2023届山西省新高考高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届山西省新高考高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.

【详解】对于A，当集合时，不是的子集，故A错误；

对于B，当集合时，不是的子集，故B错误；

对于C，当集合时，，故C错误；

对于D，因为，，且，所以，故D正确.

故选：D.

2．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.

【详解】由，解得或，所以.

因为不是的子集，且是的子集，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

3．在数列中，.则（    ）

A．36 B．15 C．55 D．66

【答案】C

【分析】利用递推公式，代入计算即可.

【详解】由题意得，

则.

故选：C.

4．已知数列的前n项和为，且满足，，则（    ）

A．0 B． C．l D．

【答案】C

【分析】由求解即可.

【详解】解：

．

故选:C．

5．已知数列满足，，则数列（    ）

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】A

【分析】根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断和选择.

【详解】因为，，所以当时，；

当时，，故，

因为函数在区间上单调递减，

所以当，时，是递减数列.

又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为.

故选：A.

6．已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

【详解】解：因为数列是等差数列，

所以是正项等比数列，

又，

所以 ，

解得 或-1（舍），

又因为是和的等差中项，

所以，

则，即．

所以，

令，则，

所以，

当且仅当时，即时取等号．

故选：A．

7．对于数列，若存在常数M，使得对任意，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（    ）

A．若，则数列各项均大于或等于M

B．若，，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当时，判断A；当时，判断C；当数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，时，判断B；直接根据定义可判断D正确.

【详解】对于A：在数列1，2，1，2，1，2…中，，数列各项均大于或等于不成立，故A错误；

对于B：数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，，而各项均为3，则不成立，故B错误；

对于C：在数列1，2，1，2，1，2…中，，此时不正确，故C错误；

对于D：若，则中，与中至少有一个不小于，故正确，

故选：D．

8．已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到.

【详解】，

为偶函数，图象关于轴对称，

的零点关于轴对称，又有唯一零点，的零点为，

即，，即，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，

，则.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列为等比数列.

二、多选题

9．已知数列的通项公式为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断

【详解】由题，

，

故A错；，故B对；

，故C对；

，故D错.

故选：BC

10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各项即可判断.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：取，则，解得，即A正确；

对于选项B：由A可知，，则，即B正确；

对于选项C：因为，即C错误；

对于选项D：因为，且，即D正确.

故选：ABD.

11．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．是奇函数

C．的图象关于直线对称 D．不存在单调递㓕区间

【答案】BD

【分析】对A，由周期定义结合即可判断；

对B，由奇函数定义判断即可；

对C，由对称定义结合即可判断；

对D，由导数法判断即可.

【详解】对A，因为，，所以，则不是的最小正周期，A错；

对B，令，则，故，所以函数是奇函数，B对；

对C，因为，，所以，则的图象不关于直线对称，C错；

对D，因为（两等号不能同时成立），所以不存在单调递减区间，D对.

故选：BD.

12．对于正整数，是不大于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：.则（    ）

A． B．数列为等比数列

C．数列不单调 D．

【答案】BC

【分析】根据题目定义列出满足函数的数列即可各个选项一一判断求解.

【详解】不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；

因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，则数列为2为首项,3为公比的等比数列，故B正确；

因为，，所以，故数列不单调递增.又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；

因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有（个），所以，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知锐角满足，则_______________.

【答案】

【分析】利用同角三角函数基本关系及倍角公式变形计算即可.

【详解】因为，所以.又为锐角，

所以，即，

所以，

所以.

故答案为：

14．已知数列是等差数列，，则______________.

【答案】##

【分析】根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.

【详解】令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以.

故答案为：.

15．某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）

【答案】2036

【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.

【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，

由题意得，并且，

设，则，则0.2x＝100，则x＝500，

∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，

令，则，即，

即，所以，因此.

2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，

故答案为：2036

四、双空题

16．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，.记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前项和为，则______________，______________.

【答案】     43    

【分析】根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.

【详解】由题意知第一圈从点到点共8个点，

由对称性可知；

第二圈从点到点共16个点，

由对称性可知，

即……依此类推，

可得第圈的个点对应的项的和为0，

即.设在第圈，

则，

当时,,

由此可知前22圈共有2024个数，

故，点的坐标为，

则，

点的坐标为，

则，

所以.

故答案为: 43;.

五、解答题

17．已知数列满足，设.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论，

（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小

【详解】（1）证明：因为，所以，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）可得，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以

18．记数列的前项和为，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，，数列中的最大项是第项，求正整数的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)已知与的关系，则用即可得到通项公式.

(2)的前项和为可用错位相减法求得，将求得结果代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.

【详解】（1）（1）当时，，解得；

当时，由①，

得②，

①-②，得，

即.

又，所以，

所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以.

当时，符合.

所以的通项公式为

（2）由（1）得，

所以③，

④，

③-④，得

，

所以，

所以，

所以.

令，得.又，所以.

当时，可得，此时数列单调递减.

故数列中的最大项为第2项，即.

19．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

(1)求证：；

(2)求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得，即可证明结论；

（2）利用（1）的结论将边化角，结合三角恒等变换可得，由基本不等式可求得答案.

【详解】（1）证明：在中，由已知及余弦定理，得，

即,

由正弦定理，得，又，

故

.

∵，∴,

∵，∴，故.

（2）由（1）得，∴，，

由（1），得

，

当且仅当时等号成立，

所以当时，的最小值为.

20．已知函数，．

(1)当时，比较与2的大小；

(2)求证：，．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，求得导函数，再根据，分不同范围讨论即可.

（2）由（1）中结论可知，当时，，然后换元，即可得，

结合对数运算从而可证得结论.

【详解】（1）当时，，，

所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，

（2）由（1）知，当时，，即，令，，

则有，即，

所以，

即，．

21．记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，.

(1)求，的通项公式；

(2)将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.

【答案】(1)，.

(2)15080

【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；

（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.

【详解】（1）由，得，因为，所以.

结合，可得，，，解得，，

所以数列的通项公式为，

数列的通项公式为.

（2）由（1）可知，当时，.

又，所以，，，，，，，，，

令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，

所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项.

将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，

所以的前100项和为.

22．已知函数，.

(1)求的极值；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)无极大值，极小值为.

(2).

【分析】（1），令，解出，根据原函数，导函数，极值之间的关系即可得到答案.

（2）对原不等式变形得对任意的恒成立，则构造函数，，而，转化为在区间上单调递增，对其求导转化为在区间上恒成立，最终得到在区间上恒成立，得到范围.

【详解】（1），，则

令，解得.

当时，；当时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以有极小值，无极大值，且极小值为.

（2）根据题意，得对任意的恒成立，

即对任意的恒成立.

令，，则对任意的恒成立.

下面证对任意的恒成立.

令，，

则在区间上恒成立，

故在区间上单调递减，所以，即，.

所以对任意的恒成立，

只需在区间上单调递增，

即在区间上恒成立，在为单调增函数，故

所以在区间上恒成立，

所以，故实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：第二问的关键利用同构的方法，变形出，这样才能构造出函数，从而降低函数的复杂性，从而求出范围.

结论点睛：常见的放缩不等式：①(仅当取等号)，

②(仅当取等号)，

③(仅当取等号)

④(仅当取等号).