2022届湖北省荆州中学高三上学期期末数学试题含答案

这是一份2022届湖北省荆州中学高三上学期期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届湖北省荆州中学高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知，是任意两个非空集合，定义集合，则（          ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件，可直接得出结果.【详解】由题意.故选：B.2．已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设出复数，，利用复数概念进行推导.【详解】设，，若，则，，若，则，，满足，若，则不能比较大小；若，则，，故，综上：p是q成立的必要不充分条件.故选：B3．已知数列{an}是首项为，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足，则S9=（　　）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式基本量计算出，进而利用等差数列求和公式及等差中项计算出结果.【详解】，则，即，即，所以.故选：C4．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（          ）A．80种 B．120种 C．130种 D．140种【答案】D【分析】分夫妻只选一人，两人全选两种情况计算，夫妻全选时，先用用捆绑法求解.【详解】若夫妻中只选一人，则有种不同的方案；若夫妻二人全选，则有中不同方案，故总计有140种不同方案，故选：D.5．已知向量，若，则在上的投影是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据坐标先求得向量，结合平面向量数量积的运算律求得，即可由平面向量投影的定义求得在上的投影.【详解】向量，则，因为，则，即，所以，在上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和求法，属于基础题.6．已知函数，其图象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用奇偶性排除B和C，利用不等式放缩判断D【详解】根据题意，函数为偶函数，图象关于轴对称，有两个零点为，排除B和C，又当时，排除D故选：A.【点睛】方法点睛：由解析式判断图像主要从定义域，奇偶性，单调性，特殊值等方面考虑7．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（          ）A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年【答案】C【分析】由题可知：，化简得出结论.【详解】由题可知：∴∴∴（天）∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.故选：C.8．苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（       ）（可能用到数值）A． B． C． D．【答案】B【解析】由麦克劳林公式得，进而可得答案.【详解】解：根据麦克劳林公式得：，所以由于.故的近似值为.故选：B.【点睛】本题考查数学知识迁移与应用能力，解题的关键是将所求近似代替，是中档题.二、多选题9．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（          ）A． B．C．与所成的角为 D．平面【答案】ACD【分析】将平面展开图以ABCD为下底面，折起还原为正方体，然后利用异面直线所成角定义判定选项A,C,选项B易于判定，利用线面平行判定定理判定选项D.【详解】将平面展开图以ABCD为下底面，折起还原为正方体，各顶点的字母标记如图所示，连接DE,则AH⊥DE,FC∥DE,∴AH⊥FC,故选项A正确；AC∥EG,EG与BG相交，∴AC与BG显然不平行，故选项B错误；∵DE∥CF,△BDE为等边三角形，∴∠BDE=60°，故异面直线BD与FC所成角为60°，故选项C正确；∵AC∥EG,AC⊄平面BEG,EG⊂平面BEG,∴AC∥平面BEG,故选项D正确.故选：ACD.10．已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（　　）A．ac＜bc B．ca＜cbC．logac＞logbc D．sinc＞sina【答案】ABC【分析】由已知条件，可通过幂函数、指数函数、对数函数的函数性质，结合不等式性质来进行判断，选项D可通过举特例来进行判断.【详解】选项A，幂函数在上是增函数，因为0＜a＜b＜1＜c，所以，故该选项正确；选项B，，指数函数在上是增函数，因为0＜a＜b＜1＜c，所以，故该选项正确；选项C，因为0＜a＜b＜1＜c，所以，而，，所以，故选项C正确；选项D，令，，满足0＜a＜b＜1＜c，但，故选项D错误.故选：ABC.11．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（       ）A．该地水稻的平均株高为100B．该地水稻株高的方差为10C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大【答案】AC【分析】由可知，由此判断A正确，B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D.【详解】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确；，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确；根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误；故选：AC12．已知圆，直线．下列命题中，正确的命题是（       ）A．对任意实数k和，直线l和圆M有公共点B．对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切C．对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切D．存在实数k与，使得圆M上有一点到直线l的距离为3【答案】AC【分析】由已知可得圆心，半径，且圆过原点，求出圆心到直线的距离，逐项判断，即可得出结论.【详解】选项，圆恒过原点，所以正确；圆心到直线的距离为，对于任意实数，直线与圆相交或相切，所以选项正确，选项不正确；圆上的点到直线距离最大值为，所以选项不正确.故选:AC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意点到直线距离公式的合理应用，属于中档题.三、填空题13．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.【答案】或【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.【详解】设直线的方程为，则，且，解得或者，∴直线l的方程为或，即或.故答案为：或.14．若的展开式中的系数为224，则正实数的值为______．