2023届高考数学重难点专题09必要性探路在解题中的应用专练

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09必要性探路在解题中的应用专练1.  已知函数为自然对数的底数，是的导函数．
Ⅰ当时，求证；
Ⅱ是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．           已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
当时，若，且在时恒成立，求实数的取值范围．           3.  已知函数．Ⅰ当时，求函数的图象在处的切线方程；Ⅱ若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．其中为自然对数的底数         4.  已知函数，．Ⅰ若，讨论函数的单调性；
Ⅱ若对任意的，都有，求实数的取值范围．             5.  已知函数．求的最小值；设函数，若，求实数的取值范围．        6.  已知函数，．
Ⅰ若函数存在极小值，求实数的取值范围；
Ⅱ若，且对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考数据：，
答案和解析 1.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，
令，则，
令，得，故在时取得最小值，
，在上为增函数，
；
Ⅱ，
由，得对一切恒成立，
当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取，．
下面证明当时，不等式恒成立，
设，则，
由Ⅰ，，
当时，；当时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
，
当时，不等式恒成立，
所以的最大值是． 【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；
Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．
 2.【答案】解：，
当时，恒成立，即函数在递减；
当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
由题意，即当时在时恒成立，
即在时恒成立．
记，则，
记，在递增，又，
所以时，．
下面证明：当时，在时恒成立．
因为．
所以只需证在时恒成立．
记，所以，
又，所以在单调递增，又
所以，，单调递减；，，单调递增，
所以，
在恒成立．
综上可知，时，在时恒成立． 【解析】先对函数求导，然后结合的范围及导数与单调性关系进行分类讨论即可求解；
由已知结合函数性质及特殊函数值，可求，然后通过构造函数，结合函数性质证明当时满足题意．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，还考查了函数的性质，属于中档题．
 3.【答案】解：Ⅰ当时，，所以，此时，故，所以所求切线方程为，即．Ⅱ由题意得对任意恒成立．令，得，设，，，设，则，所以在上单调递减，故，当时，，所以在单调递增，
，所以满足题意；当时，存在使得，即，且在单调递减，在单调递增，则，所以，即，解得，即，
由，得，
由在上单调递减，可知，综上所述可得． 【解析】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数单调性、最值及恒成立问题，属于较难题．
Ⅰ当时，求出函数导数，即可得，是的图象在处的切线方程的斜率，代入直线点斜式方程即可．Ⅱ令，得，设，求出，设，利用导数法得对分类讨论，使，即可得得范围．
 4.【答案】解：Ⅰ，
若，由，可得或，
由，可得，
的单调增区间为，，单调递减区间为；
若，则，此时的单调递增区间为；
若，由，可得或，由，可得时，
的单调增区间为，，单调递减区间为．
综上可知，时，在，上单调递增，在上单调递减，
时，在上单调递增，
时，在，上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ令，则，，
若对任意的，都有，即都有，其必要条件是，
，
，由，可得，得，
当时，，，
，此时在上单调递增，，符合要求；
当时，，，，由，得，
此时在上单调递减，当时，，不合要求，舍去；
当时，，，在上单调递减，
当时，，不合要求，舍去．
综上可知，实数的取值范围是． 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查数学转化思想方法和分类讨论是数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
Ⅰ求出原函数的导函数，然后对分类，利用导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性．
Ⅱ令，则，，可得对任意的，都有，由其必要条件是求得，验证当时，在上单调递增，，符合要求；然后分析当和时不符合要求即可．
 5.【答案】解：，
令，此时，
当，，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
因为，，
所以，解得必要性探路
下面证明当时，，以下是充分性证明
由，得，
因为，，
所以

即，
令，，
则



．
由可知，
所以，
所以当时，，从而单调递减，
当时，，从而单调递增，
故，从而，
综上，实数的取值范围为． 【解析】本题考查利用导数研究函数单调性、最值，考查不等式恒成立问题，构造函数，属于较难题．
，利用导数法可得在上单调递减，在上单调递增，
可得最小值为
利用必要性得到，对于充分性，，当，，，构造函数，，对求导，进而由可以求解．
 6.【答案】解：Ⅰ由题得，，
又在上为单调递增函数，，
故当时，无极值，
当时，存在，在上单调递减，上单调递增，存在极小值，
故，
综上：的取值范围是；
Ⅱ由，
即，首先，令，得；
下面证明当时符合要求：
令，
若，即时，，
令，
得，
令，
，
显然当时，，从而递增，又，
则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以得证；
若，即时，，
下面，只要证，其中，
由，且在上单调递增，记，得，
又，所以，
又，
令，则，
所以当时，在上单调递增，上单调递减，
，得证，
故所求实数的取值范围为． 【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．
Ⅰ求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，从而确定的范围即可；
Ⅱ问题转化为证明当时符合要求：令，通过讨论，的情况，求出函数的单调区间，求出的取值范围即可．