2023届高考数学重难点专题13解三角形专练C卷

这是一份2023届高考数学重难点专题13解三角形专练C卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题13解三角形专练C卷一、单选题1.  如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，某人先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进到达点处，在处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是(    )A.  B.  C.  D. 2.  在中，，则：：(    )A. ：： B.  C. ：： D. 3.  克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时， (    )
 A.  B.  C.  D. 4.  设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于(    )A.  B.  C.  D. 5.  在中，，，，角是锐角，为的外心若，其中，，则点的轨迹所对应图形的面积是(    )A.  B.  C.  D. 6.  在中，，为的平分线，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  在中，内角，，的对边分别是，，，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  在中，角，，所对的边分别为，，，，是边上一点，，且，和的面积分别为，，对于给定的正数，当取得最小值时，等于(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题9.  已知外接圆的面积为，内角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，设的周长和面积分别为，，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  在中，已知，且，则(    )A. 、、成等比数列
B. ：：：：
C. 若，则
D. A、、成等差数列    11.  的内角，，的对边分别为，，其面积为，周长为若，且，则(    )A.  B. 的最大值为
C. 的外接圆半径为 D. 的最小值为三、填空题12.  已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为___．13.  在中，三个内角、、所对的边分别为、、，向量与向量夹角的余弦值为，且，则的取值范围是          ．14.  已知中，点在边上，当取得最小值时，          ．15.  在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为          ．四、解答题16.  在中，设角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：求的最小值．           17.  已知在中，角，，的对边分别为，，，已知．求角的值；已知．求面积的最大值；求的最大值．       18.  的内角，，的对边分别为，，，已知
Ⅰ求
Ⅱ求的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查解三角形的实际应用，属于基础题．
依题意，设的高度为，求得，，根据余弦定理可得关于的方程，求解即可．【解答】解：设塔高的高度为在中，因为，所以
在中，因为，所以
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或舍．
故选B．  2.【答案】 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算知，再结合余弦定理，推出：：：：，然后由正弦定理，即可得解．
本题考查平面向量与解三角形的综合，熟练掌握平面向量数量积的运算法则，正弦定理和余弦定理是解题的关键，有一定的计算量，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．【解答】解：设的三个内角，，的对边分别为，，，
因为，
所以，
由余弦定理知，，
化简可得，，
所以：：：：，即：：：：，
由正弦定理知，：：：：：：．
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查了余弦定理的应用，是一般题．
根据已知条件求出，，再由余弦定理求出，在中求出所求结果．【解答】解：由已知得
所以，当且仅当时等号成立，
当线段的长取最大值时，，
所以
在中，
所以
故选C．  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式，平面向量基本定理及数量积的应用，属中档题．
由利用诱导公式、正弦定理、余弦定理得到求得角，再由的面积为，求得，再由平面向量的基本定理和向量的数量积即可求解．【解答】解：在中，
，

由正弦定理得即，
，
又，
，
，
又的面积为，
即，
是边的中点，
，
．
故选B．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式，由三角形的面积公式求出再由余弦定理求出的值，再由正弦定理求出，由题意知，点的轨迹对应图形是以 和为两邻边的菱形，且 于是这个菱形的面积为 ，即可求解．【解答】解：因为
所以 因此
由得，
由题意知，点的轨迹对应图形是以 和为两邻边的菱形，且 
于是这个菱形的面积为 ．
故选A．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，属中档题．
设后，用余弦定理求出，再求出，，，接着在中用正弦定理得，则．【解答】解：设，则，
在三角形中由余弦定理得，
，
，

．
在中由正弦定理得，
，
，
．
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理及基本不等式的应用，涉及向量的模，加法与数量积的运算，以及用向量表示三点共线问题，属于较难题．
由正弦定理与余弦定理可求得，由于，，两边平方，结合基本不等式可得，从而求得线段长度的最小值．【解答】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，，．
由于，，
两边平方，得

