2023届北京市交通大学附属中学高三上学期12月诊断练习数学试题（解析版）

2023届北京市交通大学附属中学高三上学期12月诊断练习数学试题

一、单选题

1．已知集合,，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合，根据交集的定义计算即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：D.

2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】D

【详解】试题分析：，,故选D.

【解析】点线面的位置关系.

3．已知数列满足，则等于（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.

【详解】∵，∴是等差数列．

由等差数列的性质可得，，

∴，，∴．

故选：B．

4．已知向量，，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．4或

【答案】B

【分析】由得，即两向量夹角为，根据向量共线列式求解即可

【详解】由得，即两向量夹角为，显然，故有.

故选：B

5．“，”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由可解得或，即可判断.

【详解】若，则，，

即或，

则可得“，”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

6．已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ）

A． B．8 C． D．16

【答案】B

【分析】先根据的面积为，焦距为2，求得椭圆方程为，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.

【详解】因为的面积为，焦距为2，所以，

所以，故椭圆方程为，

假设为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为，，

所以，，故,

所以为等边三角形，又因为过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，

所以，,

由椭圆的定义可知：，

，

所以的周长为

，

故选：.

7．已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

8．在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且.若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】可得P是圆上任意一点，且需存在，，使点P又在以为直径的圆上，故只需满足圆上点到直线的最远距离小于等于5即可求出.

【详解】设，则，满足，

则点P在圆上，

又存在，使成立，则点P又在以为直径的圆上，

P是圆上任意一点，，是直线上的两点，

则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5，

原点到直线的距离为，

则只需满足，解得.

故选：B.

9．如图，已知正方体的棱长为2，为正方形底面内的一动点，则下列结论不正确的有（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段

C．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面周长为

D．存在点，使得

【答案】D

【分析】对A：利用转换顶点法结合锥体体积公式运算判断；对B：先根据线面垂直的性质定理和判定定理可证平面，再分析判断；对C：先证平面，进而可得平面，根据面面平行的性质定理分析可得截面，运算判定；对D：建系，利用向量垂直的坐标运算判定.

【详解】对A：如图1，三棱锥的体积（定值），A正确；

对B：如图2，连接，

∵为正方形，则，

又∵平面，平面，

∴

，平面，

∴平面，平面，

∴，

同理可证：，

，平面，

∴平面，平面平面，

故点在正方形底面内的运动轨迹是线段，B正确；

对C：∵平面，平面，

∴，

又∵，，平面，

∴平面，则平面，

取的中点，连接，则，

∴平面，

取的中点，根据面面平行的性质定理分析可得平面截正方体的截面为，且是边长为的正六边形，故周长为，C正确；

对D：如图4，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

设，则，

若，则，解得，不合题意，D错误；

故选：D.

10．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解.

【详解】椭圆的蒙日圆的半径为.

因为，所以为蒙日圆的直径，

所以，所以.

因为，当时，等号成立，

所以面积的最大值为：.

由面积的最大值为34，得，得，

故椭圆的长轴长为.

故选：C

二、填空题

11．（文）若为纯虚数（为虚数单位），，则__________．

【答案】3

【分析】由题可知，复数的实部为0，虚部不为0，求出实数即可，然后再求复数的模．

【详解】解：若复数满足为虚数单位）为纯虚数，其中，

则，解得：则，得，

所以．

故答案为：3.

【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解．

12．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

【答案】或或或．

【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为，

（1）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（2）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（3）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；

故答案为：或 或 或．

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设

（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，

则，所以圆的方程为；

（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；

（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；

（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．

故答案为：或 或 或．

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．

13．如图把椭圆的长轴分成等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的左焦点,则_________ .

【答案】

【分析】由已知得，再取椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性得 ，，，再根据椭圆的定义即可求得答案.

【详解】由已知得，如图，

是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知 ，，，又，

∴

.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆的定义，是中低档题.

14．如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________.

【答案】

【分析】连接，由线面垂直的性质得到，再由勾股定理求出，即可得到以为圆心2为半径的圆面上，即可求出的面积，再根据得到当在边上时四面体的体积最大，当在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.

【详解】连接，如图所示，

因为平面，平面，所以，

∵，由，，则；

所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，

所以当在边上时，四面体的体积的最大值是.

所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时，

所以四面体的体积的最小值是，所以，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：

求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，

通常会有以下两种：

①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；

②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.

15．已知函数，，其中.若，使得成立，则____．

【答案】

【分析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.

【详解】解：依题意，得：，化简，得：，

因为.，所以，，即，

所以，，因为，且，

因为，有成立，

所以， ，

所以，

所以，，所以，.

