福建师范大学附属中学2023届高三上学期数学月考试题（三）（含答案）

秘密★启用前

数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数的虚部为（    ）

A．    B．   C．    D．

2．设集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．   C．   D．

3．已知为幂函数，且，则（    ）

A．    B．   C．    D．

4．已知某地区成年女性身高（单位：cm）近似服从正态分布，且，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数大约为（    ）

A．200    B．400    C．600    D．700

5．已知为等差数列，为的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

6．设抛物线的焦点为，若与抛物线有四个不同的交点，记轴同侧的两个交点为，，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

7．在的展开式中，含的项的系数为（    ）

A．   B．    C．    D．200

8．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形中，，将沿进行翻折，使得．按张衡的结论，三棱锥外接球的表面积约为（    ）

A．72    B．   C．   D．

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下列联表．零假设为：旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得，则下列说法中，正确的有（    ）

附：．

A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为

B．在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为

C．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01

D．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05

10．已知，．则下列说法中，正确的有（    ）

A．若在内，则

B．当时，与共有两条公切线

C．若与存在公共弦，则公共弦所在直线过定点

D．，使得与公共弦的斜率为

11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中，正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．向左平移个单位后得到的新函数是偶函数

C．若方程在上共有6个根，则这6个根的和为

D．图象上的动点到直线的距离最小时，的横坐标为

12．公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为．为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，为中点．设双曲线的离心率为，则下列说法中，正确的有（    ）

A．       B．

C．       D．若，则恒成立

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，，则在上的投影向量为______．（用坐标表示）

14．在处的切线方程为______．

15．各数位数字之和等于8（数字可以重复）的四位数个数为______．

16．已知非零实数，满足，则的最小值为______．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

还原糖不达标会影响糖果本身的风味，同时还原糖偏高又会使糖果吸潮，易使糖果变质，不耐贮存，影响糖果的质量．还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等．现采用碘量法测定还原糖含量，用0.05mol/L硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠的体积数（mL），试验结果见下表．

附：回归方程中，，．

（1）由如图散点图可知，与有较强的线性相关性，试求关于的线性回归方程；

（2）某工厂抽取产品样本进行检测，所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL，则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液？

18．（本小题满分12分）

在中，角，，成等差数列，角，，所对的边分别为，，．

（1）若，求的值；

（2）若，判断的形状．

19．（本小题满分12分）

某运动员多次对目标进行射击，他第一次射击击中目标的概率为．由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为；若第一次未击中目标，则下一次击中目标的概率为．

（1）记该运动员第次击中目标的概率为，证明：为等比数列，并求出的通项公式；

（2）若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分的分布列与数学期望．

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，二面角是直二面角，，且，，为上一点，且平面．，分别为棱，上的动点，且．

（1）证明：；

（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求的值．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，设点，，点与，两点的距离之和为，为一动点，点满足向量关系式：．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设与轴交于点，（在的左侧），点为上一动点（且不与，重合）．设直线，轴与直线分别交于点，，取，连接，证明：为的角平分线．

22．（本小题满分12分）

设，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）令，若在上恒成立，求的最小值．

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

【解析】

1．复数的虚部为，故选A．

2．因为，所以．则由，可得，故选D．

3．因为为幂函数，所以设，则，所以，，则，故选B．

4．因为，所以，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数服从，所以，故选D．

5．因为，所以，又，所以，所以，则，故选C．

6．将方程与抛物线方程联立，得，设，，则由与抛物线有四个不同的交点可得（*）有两个不等的正根，得即，∴由抛物线定义可得，故选B．

7．表示5个相乘，含的项可以是在5个中选3个2，2个相乘得到，也可以是在5个中选2个2，2个，1个相乘得到，也可以是在5个中选1个2，4个相乘得到，所以含的项为

，故选C．

8．如图1，取的中点，连接，．由，可得为正三角形，且，所以，则

．以为原点，为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系如图2，则，，，所以．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．由张衡的结论，，所以，则三棱锥的外接球表面积为，故选B．

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．选择自由行的游客人数为，其小于40岁的概率是，故A错误；选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，设事件为2人均小于40岁，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为

