2022-2023学年皖豫名校联盟高一上学期阶段性测试（二）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年皖豫名校联盟高一上学期阶段性测试（二）数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年皖豫名校联盟高一上学期阶段性测试（二）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的交集运算即可.【详解】 ，故．故选：D2．若关于x的不等式的解集是或，则（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，所以关于x的方程的根为或，所以，所以.故选：A3．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由指数函数的单调性解出的范围，再由充分性、必要性的定义即可得出答案.【详解】由，即，解得，则成立的充分不必要条件可以是．故选：A.4．已知函数，是的反函数，则（    ）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【分析】根据对数函数与指数函数的反函数关系,再应用对数及指数运算即可.【详解】因为函数，所以，所以，，即．故选:5．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.【详解】因为为幂函数，所以，则，故的定义域为，且在定义域上为增函数，所以由，可得，解得，故a的取值范围为.故选：B.6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，排除选项A，D．再通过，排除选项B即得解.【详解】解：由题可知的定义域为，，所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A，D．因为，排除选项B.故选：C．7．已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由，求出对称轴，由二次函数对称轴可以求出的值，再有函数值域可以求出，所以即可得函数的解析式，在由在（）上的值域为，所以令求出的最值即可得的最值.【详解】由，可得函数的对称轴为；由函数得：，，所以．因为的值域为，所以，可得，故．若在（）上的值域为，令，解得或．所以m最小为，n最大为3，则的最大值为4．故选：D.8．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围【详解】作出函数的大致图象如图所示．由可得．由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．故选: 二、多选题9．下列命题是真命题的是（    ）A．函数是减函数B．“至少有一个整数x，使得是质数”是存在量词命题C．，D．命题p：，的否定是：，【答案】ABD【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断AC；根据存在量词命题的概念以及全称量词命题的否定可判断BD.【详解】对于A，，是减函数，所以A正确；对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在量词命题，所以B正确；对于C，，，所以C错误；对于D，命题p：，的否定是：，，所以D正确．故选：ABD.10．已知，则（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；对于B，显然，则，则，故B正确；对于C，因为，所以，所以，同理可得，即，故C正确；对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．故选：BC11．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用给定的定义，逐项分析函数的单调性，并求出函数值域判断作答.【详解】对于A，在上是增函数，当时，函数值域是，A不是；对于B，在上单调递增，当时，函数值域是，B是；对于C，在上单调递减，当时，函数值域是，C不是；对于D，在上单调递增，当时，函数值域是，D是．故选：BD12．已知函数，则（    ）A．不等式的解集是B．C．存在唯一的x，使得D．函数的图象关于原点对称【答案】BD【分析】对选项A，将题意转化为，再根据的单调性即可判断A错误，对选项B，根据求解即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C错误，对选项D，根据奇函数的定义即可判断D正确.【详解】对于A，不等式即，又在上单调递减，所以，即，解集为，A错误；对于B，由得，，又，所以，B正确；对于C，因为，所以，所以不存在，使得，C错误；对于D，定义域为，，故是奇函数，其图象关于原点对称，D正确．故选：BD 三、填空题13．已知集合，则________．【答案】【分析】解分式不等式可得集合A，后由补集定义可得答案.【详解】由题可知或，则．14．已知函数，若，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】分析出函数单调性，将不等式变形，即可求解.【详解】易知函数在上单调递增，且．即，所以，所以．故答案为：.15．若函数的最小值为，则实数的值为________．【答案】##【分析】换元法令，，分，两种情况讨论即可.【详解】由题可知，解得．因为，，令，．因为的最小值为，当时，无最小值，不满足题意，所以，因为，即，所以，解得．故答案为：16．若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是________．【答案】【分析】先由题意确定，分类讨论与两种情况，将问题转化为恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解.【详解】因为不等式对任意恒成立，且，所以，当时，不等式恒成立等价于，即对于任意恒成立，即，令，，则，由对勾函数性质易得在时，单调递增，故，则，与矛盾，故此时k不存在；当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立，当时，显然成立，当时，不等式等价于对于任意恒成立，即，令，，则，由对勾函数性质易得在时，单调递减，故，则，故；综上：，即．故答案为：. 四、解答题17．化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用根式与分数指数幂互化，指数运算法则求解作答.（2）根据给定条件，利用对数运算法则、换底公式求解作答.【详解】（1）原式．（2）原式．18．已知集合是函数的定义域，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出集合、，再根据并集运算即可；（2）分和两种情况，结合包含关系讨论求解即可.【详解】（1）由，即，所以，当时，，所以.（2）由（1）知，，，且，当时，有，即.当时，有，即.综上所述，的取值范围为.19．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变．(1)若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少；(2)若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意将代入计算即可得到污染物的浓度与初始浓度的比值；（2）由前4 h消除了80%的污染物，可得，再根据污染物的浓度不超过初始浓度的4%求得处理的总时间，可得结果.【详解】（1）过滤2 h后，，所以污染物的浓度与初始浓度的比值是；即污染物的浓度与初始浓度的比值是.（2）由题意知，前4 h消除了80%的污染物，又因为，所以，得．设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为，由，即，得，联立，得，所以， 故至少还需过滤才能排放．20．已知，且．(1)证明：；(2)证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立.（2）结合综合法以及基本不等式证得结论不等式成立.【详解】（1），当且仅当时取等号，所以．（2）由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， ∴，同理，，由题可知上述三式等号不能同时成立． ∴，即原不等式得证．21．已知函数．(1)判断函数的奇偶性并加以证明；(2)若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求得正确答案.（2）结合函数的单调性、奇偶性等知识化简不等式，从而求得的取值范围.【详解】（1）函数为奇函数． 证明如下：易知的定义域为，因为， 所以为上的奇函数．（2），所以在上单调递增，,所以是奇函数． 不等式有解即有解，由的奇偶性可知进一步等价于有解，由的单调性可知进一步等价于有解，即不等式有解． 因为，所以，，所以的取值范围是， 所以，即，所以实数的取值范围是．【点睛】求解函数奇偶性的问题，注意两点，第一点是首先要求函数的定义域，奇偶函数的定义域关于原点对称；第二点是利用奇偶性的定义，判断还是.22．已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)已知，讨论在上的最小值；(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）设，代入得到值，计算，得到方程组，解出值，即可得到解析式；（2）分，和讨论，结合函数单调性即可得到其最小值；（3）不等式化简为，分和讨论，当时，利用函数的单调性即可得到不等式组，解出即可.【详解】（1）设，因为，所以，则因为，所以解得故．（2）．当，即时，在上单调递减，所以；当且，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，所以．综上，当时，；当时，；当时，．（3）不等式可化简为．因为，所以．要使时，恒成立，显然时不可能． 当时，因为函数、在上均为增函数，则函数在单调递增，故解得．综上可知，实数的取值范围为．【点睛】关键点睛：本题第二问属于轴定区间动问题，对其分类讨论的情况需要结合其开口方向，所问的是最大值还是最小值，抓住对称轴这一关键位置，数形结合讨论最值，第三问是一个函数恒成立问题，本问需要对进行分类讨论，尤其是当时，需要构造新函数，利用其单调性得到不等式组.