2023届福建师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2023届福建师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届福建师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题易知,
所以，故选C．
2．已知函数的导函数为，且满足，则的值为（    ）
A． B．－1 C．－ D．1
【答案】B
【分析】先求函数的导函数为,进而求出,再求函数值即可.
【详解】因为,所以,
令,可得,即,
所以,可得
故选: .
3．已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义逐项判断作答.
【详解】对于A，若，则，而成立，不能推出成立，即是成立的必要而不充分条件，A正确；
对于B，因，则是成立的充分条件，B不正确；
对于C，因函数是R上的增函数，则，C不正确；
对于D，取，满足，而不成立，反之，取，满足，而不成立，D不正确.
故选：A
4．某工厂产生的废气需经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过，已知在过滤过程中废气中的污染物数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（均为整数的常数），如果前小时的过滤过程中污染物被过滤掉了，那么排放前至少还需要过滤的时间是（    ）小时.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据时，，代入可解得，然后再根据题意代入，整理化简得到，通过观察，整体代换解得，进而得答案.
【详解】由题意知，前小时消除了的污染物，又因为，
所以，所以，
设废气中污染物含量为所需过滤时间为，
由，即，
得，所以，
排放前至少还需过滤（小时）．
故选：Ｄ．
5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A．a 【答案】A
【分析】先分析的单调性，然后比较对数式的大小，从而确定正确答案.
【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减.
，，
，，
所以.
故选：A
6．一次数学考试共有8道判断题，每道题4分，满分32分，规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则的值为（    ）
题号
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
×
√
×
√
×
×
√
×
24
乙
×
×
√
√
√
×
×
√
20
丙
√
×
×
×
√
√
√
×
20
丁
×
√
×
√
√
×
√
√


A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【分析】根据甲乙的得分情况判断甲乙正确和错误分布，即可判断丙答案正误情况，最终得到8道题的标准答案，进而确定丁的分数.
【详解】由表知：2、3、5、7、8中甲正确有3个，乙正确有2个，而1、4、6甲乙的判断都正确；
所以丙的1、4、6均错误，故丙所选的2、3、5、7、8都正确，
综上，丁的2、8判断错误，1、3、4、5、6、7判断正确，共得24分.
故选：C
7．设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（    ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可选出答案.
【详解】对，都，使得不等式成立，
等价于,
当时，，所以，
当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，
所以对，恒成立，即，
当，成立，
当时，恒成立.
记,
因为恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值为1.
故选：C.
【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，
此类问题可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集．
8．若过点（0，－1）可以作三条直线与函数相切，则实数a的取值范围是（    ）
A．[2，＋∞） B．（2，＋∞） C．[3，＋∞） D．（3，＋∞）
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数几何意义求切线斜率，可得切线方程，将（0，－1）代入切线方程可得有三个不同的实数解，分离参数后，利用导数求解即可.
【详解】设切点，
由可得，
切线的斜率为，
所以切线的方程为
又因为点在切线上，所以，
即有三个不同的实数解，
不是方程的解，
所以有三个不同的实数解，
令，,
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，当趋于0时，趋于正无穷，
所以，
故选：D

