式结合求解即可.

【详解】，

当且仅当，即时取等号.

故答案为：8.

15．已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．

【答案】

【分析】方程有4个不同的实数解，则方程有4个不同的实数解，即直线与曲线有4个公共点，利用数形结合处理．

【详解】由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．

作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．

易知：．

故答案为：．

16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则下列命题：

①对任意，都有；

②函数在上递减，在上递增；

③函数的最大值是1，最小值是0；

④当时，.

其中正确命题的序号有_________.

【答案】①②④.

【分析】根据已知条件，结合函数的周期性，奇偶性和单调性，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数对任意的恒有，

可得，所以①正确；

由时，为单调递增函数，

因为函数是定义在上的偶函数，可得时，函数为单调递减函数，

又由函数的周期为，可得函数在上递减，在上递增，所以②正确；

由②可得，当时，函数取得最小值，最小值为；

当时，函数取得最大值，最大值为，

根据函数的周期性，可得函数的最大值为，最小值为，所以③不正确；

当时，则，

可得，所以④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：

1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；

2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.

四、解答题

17．已知集合且，求实数的值．

【答案】

【分析】根据题意进行分类讨论并计算即可，注意检验集合元素的互异性.

【详解】由题意可得如下两种情形，

①若时，或，

时，满足题意，

当时，不合题意；

②若时，，

当时，，与集合元素的互异性不相符，

综上所述，

18．已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先根据不等式的解集确定对应二次方程的根，再根据韦达定理解出参数即可；

（2）根据题意知对称轴在区间内，列不等式即解得答案.

【详解】解：（1）由已知得方程的两根为1和3，

故，解得，

再由韦达定理有，得，符合要求，

故实数k的值为；

（2）∵函数在区间上不单调，二次函数对称轴为，

∴，解得，

所以实数k的取值范围为．

19．集合，函数的定义域为，集合.

（1）求集合；

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)求解函数的定义域即可得集合;

(2)由题知,进而分,两种情况讨论求解.

【详解】解：（1）

解得

所以，

（2）因为集合，且

所以.

当时,需,解得实数m无解，

当时,需,解得

综上：实数m的取值范围：.

20．已知，，其中．

（1）若，且p，q均为真，求x的取值范围

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）解一元二次不等式，根据命题均为真，求交集即可.

（2）由题意可得，，由可得，解不等式组即可.

【详解】解：由，得，所以．

由，，得，所以．

当时，，因为p，q均为真，

所以，即x的取值范围为．

由p是q的充分不必要条件，知，，

由知，，，

所以等号不同时成立，

解得，即m的取值范围为．

21．已知定义域为R的函数是奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断的单调性，并证明；

(3)若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)1

(2)递减函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由为定义在上的奇函数，可得，即可求得；

（2）在上是递减函数，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；

（3）由的奇偶性和单调性，可得，运用参数分离和换元法、指数函数和对勾函数的单调性，可得所求范围．

【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，则，即，

可得

，解得；

（2），故在R上是递减函数．

证明：任取、，且，

，

∵，∴，∴，即，

故是定义在R上的递减函数；

（3）∵，∴，

因为是R上的奇函数，∴，

∵是R上的递减函数，∴，

∴对任意的恒成立，

设，且，即．

∵，∴，∴，

（当且仅当即时等号成立），

∴．

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法、换元法、基本不等式是解题的关键.

22．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若，求b的最小值．

【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）求导分和两种情况求解即可；

（2）由（1）将原不等式转化为有解，即有解，再构造函数，求导分析最小值即可

【详解】（1）当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.

（2）当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为

【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性问题，同时也考查了根据函数的单调性分析参数最值的问题，需要理解求函数的最大值或最小值与参数的关系，属于中档题