【答案】2【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的系数和的系数，由此可得答案.【详解】展开式中通项，所以时，得到的系数为，时，得到的系数为，从而的展开式中的系数为，解得或，所以正实数的值为2．故答案为：2.【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意．15．已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝___.【答案】【分析】结合双曲线的定义以及三角形的中位线，求得.【详解】延长交于，由于是的角平分线，，所以三角形是等腰三角形，所以，且是的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以是三角形的中位线，所以.故答案为：16．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）【答案】（，n为奇数）【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，则，故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，（，n为奇数），故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.故答案为：（，n为奇数）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.【详解】（1）选①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.选③，∵，由已知结合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，∴，周长的最小值为6，此时的面积.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.18．已知数列的前n项和为，满足，n∈N．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列{bn}的前100项的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.(1)由，得，两式相减得，即，又当n=1时，，解得：，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；(2)由（1）可知，所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．19．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．(1)求证：AD⊥PC；(2)求二面角P-AB-C的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）面面垂直得线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.(1)证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC；(2)在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，∵DH⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，由，取，则，∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；20．某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：1515 （1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．【分析】（1）根据散点图形状可确定回归类型；（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；（3）令可解出的范围，进而确定结果.【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型更好．（1）对两边取对数，得：，即，由表中数据得：，，，年广告费用和年利润额的回归方程为．（3）由（2）知：，令得：，解得：，，（十万元），十万元万元下一年应至少投入万元广告费用．21．如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点．(1)若点为直线与轴的交点，求的面积；(2)若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）可得点，设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得的值，可知，求出两切点的坐标，可得出、，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设、，可得出切线、的方程，设点，求出直线的方程，可得出直线过定点，由结合直角三角形的几何性质可得出结论.(1)解：由题意知，过点与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为，联立，可得，（）由，可得，即切线方程为，所以，，将代入方程（）可得，可得，此时，不妨设点，同理可得点，，因此，.(2)证明：先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，因为点在椭圆上，则，联立，消去可得，整理得，即，解得，因此，椭圆在其上一点处的切线方程为.设、，则切线的方程为，切线的方程为.设，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，因为点在直线上，则，则，所以，直线的方程可表示为，即，由，可得，故直线过定点，因为，所以，点在以为直径的圆上，当点为线段的中点时，，此时点的坐标为.故存在点，使得为定值.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22．已知函数，，其中是自然对数的底数．(1)当,，求的取值范围；(2)当时，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的是否恒成立，由此可求得实数的取值范围；（2）将所证不等式转化为证明（此时），由（1）中的结论可知，当时，函数在上恒为增函数，只需证明，构造函数，其中，利用导数得出，即可证得结论成立.(1)解：因为，则，①当时，由可知，又因为，当且仅当时，等号成立，所以恒成立，且不恒为零，所以函数在上为增函数．又，所以对恒成立；②当时，令，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递增，因为，，由零点存在定理可知，存在，使得.当时，，此时函数单调递减，故，不合乎题意.综上所述，.(2)证明：要证，只需证，即证，即证，即证（此时），由（1）可知当时，函数在上恒为增函数，所以即证，不妨令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故，即，所以原结论得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.