故答案为

【点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

16．已知函数．

(1)求函数取最大值时的取值集合；

(2)设函数在区间是减函数，求实数的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简，再求取得最大值时的的取值集合即可；

（2）求得的单调减区间，结合题意，即可求得的最大值.

【详解】（1）由题意，得，

当取最大值时，即，此时，

所以的取值集合为．

（2）由，得，

，，

即，，

所以的减区间，，

当，得是一个减区间，且，

所以，

所以，所以的最大值为．

17．如图，在四棱锥中，平面平面，，．

(1)求证：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)若点E在棱上，且平面，求线段的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意先证明平面，然后证明.

（2）建立空间直角坐标系，找到平面与平面的法向量，然后根据向量中面面角计算公式计算即可.

（3）先通过共线向量性质得出，用表示E点坐标，再根据题意计算出，最后计算得出线段的长.

【详解】（1）证明：因为平面平面，

且平面平面，

因为，且平面

所以平面．因为平面，所以．

（2）解：在中，因为，

所以，所以．

所以，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，

易知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

则，

即平面与平面夹角的余弦值为．

（3）解：因为点E在棱，所以．

因为．

所以．

又因为平面，为平面的一个法向量，

所以，即，所以．

所以，所以．

18．在中，．

(1)求；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．

条件①：；

条件②：；

条件③：的面积为．

【答案】(1)

(2)选条件①，边上中线的长为；选条件②，三角形形状不确定；选条件③，边上中线的长为．

【分析】（1）由正弦定理将已知条件化为，则设，，，然后利用余弦定理可求出，

（2）若选①，则可得，，设为的中点，，在中利用余弦定理可求得结果，若选②，不能确定边长，无解，若选③，由三角形的面积可求得，从而可得，，设为的中点，，在中利用余弦定理可求得结果.

【详解】（1）在中，．

由正弦定理可得．

设，，，

则，

，．

（2）选条件①：由（1）得．

又；，，设为的中点，，

在中，，

所以，即边上中线的长为．

选条件②：；与（1）的一致，不能确定边长，因此三角形形状不确定．

选条件③：∵的面积为．．．

，，，设为的中点，，

在中，，

所以，即边上中线的长为．

19．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程，

（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系，再结合中点坐标公式表示出的中点的坐标，由，从而可得，进而可求出的值

【详解】（1）设椭圆的半焦距为.

由题意得

解得.

所以椭圆的方程为.

（2）由得.

由，解得.

设，，则.

设线段的中点为，

则，.

“”等价于“”.

所以.

解得，符合题意.

所以.

20．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若直线与曲线相切，求证：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分别解不等式、，可得出函数的减区间和增区间；

（2）设切点坐标为，可得出，利用零点存在定理得出，构造函数，利用函数的单调性求得的取值范围，即为的取值范围，由此可求得的取值范围.

【详解】（1），.

当时，，此时函数在上单调递减；

当时，由可得，由可得.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，由可得，由可得.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

综上所述，当时，函数在上单调递减；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，

，所以，，整理可得，

，，

令，则函数为上的增函数，

，，，

令，则，

当时，，所以，函数在区间上单调递减.

因为，则，即，

，因此，.

【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：

（1）求函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.

21．已知数列：，其中，且．

若数列满足，当时，或，则称：为数列的“紧数列”．

例如，数列：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8．

(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；

(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；

(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”．若数列A存在“强紧数列”，求的最小值．（用关于N的代数式表示）

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据“紧数列”的定义写出即可；

（2）先证明数列从第2项开始到第项是连续正整数，再把问题转化成求满足要求的的个数为即可；

（3）根据“强紧数列”的定义求解即可．

【详解】（1）解：根据“紧数列”的定义得

；；；．

（2）解：∵ 对任意，有或，或，

数列A的所有“紧数列”均为递增数列，

∴ ；；

；④．

∵ 数列为递增数列，

显然成立，

，

∴ ③也成立，

对④，，也即，

又，

，

∴ 数列从第2项到第项为连续正整数．

，

，

，

，

∴ 满足条件的有个，

即所有符合条件的数列A的个数为．

（3）解：记，依题意，，

对，有或，

，

，

若，则，即，

若，则，即，

，

不能成立，

记，

，

则且，

若存在且，即，则，

否则，若，则，不符合题意，

因此，集合有下列三种情形，

，，

对，有，

则，

当且仅当取等号；

，其中，

对，有，对，有，

；

，

对，有，

，

综上，的最小值为．

【点睛】本题注意“夹逼思想”在数列问题中的运用；第3问中求的最小值用到了“累加法”，解题关键是对集合分类讨论．