2023届四川省广安市岳池中学高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省广安市岳池中学高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省岳池中学高三上学期12月月考数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解出集合，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】因为.①当时，，合乎题意；②当时，，则，解得.综上所述，.故选：D.2．命题幂函数在上为增函数，三角形中，若，则，下面结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】判断出命题、的真假，利用复合命题的真假判断可得出结论.【详解】对于命题，因为为幂函数，则且，所以，幂函数在上为增函数，则为真命题；对于命题，在三角形中，，为真命题.因此，、、均为假命题，命题为真命题.故选：C.3．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据复数的运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出复数的虚部.【详解】设，则，所以，，所以，，解得或，因此，复数的虚部为.故选：B.4．各项为正的等比数列满足，则与的等比中项为（    ）A． B．3C． D．【答案】A【分析】利用等比数列的基本性质可求得的值，结合等比中项的定义可得结果.【详解】由对数的运算性质可得，，，则，，故与的等比中项为.故选：A.5．已知函数为奇函数，且当时，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇函数的性质结合诱导公式可求得的值.【详解】由已知可得，则.故选：A.6．双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为，则，且，则，则，由已知可得，解得，因此，双曲线方程为.故选：B.7．椭圆与抛物线的公共弦过公共焦点，且，则椭圆离心率（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出点、的坐标，利用椭圆的定义求出的值，即可求得椭圆的离心率的值.【详解】抛物线的焦点为，因为椭圆与抛物线的公共弦过公共焦点，则、关于轴对称，不妨设点、，所以，，因为，则，从而可知椭圆的下焦点为，上焦点为，则，由椭圆的定义可得，又因为，因此，该椭圆的离心率为.故选：C.8．行如图的程序框图，输出的等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，可得出变量的值.【详解】第一次循环，不成立，，不成立，；第二次循环，不成立，，不成立，；第三次循环，成立，，不成立，；第四次循环，成立，，成立，输出的值为.故选：A.9．已知定点，动点的坐标满足，为坐标原点，则在向量方向上的投影的最小值与最大值之和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出可行域，分析可知在向量方向上的投影为，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：所以，在向量方向上的投影为，联立，解得，即点，同理可得点、，所以，在向量方向上的投影的最小值与最大值之和为.故选：B.10．从正方体的面对角线中任取条，所在直线所成角为的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出与成角的面对角线的条数，结合组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】正方体的面对角线共条，易知、均为等边三角形， 因为，，，，所以，在正方体中，与成角的面对角线共条，因此，所求概率为.故选：D.11．一个几何体的三视图如图，它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出几何体的直观图，分析可知该几何体为三棱锥，其中平面，，计算出的外接圆直径，利用勾股定理可求得三棱锥的外接球直径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：可以该几何体为三棱锥，其中平面，，，所以，为等边三角形，如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，且，可将三棱锥置于内，使得的外接圆为圆，其中圆的直径为，故三棱锥的外接球直径为，所以，该几何体的外接球的表面积为.故选：C.12．在上有两个零点，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简题干函数，然后根据零点建立等式即可获解.【详解】其中,不妨设因为是的两个零点,所以即结合的范围知所以,即所以故选：D 二、填空题13．曲线在原点处的切线方程是________.【答案】【分析】根据导数的几何意义可得在原点处的切线方程的斜率为0，结合直线的点斜式方程即可.【详解】因为原点在曲线上，得，所以在点处切线的斜率为，所以切线方程为：，即y=0.故答案为：y=014．已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．【答案】【分析】由平面向量共线的坐标表示可得出，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，则，由基本不等式可得，可得，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.15．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．【答案】2【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以当时,,当时,,符合题意所以展开式中有理项的个数为2故答案为：216．