2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ）

A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5

C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4

【答案】C

【分析】由－4<b<2，得－4<－|b|≤0，根据不等式的性质同向相加可得结果.

【详解】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.

又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.

2．已知为正数，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】利用基本不等式求解即可.

【详解】，当且仅当时，取得最大值.

故选：D

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.

3．存在，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，然后求出右边的范围即可.

【详解】由有解，可得

因为时，

所以

故选：C

4．若正实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．5 D．

【答案】C

【解析】根据，将，变形为，利用基本不等式求解.

【详解】因为正实数，满足，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为5

故选：C

5．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用换底公式将化为，然后运用对数运算法则即可求得结果.

【详解】解：.

故选：A.

6．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，因为，，函数在区间内恒有，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C．

考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.

7．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得：，解不等式组即可求解.

【详解】由题意可得：，即，

所以，

所以实数a的取值范围是，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是两段函数在各自的定义域内都是减函数，且，即可求a的取值范围.

8．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】先由函数的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，然后利用其奇偶性和单调性将对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立求解.

【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称，

又

所以是奇函数，

又在R上是增函数，

所以对任意的恒成立，等价于：

对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，因为，所以，

所以

解得，

所以整数k的最小值是4

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键是将函数解析式转化为，判断其单调性，进而结合奇函数，利用单调性的定义求解.

二、多选题

9．设函数定义域，且满足：①时，；②，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．在定义域上是减函数 D．在定义域上是增函数

【答案】AC

【解析】由条件②，令，可得，再令，即可得到，从而可得函数的奇偶性，判断选项，；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数的单调性，从而判断选项，．

【详解】，

令，则，

所以，

令，则，

又因为，

所以为奇函数，故对，错；

任取，

所以，

因为，所以，，所以，

所以，因为，所以，

所以，

由条件①得，

所以，

所以在上单调递减，

所以在上单调递减，故对，错．

故选：AC

【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.

10．对于定义在上的函数，下列说法正确的是（    ）

A．若是奇函数，则的图象关于点对称

B．若对，有，则的图象关于直线对称

C．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数

D．若，则的图象关于点对称

【答案】AC

【分析】根据函数奇偶性，对称性，周期性解决即可.

【详解】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得的图象，故的图象关于点对称，故A正确；

对B，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线对称，故B错误.；

对C，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，故为偶函数，故C正确；

对D，由得，，的图象不关于对称，故D错误.

故选：AC.

11．（多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】由已知可得，，有，依据基本不等式即可知，进而可知、、的范围.

【详解】由题意知：，，

∴，即，

∵，

∴，

，

，

故选：ABD

【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.

12．已知正实数a，b满足 ，且，则 的值可以为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】BC

【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和.

【详解】由得到，

则，即，

整理得，

解得或，

当时，，则

当时，，则.

故选：BC.

【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的性质，属于基础题.

三、填空题

13．已知集合，，则________.

【答案】

【解析】解出方程组即可得答案.

【详解】联立可解得或

所以

故答案为：

14．设，则“且”是“”的________.

（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）

【答案】充分不必要条件

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】且可以推出，

反之不一定成立，如，满足，但不满足且

故“且”是“”的充分不必要条件

故答案为：充分不必要条件

15．已知，用表示为__________．

【答案】

【解析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解.

【详解】由题意，，

利用换底公式得：，

，

所以.

故答案为：.

16．若幂函数在上为增函数，则实数m的值为______.

【答案】1

【分析】由幂函数有求m值，结合幂函数的区间单调性验证m值，即可得答案.

【详解】由题设，即，可得或，

当时，在上为增函数，符合；

当时，在上为减函数，不符合.

所以.

故答案为：1

四、解答题

17．已知命题：“，不等式成立”是真命题．

(1)求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由命题为真命题可得出在恒成立，求出的最大值可得的范围；（2）求出命题，所对应的集合，因为是的充分不必要条件，所以，由条件列出不等关系求解可得的范围.

【详解】（1）由题意命题：“，不等式成立”是真命题．

在恒成立，即，；

因为，所以，即，

所以实数的取值范围是；

（2）由得，设，由得，设，

因为是的充分不必要条件；

所以，但推不出， ；　

所以，即，

所以实数的取值范围是，．

18．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．

（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；

（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？

【答案】（1）；（2）长100米、宽为40米.

【详解】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，

由a2x＝4000，得a＝.

则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4000＋(8x＋20)·＋160

＝80(2＋)＋4160(x>1)．

(2)80(2＋)＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760.

当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．

19．已知函数.

（1）关于不等式的解集为，求的取值范围；

（2）关于不等式的解集为，且，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）不等式的解集是空集，分和两种情况求解；

（2）由条件知对任意的，，不等式恒成立，即恒成立，然后解出的最大值可得的范围．

【详解】（1）①当，即时，，不合题意；

②当，即时，，

解得，的取值范围是；

（2）不等式的解集为，若，

即对任意的，不等式恒成立，

即恒成立，

恒成立，恒成立，

设，则，，

，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

当时，的最大值为，

的取值范围是．

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，首选的方法是分离变量法，然后转化为最值问题.

20．计算下列各式的值：

（1）；

（2）

【答案】（1），（2）0

【解析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解即可；

（2）利用对数的运算性质求解

【详解】解：（1）

（2）

21．（1）求值：；

（2）已知，求．

【答案】（1）3；（2）．

【解析】（1）直接利用对数运算求解.

（2）根据，由，解得，再由求解.

【详解】（1），

，

.

（2）因为，

所以，

又，

所以

所以.

22．已知函数.

（1）若，求方程的解集；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；

（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值.

【详解】

（1）若，则，

令，则方程为，

解得：或，

则或，

∴或，

∴方程的解集为.

（2）∵，

∴，

令，

则，对称轴为.

①当，即时，；

②当，即时，；

③当，即时，.

综上，.

【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.