2023届宁夏银川市第六中学高三上学期第四次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届宁夏银川市第六中学高三上学期第四次月考数学（文）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏银川市第六中学高三上学期第四次月考数学（文）试题 一、单选题1．设集合，，则　　A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合,∴.故选C.2．已知是虚数单位，若复数满足，则（    ）．A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】先求出，然后根据复数的模求解即可【详解】，，则，故选：C3．设a，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】得出“”的充要条件为“或”，再判断即可得解．【详解】因为“”的充要条件为“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，化切为弦，结合平方关系可得，再由诱导公式求得的值．【详解】因角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则有，即．再由，可得.又由诱导公式，.故选：D．5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数表示的几何意义求最值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由得，直线表示斜率为的直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最小．经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．由，解得，即，此时，由，解得，即，此时，即，故选：D．6．若，则的值为A． B． C． D．【答案】B【分析】将分子分母同时除以，将式子转化为只含有的式子，再代值求解.【详解】,则将式子分子分母同时除以，可得.选B.【点睛】本题考查三角函数中的化简求值问题，利用同角三角函数的关系，将所求式子中的正弦、余弦转化为正切，是本题化简求值的关键.7．在区间上任取两个数，则两个数之和小于的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设，，如下图所示：在方程中，当时，，当时，，所以两个数之和小于的概率是：，故选：D8．已知为等比数列,,,则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.9．已知，则的最小值是A．  B． C． D．【答案】B【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．【详解】因为 ，又，所以，当且仅当时取，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．10．已知函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数为偶函数排除选项D；利用时排除选项C；利用时排除选项A；进而仅有选项B正确.【详解】函数定义域为，由，可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；由当时，仅有，可知选项C图象错误；由当时，，则则选项A图象错误.仅有选项B正确.故选：B11．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】将问题转化为与函数的图象没有交点，利用数形结合法求解.【详解】设，图象如图，问题转化为图象与函数图象没有交点，由图象可得或.故选：A12．已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数.以上命题中正确的为（    ）A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【解析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①，为奇函数，正确；②，为周期函数，正确；③，令，则，令，得，且为最大值，错误；④当时，，所以在上为增函数，正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 二、填空题13．已知向量，，且，则______．【答案】【分析】利用向量共线的坐标满足的条件，求出，然后解向量的模．【详解】解：向量，，且，可得,解得，则，，，．故答案为：．【点睛】本题考查向量的共线的坐标表示以及向量的和与差的模，考查计算能力．14．若数列的前n项和为，则数列的通项公式是___________．【答案】【分析】由，时，；时，，即可得出．【详解】∵，∴时，；时，，则数列的通项公式是．故答案为：．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.【解析】正弦定理及运用． 16．已知函数，，且在上单调递减，则_________．【答案】【详解】对于函数，，可得函数关于对称，所以有，又在上单调递减，所以有，. 三、解答题17．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在的频率及全班人数；（2）求频率分布直方图中的；（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.【答案】（1）频率为0.2，人数为25人 （2），（3）0.7【分析】（1）频率分布直方图中所对应矩形的面积即为分数在的频率，频数与频率比值即为总数.(2)由茎叶图得的频数，由频数与总人数的比值得频率，从而得到y值，再利用频率和为1可得x值；（3）利用列举法，求出基本事件总数以及至少有一份分数在之间的基本事件数，利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】（1）分数在的频率为，由茎叶图知，分数在之间的频数为5，∴全班人数为人（2）分数在之间的频数为2，由，得又，解得：（3）分数在内的人数是人，将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，共10个其中，至少有一个在之间的基本事件有7个故至少有一份分数在之间的概率是.【点睛】本题考查古典概型概率公式与频率分布直方图的应用，属于基础题型.18．已知函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．(1)求的值和函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)；，(2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再由题设条件得到，从而求得，再利用正弦函数的单调性及整体代入法求得的单调递增区间；（2）先由得到，再结合正弦函数的性质即可求得，从而得到的值域．【详解】（1）因为，因为函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，所以，即，则，即，又，故，所以，令，，得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，所以，故，则，即，所以函数的值域为．19．已知数列的前项和为，且，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由表达式，结合即可求得，递推后即可求得数列的通项公式.（2）先表示出数列的通项公式，结合裂项法求和即可得数列的前项和.【详解】（1）数列的前项和为，且，，当时，，化简可得，则，对也成立，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知，则所以数列的前项和为，则.【点睛】本题考查了由求通项公式的方法，递推公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题.20．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1． 21．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ ）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减（Ⅱ）【详解】分析：（Ⅰ）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）若函数恒成立，则有，由（Ⅰ）知，当时，函数有最大值，且   从而可得结果 .详解：（I），①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；②当时，令，解得，令，解得，此时，函数在上单调递增；在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（2）若函数恒成立，则有由（Ⅰ）知，当时，函数有最大值，且    解之得，     点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（I）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（II）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】（I），；（II）.【分析】（I）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．（II）在曲线C上任取一点利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的最小距离．【详解】（I）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（II）设曲线上的点的坐标为，则点到直线的距离，当时，取得最大值，曲线上的点到直线的距离的最大值为.【点睛】本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，，由得.①当时，原不等式可化为：，解之得：；②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.因此，不等式的解集为；（Ⅱ）当时，，由得，，，，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.