2023届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考数学试题（解析版）

这是一份2023届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式可得集合 ，求函数值域可得集合，进而可得.【详解】解不等式得，又，所以，即集合，所以，故选：B.2．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出复数，再求其共轭复数，即可判断.【详解】复数，所以的共轭复数，所以在复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D.3．记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（    ）A． B． C． D．是等比数列【答案】A【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.【详解】对于A，已知，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，符合上式所以是通项为的等比数列，A选项正确；对于B，已知，所以，，不符合上式所以，B选项错误；对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为不符合等比数列的通项公式，D选项错误；故选：A.4．恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕.某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平，至少经过（    ）年（参考数据：，，，）A．8年 B．7年 C．4年 D．3年【答案】C【分析】根据“每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%”以及列不等式，解不等式即得.【详解】设经过的年份为年，依题意有，即，两边取以为底的对数得，即，故至少经过年，可使家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选：C.5．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（    ）A．56 B．28 C．24 D．12【答案】B【分析】设两个社团分别为甲乙，按A在甲社团B在乙社团和A在乙社团B在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有种方案，甲社团有3 人有种方案，甲社团有4人有种方案，共种方案；当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；所以不同的安排方案数是14+14=28.故选：B6．设，，若对，，则与的夹角等于（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】对两边平方，然后转化为关于的二次不等式恒成立问题，利用判别式解答即可.【详解】，设，即，即对很成立，即对很成立，，解得，即，又，与的夹角等于150°，故选：D.7．设，，，，，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】分别构造函数；，结合函数的单调性得出答案．【详解】令，则，令，则，∵，∴，∴在上单调递减，∴，即当时，恒成立，∴当时，单调递减，∵，∴，则，即．，，令，则，当时，，单调递减，∴，即，∴，∴，∴．故选：C．8．已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（    ）个A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个【答案】B【分析】分类讨论直角顶点，，三种情况，其中为直角时，因为为短轴一端点，令，长度的最大值为，椭圆，说明椭圆与圆至多有且仅有下顶点这唯一焦点，需要设 ，然后联立方程得出，在分类讨论即可.【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；因为为短轴一端点，令，长度的最大值为， 椭圆，所以说明椭圆与圆至多有且仅有下顶点这唯一焦点，设 ，所以 ，即所以 ，因为，所以带入中得：，因为 ，所以，所以，所以，因为，当 带入得：所以，所以，所以即 ，当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点有2个，当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点有0个，所以使为直角三角形的点共有4个或6个，故选：B. 二、多选题9．下列结论中，正确的有（    ）A．若随机变量，，则 B．将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C．已知经验回归方程为，且，，则              D．在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好【答案】AC【分析】根据正态分布的性质可判断A，根据均值与方差的性质可判断B，根据线性回归直线过样本中心可判断C，根据相关指数的含义可判断D.【详解】对于A，因为随机变量，，所以，故A正确；对于B，将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值发生变化而方差不变，故B错误； 对于C，因为经验回归方程为，且，，则，即，故C正确；对于D，在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误.故选：AC.10．过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ）A．原点在以为直径的圆内 B．线段的长度可以为C．圆上存在不同两点，，使 D．四边形面积的最小值为【答案】ACD【分析】设，则为的中点，且，根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到，，根据的范围，结合条件逐项分析即得.【详解】依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，因为，故B不正确；所以圆上存在不同两点，，使，故C正确；由题可知，，所以原点在以为直径的圆内，故A正确；因为四边形面积为，所以四边形面积的最小值为，故D正确.故选：ACD.11．正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（    ）A．与是异面直线B．平面平面C．存在点使得D．当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为【答案】BD【分析】选项A，可证明与共线；选项B，利用面面垂直的判定定理证明；选项C，假设结论成立能推出矛盾；选项D，截面是等腰梯形，可求面积.【详解】因为、、共线，又，即、、、共面，因此与共面，故A选项不正确；正方体中，，，，、平面，平面，因为平面，∴平面平面，故B选项正确；已知为线段上的动点（不包括两个端点），设，假设存在点使得，则有：解得，与重合，与已知矛盾，故C选项不正确；当为线段中点时，为线段中点，连接，如图所示：有，得 ，因为，同理,过、、三点的平面截此正方体所得截面为等腰梯形， 正方体的棱长为2，，，，过点作，交于点，由，，从而可得等腰梯形的高为，∴截面等腰梯形的面积为，所以过、、三点的平面截此正方体所得截面的面积为，故D选项正确；故选：BD.12．已知函数，，下列判断中，正确的有（    ）A．存在，函数有4个零点B．存在常数，使为奇函数C．若在区间上最大值为，则的取值范围为或D．存在常数，使在上单调递减【答案】BC【分析】把表示为分段函数，分类讨论作出函数图像，数形结合研究函数的奇偶性、单调区间、最值等性质.