二、多选题
9．下列四个命题中，是真命题的是（    ）
A．，且
B．，使得
C．若，，则
D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】选项A：根据基本不等式可知x＜0时不成立；
选项B：验证时成立即可；
选项C：要证，只需证，即证，利用基本不等式即可证明；
选项D：通过分离参数可得m＜－，时成立，所以只需求函数，x∈(1,2)的最小值即可.
【详解】对于A：，且对x＜0时不成立；
对于B：当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；
对于C：若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，即，当且仅当x＝y＞0时取等号，正确；
对于D：当x∈(1,2)时，若不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，
即m＜－在x∈(1,2)时恒成立，令，x∈(1,2)，
根据对勾函数可知函数f(x)在(1,2)上单调递增．所以f(x)＞f(1)＝－5.
所以m≤－5，因此实数m的取值范围是(－∞，－5]，正确．
故选：BCD.
10．已知函数，则其图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【点睛】根据函数解析式和图象特征可得答案.
【详解】当时，，由的图象做关于轴对称，再把轴下方图象关于轴对称翻到上方可得D正确；
当时，由的图象向右平移3个单位可得A正确；
当时，由的图象向左平移3个单位可得B正确；
C图象对应的函数的解析式为，故C错误；
故选：ABD.
11．已知定义在R上的函数满足：的图象关于（1，0）中心对称，是偶函数且．则下列结论中正确的是（    ）
A．周期为2 B．为奇函数
C．是奇函数 D．1
【答案】BC
【分析】由已知对称性奇偶性确定出函数周期是4，然后再结合图象变换，得新函数的对称性，由周期及已知求函数值，判断各选项．
【详解】的图象关于（1，0）中心对称，则的图象关于原点对称，因此是奇函数，
是偶函数，则的图象关于直线对称，即，
所以，，
4 是的一个周期，2不是的周期，
由是奇函数，且图象关于直线对称得的图象关于点对称，4 是的一个周期，因此的图象也关于点对称，它的图象向左平移两个单位得的图象关于原点对称，即是奇函数，
，
因此BC正确，AD错误，
故选：BC．
12．已知函数，若，则可取（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】CD
【分析】由，利用同构结合在上单调递增，即可得到，则，记，求出即可判断在上的单调性，即可得出，由此即可选出答案.
【详解】因为，所以，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
又，
因为，即，
所以，
所以，
记，
所以
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即
故选：CD.
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将变形为的结构，是解本题的关键.
13．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点
C．若为增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】ACD
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；
对于C选项，，
由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.
令，则，则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，此时，函数为减函数；
当时，，此时，函数为增函数.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，当时，，则.
由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，
因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.
14．已知，为函数的零点，，下列结论中正确的是（    ）
A． B．a的取值范围是
C．若，则 D．
【答案】ABC
【分析】对于A，只要利用函数零点存在性定理判断即可；
对于D，由于有了A的结论，只要判断的范围即可；
对于C，利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；
对于B，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.
【详解】由指数函数与二次函数的性质可得方程有1个负根，2个正根，
即，
，
，故A正确；
当 时， ， 必无零点，故 ，
，故D错误；
当 时，即 ，两边取对数得 ，
， ，
联立方程 可得 ，由于 ，
，故C正确；
考虑 在第一象限有两个零点：即方程 有两个不同的解，
两边取自然对数得  有两个不同的解，
设函数 ， ，
则 时， ，当 时， ，
当 时， ，所以 ，
要使得 有两个零点，则必须，即 ，
解得 ，故B正确；
故选：ABC.

三、填空题
15．函数的单调递增区间是_________．
【答案】
【详解】设 ， 或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.
16．已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___．
【答案】
【分析】由偶函数求时的解析式，并写出导函数，进而求、，写出切线方程即可.
【详解】若，则，由是偶函数，得，
∴时，，而此时的，即，
∴曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
17．设函数，则使得成立的的取值范围是___．
【答案】
【分析】利用导数确定函数为单调性，再确定函数为偶函数，则 转化为，求解即可．
【详解】∵
∴
∴为偶函数，
∴
当时,,, 则在上是单调增函数
∵,又因为偶函数
∴,
即得,
即,解得
故的取值范围为：
故答案为: ．
18．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】转化为函数在定义域内有极值点求解，分离参数后得，从而求出函数的值域即可．
【详解】由函数在定义域内不单调，得函数在定义域内有极值点．
∵，
∴，
∴．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，，，
∴．
∴实数的取值范围是．
【点睛】解答本题的关键在于将问题进行转化，即把函数在定义域内不单调的问题转化为导函数在定义域内有变号零点的问题求解，同时解题中要结合函数的图象求解，体现了数形结合在解题中的应用．
19．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，分析函数的单调性，求得最大值.
【详解】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
方程或有三个不等实根，且，
作出图象如图所示：

那么，可得，，
所以，
构造新函数，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以的最大值为.
故答案为：.
20．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．
【答案】[，1）∪
【解析】令g（x）＝（2x﹣1）ex，h（x）＝a（x﹣1），求出后画出g（x）、h（x）的图象，数形结合即可得或，即可得解.
【详解】令g（x）＝（2x﹣1）ex，h（x）＝a（x﹣1），
∵，
∴当时，，则函数g（x）在（﹣∞，）上单调递减；
当时，，则函数g（x）在（，+∞）上单调递增；
而g（﹣1）＝﹣3e﹣1，g（0）＝﹣1；
因为存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0．
即（2x0﹣1）ex＜a（x0﹣1）．
所以结合图形知： 或
即：或  解得a＜1或3e2＜a；
故答案为：[，1）∪．

【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.

