北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一元二次方程 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一元二次方程 练习题(解析版)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一元二次方程 练习题

一、单选题
1．（2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京西城·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（    ）
A．1 B．-1 C．-5 D．-6
3．（2022·北京朝阳·模拟预测）一元二次方程x2+5x+3=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（2021·北京顺义·二模）某厂家2021年1－5月份的产量如图所示． 下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有正确的推断是（   ）

A．② B．③ C．①② D．②③
5．（2021·北京朝阳·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京市八一中学模拟预测）用配方法解方程，方程应变形为（    ）
A． B． C． D．
7．（2020·北京·人大附中模拟预测）如果，那么代数式的值为（    ）
A．4 B．2 C．1 D．
8．（2020·北京·北师大平果附属学校二模）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ）
A．x(x-11)=180 B．2x+2(x-11)=180 C．x(x+11)=180 D．2x+2(x+11)=180

二、填空题
9．（2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
10．（2022·北京朝阳·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___．
11．（2022·北京顺义·二模）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是______．
12．（2022·北京房山·模拟预测）若已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________．
13．（2022·北京门头沟·一模）方程的解为________．
14．（2022·北京朝阳·一模）若关于x的一元二次方程有一个根是，则___________．
15．（2022·北京通州·一模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______，方程的根是______．
16．（2022·北京丰台·二模）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
17．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．
18．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）关于的一元二次方程总有两个实数根，则常数的取值范围是________．
19．（2022·北京海淀·一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．

三、解答题
20．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．
22．（2022·北京四中模拟预测）已知关于 的一元二次方程
(1)若这个方程有两个不相等的实数根， 求 的取值范围；
(2)当 时， 求方程的两个根
23．（2022·北京东城·二模）已知关于的一元二次方程．
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若是该方程的一个根，求代数式的值．
24．（2022·北京密云·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程有一个根为0，求k的值．
25．（2022·北京西城·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
26．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x的二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，求此方程的根．
27．（2022·北京昌平·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的值，并求此时方程的根．
28．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最小的整数时，求此时的方程的根．
29．（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．

参考答案：
1．C
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
2．D
【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．
故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0．
3．B
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．D
【分析】根据图中的信息一一判断，利用增长率计算公式以及列出一元二次方程即可找出答案．
【详解】解：①由图知，2月份到3月份产量减少，故①错误；
②由图，1月份的产量为：150万只，2月份的产量为：240万只，增长率为：；故②正确；
③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则4月份产量为220（1＋x）；5月份产量为220（1＋x）2＝480，故③正确；
故选：D．
【点睛】此题考查的是数据分析，解题的关键是掌握增长率的计算公式以及找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5．A
【分析】根据根的判别式建立不等式求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴＞0，
∴＞0，
∴＞0，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键．
6．D
【分析】常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
7．A
【分析】先对方程变形可得，再对分式进行化简，整体代入求解即可．
【详解】解：由可得，

即=4，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和分式的化简求值，整体代入思想的应用是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．
9．1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
10．m＜5
【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴．
解得：m<5．
故答案为：m<5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的实数根的情况的关系是本题的关键．
11．
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
12．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，
∴．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
13．
【分析】利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验；
【详解】
解：方程两边都乘（x-2）（x+2），得：x（x+2）+6（x-2）=0，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：当时，（x+2）（x-2）≠0，
当时，（x+2）（x-2）≠0，
∴是原方程的解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行检验．
14．-1
【分析】根据一元二次方程和一元二次方程根的定义，可得，且，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：或，
∵，即，
∴．
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元二次方程根的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
15．     9     -3
【分析】由一元二次方程根的判别式与其根的关系可知： ，代入列方程，求出m值，再求根即可．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴可得∶ ，
即： ，
解得：m=9，
则原方程为：，
，
，
故答案为：m=9，方程的根为-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系： 方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根，以及解一元二次方程，正确运用元二次方程根的判别式与根之间的关系是解题的关键．
16．m＜1
【分析】关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为m＜1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．2或
【解析】由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．　
【详解】解：由题意可得：
（m+2）2-4×1×4=0，
即（m+2）2=16，
∴m+2=4或m+2=-4，
∴m=2或m=-6，
故答案为2或-6．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键 ．
18．且
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△=[-(2k+1)]2-4k´k≥0，且k≠0，
解得：且k≠0．
故答案为：且k≠0．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解．
19．m＞4
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＜0，
∴，
∴m＞4
故答案为m＞4
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
20．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
21．(1)
(2)，