【详解】函数函数图像如图所示：由图像可知，函数的图像与直线不可能有4个交点，所以不存在使函数有4个零点，A选项错误；当时，，函数定义域为R，，此时为奇函数，B选项正确；当或时，在区间上单调递增，最大值为；当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，不合题意；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若最大值为，则有，即，由，所以，解得；综上，在区间上最大值为，则的取值范围为或，C选项正确；若在上单调递减，则有，不等式组无解，故不存在常数使在上单调递减，D选项错误；故选：BC 三、填空题13．已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，则展开式中不含的各项系数之和为______.【答案】161【分析】由题可得，再利用二项展开式的通项公式及赋值法即可求解.【详解】因为展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，所以，解得，所以展开式的通项公式为，所以令，可得展开式中含项的系数为，所以展开式中不含的各项系数之和为.故答案为：161.14．若函数满足，则实数______.【答案】##【分析】由可知函数的对称轴方程，把对称轴方程代入函数解析式得到函数最值，可解出实数.【详解】函数满足，所以函数图像的对称轴为直线 ，， 其中，∴，，，，两边同时平方，化简得，∴.故答案为：15．若双曲线的右支上存在两点，，使为正三角形（其中为双曲线右顶点），则离心率的取值范围为______.【答案】【分析】根据等边三角形的性质以及双曲线图像的对称性，可得，进而即得.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，要使该双曲线右支上存在两点，，使为正三角形，则需过右顶点，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，也只需其斜率大于渐近线的斜率．∴，即，即，∴，即，又，所以．故答案为：. 四、双空题16．平面四边形中，，，，，沿将向上翻折，进而得到四面体，①四面体体积的最大值为______；②若二面角的大小为120°，则______.【答案】     ##     【分析】第一空：当点到面的距离最大，即当面面时， 四面体的体积最大，取中点，连接，利用体积公式求解即可；第二空：则以为轴，为轴，在中作轴建立空间直角坐标系，求出AC两点坐标，用两点距离公式求解即可.【详解】在平面四边形中，，，，则，为直角三角形翻折后，要四面体的体积最大，底面的面积是确定的，只要点到面的距离最大即可，则当面面时， 四面体的体积最大取中点，连接，因为，为中点，则，又面面，面面，面，则面，即为点到面的距离又，即四面体体积的最大值为.过点作，交于，连接，因为，，则为二面角的平面角，即，，，且，面，面面，则以为轴，为轴，在中作轴建立空间直角坐标系，如图：在中，过作交的延长线于，面，且面，则面面，又，面面，面面，则则，在中，到距离为，到轴距离为，即，则故答案为：；. 五、解答题17．中，，，，.(1)若，，求的长度；(2)若为角平分线，且，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）从向量角度，以为基底，表示出，再用向量法计算的模长，即的长度；（2）用正弦定理的面积公式分别A表示出，，面积，列出等式计算即可求出A的正弦值，继而求出面积.【详解】（1）∵，，∴，又∵在中，，，，∴，∴，即：.（2）在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴.18．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1. (1)若点是的中点，证明：平面平面；(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱上靠近端点的三等分点 【分析】(1) 利用等腰三角形证明且，得出平面，即可得平面平面. (2)建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成的角的正弦值为，借助于平面法向量解出.【详解】（1）证明：∵点在底面上的射影为点，∴平面，∵四边形是边长为的正方形，∴，∵，∴，即：，∴，又∵，点是的中点，∴，同理可得：，又∵，且平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）如图，连接，易知，，两两互相垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为，∵点在棱上，不妨设，，又，∴，∴，∵，，设平面的法向量为，则令，则，∴，又，设直线与平面所成的角为，则，∴，即，解得：或（不合题意，舍去），∴存在点符合题意，点为棱上靠近端点的三等分点.19．袋中有大小相同的6个球，其中1个白球，2个红球，3个黑球，今从中逐一取出一个球.(1)若每次取球后放回，记三次取球中取出红球的次数为，求的分布列、期望和方差；(2)若每次取球后不放回，直至取出3种颜色的球即停止取球，求取球次数恰好为4次的概率.【答案】(1)分布列见解析，，；(2). 【分析】（1）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而即得；（2）根据古典概型概率公式结合排列组合知识即得.【详解】（1）由题可得，且的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列为：0123 ∴，；（2）设取球次数恰好为4次是事件，∴，∴.20．记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；；(2). 【分析】（1）由题可得，然后根据项与前项和的关系可得，再根据等比数列的定义即得；（2）由题可得，然后利用分组求和法及求和公式即得.【详解】（1）∵，，∴，，设，则，，又∵数列为等差数列，∴，∴，∴，当时，，∴，∴，又∵，∴，即：，又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，∴，即；（2）∵，且，∴，∴，∴.21．已知，动点满足以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】(1) 设，由以为直径的圆与轴相切，列等式得方程.(2) 设的方程为：，由，利用三角形面积公式和向量数量积，求解t的值得直线方程.【详解】（1）设，又∵，∴线段的中点坐标为，又∵以为直径的圆与轴相切，∴，∴化简得：.∴动点的轨迹的方程为.（2）设，，易知斜率不为0，不妨设的方程为：，联立得：，则，.∵，∴，∴，∴，即：，∵，且O点到直线AB的距离为，∴，又∵∴，∴，∴，∴直线的方程为：，即：或.22．已知函数.(1)求的极值点；(2)设函数，，若为的极小值，求的取值范围.【答案】(1)有极小值点为，无极大值点(2)实数的取值范围为 【分析】（1）求导得，然后令，求得，可得，结合，即可得到函数的零点.（2）由题意设，然后分与讨论，当时，分与讨论，再结合条件即可得到结果.【详解】（1）∵，∴，设，则，∴在上单调递增，又∵，∴时，，时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴有极小值点，无极大值点.（2）∵，∴，设，则，当时，，在上单调递减，又∵，∴时，，时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴是的极大值点，与题意矛盾.当时，在上单调递减，且，①当时，若，，∴在上单调递减，又∵∴时，，∴在上单调递减，与题意矛盾.②当时，若，则，∴在上单调递增，又∵∴时，，∴在上单调递减，若，易证：，则，又∵，∴存在使得，且当时，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，又∵在上单调递减，∴是的极小值点，符合题意.综上，实数的取值范围为.