已知若函数恰有2个零点，则的取值范围是________．【答案】【分析】先确定一个零点0，再变形转为为两个函数图像有一个交点研究【详解】因为,所以为函数的一个零点当,即令所以恰有2个零点,等价于函数与的图象有1个交点过定点当,则,函数与的图象有1个交点,符合题意当时,函数的零点为 此时,函数与的图象有3个交点,不合题意当时,函数的零点为则函数与在轴左侧的图象没有交点所以,函数与在轴右侧的图象恰有1个交点则直线与无交点,联立,可得则方程在上有两个不等的实根,可得解得综上,实数的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 三、解答题17．如图，在中，， ，为外一点，．(1)求角的大小，并判断的形状；(2)求四边形的面积的最大值．【答案】(1)，等边三角形(2) 【分析】（1）先用二倍角公式及诱导公式算出，再对向量式展开化简即可得出边的关系，即可判断三角形的形状（2）设，将面积表示成的函数，再利用辅助角公式即可求出最大值.【详解】（1）由题知,即解得或(舍),所以因为,所以所以的形状为等边三角形（2）设,在中由余弦定理得的面积的面积四边形ABCD的面积当,等号成立所以四边形ABCD的面积的最大值为18．如图，在三棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．(1)在线段上求一点，使得平面平面，并证明；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)答案见解析，证明见解析(2) 【分析】（1）取线段的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，由求出的值，可求得点的坐标，设点，其中，利用空间向量法求出的值，即可得出结论；（2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）解：取线段的中点，连接，，，则，且，又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，设，其中，则，因为，则，解得，故点，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设点，其中，，，设平面的法向量为，则，取，可得，因为平面平面，则，解得，故当点为靠近点的三等分点时，平面平面.（2）解：设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，则，取，可得，因为.由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.19．某政策研究机构对国家新冠防疫措施新版《二十条》进行民意测评，在某低风险地区，通过分层抽样电话咨询了年龄在15～75的200个居民，调查对象在“支持”与“持保留意见”中二选一，这200个样本的年龄频率分布直方图如下：(1)求这200个样本的年龄中位数；(2)把年龄在15~55的看作青年，在55~75的看作中老年，已知这200人中中老年持保留意见的有20人，而所有持保留意见的占15%.（i）完成以下列联表；（ii）能否有99.9%的把握认为年龄与观点有关． 中老年青年合计支持   持保留意见   合计  200 0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828  【答案】(1)41.67(2)有的把握认为年龄与观点有关 【分析】（1）先算出，再列方程计算中位数（2）计算与10.828比较即可【详解】（1）由题知,解得前2个矩形的面积为前3个矩形的面积为所以中位数,满足,解得即中位数为41.67（2）列联表如下： 中老年青年合计支持20150170持保留意见201030合计40160200 所以有的把握认为年龄与观点有关.20．已知数列满足．(1)判断数列是否为等比数列；(2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）对递推式变形，再讨论首项即可（2）分别求出，的通项，再错位相减和分组求和即可【详解】（1）由题知若,则,此时不是等比数列若,则是首项为,公比为3的等比数列（2）因为,所以,即当当,也满足,所以所以数列的前项和为数列的前项和所以所以所以数列的前项和21．已知函数，，其中是自然对数的底数．(1)若的最小值为0，求；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）带参数求导研究最小值，解方程即可（2）端点效应问题，分和讨论即可【详解】（1）()若,则单调递增,无最小值,不合题意.()若,令,得当单调递减当单调递增所以即,即,即（2）令易知在上单调递增,所以所以在上单调递增,所以()若,则,即在上单调递增即,即在上恒成立,符合题意()若,则所以存在,使得当单调递减,即所以此时存在,使得,不合题意综合知的取值范围为【点睛】方法点睛 ：本题属于端点效应问题，可以先用洛必达法则猜出答案，然后论证充分性和必要性即可.22．在平面直角坐标系xOy中，动点的轨迹记为，圆的方程为，曲线向下平移后与圆交于、两点，以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系．(1)将向下平移1个单位得到的曲线记为，求曲线和的极坐标方程；(2)问曲线向下平移多少个单位时，面积最大．【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）利用普通方程和极坐标方程互化公式即可获解（2）转为为圆心到直线的距离列方程求解【详解】（1）由题知的参数方程为(t为参数),普通方程为,极坐标方程为的极坐标方程为,即（2）面积当时,等号成立,此时到直线AB的距离设曲线向下平移个单位时,面积最大,则平移后的方程为所以,解得所以曲线向下平移或个单位时,面积最大.23．已知，，．(1)求的取值范围；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）转化为关于的二次函数求解（2）利用基本不等式求解【详解】（1）由,得所以的取值范围为（2）当,即时,等号成立.