四、解答题
21．某食品厂为了检查甲､乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品.统计数据如下面列联表：

甲流水线
乙流水线
总计
合格品
92
96
188
不合格品
8
4
12
总计
100
100
200

(1)依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？
附：，其中.
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(2)公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示：
（百件）
1
4
7
8
10
（件）
2
14
24
35
40

求y关于x的经验回归方程，并预测一小时生产2000件时的不合格品数（精确到1）.
附：；.
【答案】(1)不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；
(2)，83件.

【分析】（1）由列联表计算出卡方，即可判断；
（2）由所给数据求出，，，，即可求出，，从而得到回归直线方程，再令，即可预测.
【详解】（1）根据列联表可得
依据的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；
（2）由已知可得：，
，
，
，
所以，
,
所以，
当（百件）时，件,
所以估计一小时生产2000件时的不合格品数约为83件.
22．已知函数．
(1)证明：当a＝1时，；
(2)若是f（x）的极小值点，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)由题意可得，令，利用导数确定的单调性，只需证明即可；
(2)因为，分，，，，讨论函数在处是否取极小值即可得答案.
【详解】（1）证明：当时，
．
所以．
令，
则．
当时，单调递减；
当1时，单调递增；．
所以，
因此．
（2）解：因为
当时，，则当时，；当时，，
故是f（x）的极大值点，不符合题意，舍去 ；
当时，令，则或；由，当时，；当时，，
故是f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；
当时，,
①若，即，，故f（x）在R上单调递增，不符合题意，舍去；
②若，即时，当时，，当时，，故
是f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；
③若，即时，当时，，当时，，
故是f（x）的极小值点，符合题意.
综上所述，
23．2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：
策略为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min．
策略选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min．
某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：
第11题：如果采用策略，选对的概率为0.8，采用策略，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．
第12题：如果采用策略，选对的概率为0.7，采用策略，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．
如果这两题总用时超过10min，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．
(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略、第12题采用策略，设此次考试他第11题和第12题总得分为，求的分布列．
(2)小明考前设计了以下两种方案：
方案1：第11题采用策略，第12题采用策略；
方案2：第11题和第12题均采用策略．
如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析
(2)赞成小明的方案1，理由见解析

【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；
（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.
【详解】（1）解：设事件为“第11题得0分”，为“第11题得2分”，为“第11题得5分”，为“第12题得2分”，为“第12题得0分”，
所以，，，，．
由题意可知的可能取值为、、、、，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：

0
2
4
5
7

0.03
0.22
0.35
0.12
0.28

（2）解：设随机变量为第11题采用策略的得分，为第题采用策略的得分，为第12题采用策略的得分．
的分布列为

0
2
5

0.1
0.5
0.4

所以．
的分布列为

0
2

0.3
0.7

所以.
的分布列为

0
2
5
P
0.1
0.6
0.3

所以.
若采用方案1，两题总得分均值为（分），
若采用方案2，两题总得分均值为（分），
但方案2因时间超过10min，后面的题得分少分，相当于得分均值为分．
因为，所以我赞成小明的方案1．
24．设m为实数，函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个实数根，证明：.（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析

【分析】（1）首先求出定义域，再对函数求导，利用导数与函数的单调性的关系求解即可；
（2）首先把代入化简方程，然后根据方程有两个实数根，得出两根的取值范围，利用换元法得出两根的表达式，接着运用分析法从构造函数的角度，利用函数的单调性，极值和最值情况证明不等式.
【详解】（1），
令解得：；令解得：
函数在上单调递增，在上单调递增.
（2）证明：，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为：，
，不妨设，则 ，故，
令，所以，
要证，只要证：，
只要证：，
令，
设，
在上单调递减，在上单调递增，
∵，
则存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
在上恒成立，
即证得：.
【点睛】本题考查函数零点问题，零点存在性定理，用导数研究双变量问题以及用导数证明不等式成立问题，对分析问题和解决问题的能力有一定的要求，学生应从基础入手，层层深入，各个击破.