，故B正确；因为，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确，故选BD．

10．，，则，，，，则，A错误（若在内，则，即）；当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；，得，即，令解得所以定点为，C正确；公共弦所在直线的斜率为，令，无解，所以D错误，故选BC．

11．因为经过点，所以，又在的单调递减区间内，所以①；又因为经过点，所以，，又是在时最小的解，所以②．联立①、②，可得，即，代入①，可得，又，所以，则．的最小正周期为，A正确．向左平移个单位后得到的新函数是

，为偶函数，B正确．设在上的6个根从小到大依次为，，…，．令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得，，所以，C错误．作与平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与存在最小距离，也是点到直线的最小距离，令，则，解得或，又，所以，，（舍去），又，令，，，则由可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，D正确，故选ABD．

12．由为黄金分割双曲线可得，即，对（*）两边同除以可得，则，A正确；对（*）继续变形得，∴，，∴，由射影定理（即三角形相似）可得B正确；设，，，将，坐标代入双曲线方程，作差后整理可得，故C正确；设直线，代入双曲线方程，可得，则，∴，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，故选ABC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．不妨设，起点都在原点，设，则为，点，分别在所在直线轴上的投影为点和点，所以在上的投影向量为．

14．因为，所以，又，所以在处的切线方程为，即．

15．设该四位数为，则，，且．令，，则，且．所以该问题相当于把11个完全相同的小球放入4个不用的盒子，且每个盒子至少放一个小球，采用隔板法：在11个小球的10个空隙中选择3个插入隔板，所以共有种方法．

16．设，则，则点在单位圆上，根据三角函数的定义，可设，，则，，则由可得，则，所以，则

，又，所以当且仅当，即时，．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1）∵，，，

，，∴，

∴，∴关于的线性回归方程为．

（2）令，解得，

∴则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL的标准葡萄糖溶液．

18．（本小题满分12分）

解：（1）∵，，成等差数列，∴，

又，∴，，

又，∴，，

∴．

（2）由题意可得，，即，

由余弦定理结合（1）可得，

∴，∴由正弦定理可得，

又，∴，

∴，又，∴，为直角三角形．

19．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，当时，，

则，又，

∴是首项为，公比为的等比数列，

∴，∴．

（2）记为第次射击击中目标，则由题意可得，，，

可取到的值为0，2，4，且

，

，

，

则的分布列为：

∴．

20．（本小题满分12分）

（1）证明：∵平面平面，平面平面，，且平面，

∴平面，又平面，∴，

又平面，平面，∴，

且，，平面，∴平面，

又平面，∴．

（2）解：法一（几何法）：∵，∴，

如图，过点作直线平行于，则，则同时在平面与平面内，是两平面的交线，又由（1）平面，可得，，∴且，

∴由二面角的平面角的定义可得是平面与平面所成角，

设，则，过点作于点，

则，且，

∵，∴，解得．

法二（向量法）：如图，以点为原点，分别以，，过点且与平面垂直的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，

∴，，，，

则，，，

由，可得，，

∴，，

设为平面的法向量，则

可得一组解为，取平面的法向量，

则，

令，则，化简得，即，．

21．（本小题满分12分）

（1）解：设点，，

则由点与，两点的距离之和为，

可得点的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆，其轨迹方程为．

由，可得，，代入点的轨迹方程，可得：

，即．

（第一问也可以利用几何法：由条件可知为的重心，延长，，必分别交，的中点（分别设为，），取，，则

，由椭圆定义可得的方程．）

（2）证明：设点，则，即，，令，得，∴，

过作直线的垂线，垂足为点，

则要证为的角平分线，只需证，

又，

，∵，∴，当且仅当，

即时，又在上，则，即，

代入上式可得恒成立，

∴为的角平分线得证．

（第（2）问也可利用二倍角公式，证明）

22．（本小题满分12分）

解：（1），

①当时，在上恒成立，∴在上单调递减；

②当时，在上单调递增，且当时，，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

（2）∵，

∴若，，与在上恒成立矛盾，∴，

则，令，

则由可知在上单调递减，又当时，，，

∴，又，

∴，使得，∴，

∵，∴，，

且当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减，

∴

，

又，∴，解得，

令，则在上恒大于0，

∴在上单调递增，∴．