，
当且仅当时取等号，即，
线段长度的最小值为．
故选A．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正弦定理在三角形中的应用，三角形面积公式，以及基本不等式求范围与最值，考查了数形结合，考查了运算求解能力，属于难题．【解答】解：如图所示，可设，，则，且，

根据条件，在直角三角形中，，则，
在三角形中，根据正弦定理，可得，
，
故，
由于，则，
故，
当且仅当等号成立，
所以当时，取得最小值，
此时，，
故．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．【解答】解：由及正弦定理，得由余弦定理，得因为，所以，又，所以，则
因为外接圆的面积为，所以外接圆的半径由正弦定理，得，所以，选项AB正确
，所以，故选项D正确对于选项C，取满足条件，，则C错误．
故选ABD．  10.【答案】 【解析】【分析】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由正弦定理可得，可求，进而逐项分析各个选项即可得解．【解答】解：将，利用正弦定理化简得：，
即，
，
，
利用正弦定理化简得：，
又，
即
，
，由正弦定理可得，
，
：：：：：：，故A错误，
由正弦定理可得：：：：，故B正确；
若，可得，，可得，
可得，可得，故C正确；
若、、成等差数列，且，，可得，
由于，故D错误．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的值域，属于中档题．
由已知式子利用正弦定理结合二倍角公式化简可求出角，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，利用正弦定理结果三角函数恒等变换公式可求出的范围．【解答】解：因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以A错误；
设的外接圆半径为，则由正弦定理得，
，得，所以C正确；
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，
所以的最大值为，所以B正确；
由正弦定理得，
所以，
所以



，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以周长的最大值为，无最小值，所以D错误．
故选：．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查了余弦定理、正弦定理及基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
先由得到，再结合，得到，最后借助基本不等式即可求解．【解答】解：由及正弦定理可得：
，
化简，得，
即，
所以，则，
又，
所以，
由余弦定理知，
即，
又，化简得，
即，
又，
当且仅当时，取等号，
故，
即，
所以的最大值为．
故答案为．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用数量积表示两个向量的夹角及三角函数的最值，属于中档题．
由题得到关于角的三角方程，解方程后，根据为的内角，易得到角的大小，所以可将表示为一个关于角的正弦型函数，再由正弦定理，易得的取值范围．【解答】解：且 ，
，，解得舍．
， 由上可知．

，


即  
，
，
的取值范围是   14.【答案】或 【解析】【分析】本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．【解答】解：设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，．  15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
设，则可得，根据，利用三角形的面积公式可得，，联立解得的值，可求，利用二倍角公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解的面积．【解答】解：设，

因为，所以，
则可得，
根据，得

即，
化简得，
又在中，
即，
可得：，可得，
可得：，可得：，
可得：，，
所以：．
故答案为：．  16.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：
，
即．
由正弦定理得到，
又，
故
，
因为，
所以，因为，
所以所以．
由得，
所以，，
由，得

，
当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值． 【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；
由得到，，得，再由基本不等式可得最值．
 17.【答案】解：依题意，，则，因为，故，解得；因为，故；依题意，，由余弦定理，，则，当且仅当时等号成立，故，即面积的最大值为；由正弦定理，，所以，所以，其中且为锐角，则当时，有最大值． 【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，利用基本不等式求最值的应用．
由正弦定理可得，即，从而可求角的值；利用余弦定理结合基本不等式可求出，然后利用三角形的面积公式可求得其最大值；
利用正弦定理表示，然后代入中利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出结果．
 18.【答案】解：  因为，所以B.即，所以，得，因为，所以，得A.又因为，所以，所以．因为，所以，因为

 因为，所以，得，所以．所以当时，的最小值为． 【解析】本题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，以及函数的图象与性质 ，熟练掌握公式是解本题的关键．
Ⅰ由正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，进而得到，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
Ⅱ由第一问可得，结合二倍角公式，两角和差公式及辅助角公式可得，由的范围，即可得到所求式子的范围．