【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的范围内可得到为或，则方程变为或，然后解方程即可．
（1）
解：根据题意得，
解得．
故的取值范围为；
（2）
解：由（1）知，
为非负整数，
为或，
当时，方程为，
解得，，
当时，方程为，
解得，，
该方程的根都是整数，
∴，不合题意，舍去，
∴该方程的根为，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”．
22．(1)m的取值范围为m＜且m≠0；
(2)x1=0，x2=．

【分析】（1）利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）利用根与系数的关系解得m=-2，解方程即可求解．
（1）
解：根据题意得m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，
解得m＜且m≠0，
所以m的取值范围为m＜且m≠0；
（2）
解：∵，
∴=0，
解得m=-2，
∴原方程为即-2x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
23．(1)有两个不相等的实数根
(2)11

【分析】（1）利用根的判别式Δ=b2-4ac判断即可．
（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，再将-2k2+8k+5变形为-2（k2-4k）+5，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵Δ=b2-4ac=（-2k）2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，
得4-4k+k2-1=0，
整理得k2-4k=-3，
∴-2k2+8k+5
=-2（k2-4k）+5
=-2×（-3）+5
=11．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
24．(1)证明见解析
(2)k的值为0或1

【分析】（1）求出的值，再与作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根；
（2）将代入原方程，得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
(1)
证明：∵a=1，b=（2k－1），c=k2－k，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
解：将x=0代入原方程，得，
解得k1=0，k2=1．
∴k的值为0或1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出的值；（2）代入得出关于的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．
25．(1)见解析；
(2)当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．

【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【详解】（1）解：∵二次函数为 ，
∴，，．
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵当m=1时，原方程为：，
∴原式可化为，则，
∴或，
∴当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
26．(1)且；
(2)x1=0，x2=-1

【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根得到∆>0，利用公式求出m的取值范围；
（2）由（1）及m为正整数，可得m=1，利用因式分解法解方程即可．
(1)
解：∵关于x的二次方程有两个不相等的实数根，
∴∆>0，
∴，
解得；
∵，
∴且；
(2)
∵且m≠0，m为正整数，
∴m=1，
∴该方程为，
解得x1=0，x2=-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键．
27．当k=0时，x1=0，x2=-4（答案不唯一）
【分析】先求出b2-4ac，再根据b2-4ac＞0求出k的取值范围，然后写出一个，并求出方程的根即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=42-4×k＞0，
即k＜4．
当k=0时，x2+4x=0，
解得x1=0，x2=-4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
28．(1)
(2)方程的根为，

【分析】（1）由题意得，解出m的范围即可；
（2）根据第（1）问m的范围求出m的最小整数值，然后将m的值代入方程，解方程即可．
(1)
解：∵关于x 的方程有两个不相等的实数根．
∴其根的判别式．             
∴ ；
(2)
解：∵且m为最小的整数，
∴．                                   
∴此时方程为．                          
∴方程的根为，．
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程，当根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入m的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解．
29．(1)
(2)k=2，方程的两个根为，

【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可求得；
(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．
（1）
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根

解得
故k的取值范围为
（2）
解：且k为正整数
k的值只能是1或2
当k=1时，方程为
解得
方程的两个根均为整数
k=1不合题意，舍去
当k=2时，方程为
解得，  
方程的两个根均为整数，符合题意
故k=2，方程的两个根为，
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．