2023届江苏省南通市高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届江苏省南通市高三上学期期中数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省南通市高三上学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合交集、并集、补集的运算，可得答案.【详解】，，则.故选：C.2．已知复数，且是纯虚数，则（    ）A． B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根据复数乘方运算法则得到，然后根据纯虚数的定义列方程得到，最后求复数的模即可.【详解】，因为为纯虚数，所以，解得，所以.故选：A.3．已知角满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数平方式，结合一元二次方程的解法，求得，根据三角函数诱导公式以及余弦二倍角公式，可得答案.【详解】由，，，，解得，，故选：B.4．随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是（    ）A．64m B．80m C．100m D．40m【答案】B【分析】将实际问题转化出来，利用数形结合解决即可【详解】如图：设圆拱所在圆的半径为，圆拱的跨度m，拱高是m，则在直角中有：即解得：故选：B.5．已知等差数列的公差不为0，且，则集合的子集个数是（    ）A． B．9 C．1024 D．512【答案】D【分析】根据等差数列的性质可知，由即可得数列的前12项是6对互为相反数的数，即可求得集合中的元素个数，计算出结果.【详解】由于等差数列的公差不为0，且，所以；由等差数列的性质可知，，即；以此类推，即可得，，，；所以，数列的前12项是6对互为相反数的数，且绝对值互不相等；即数列中的前12个数在集合中只能算6个元素；又由等差数列性质可知，三个数互不相等且与前面12个数的绝对值也互不相等，所以集合中共有9个元素；由个元素的集合共有个子集可得：集合的子集个数是个.故选：D.6．在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面直角坐标系，设点，由题建立关系式，令将问题转化利用参数方程求解【详解】如图所示建立直角坐标系：由题意设，其中，所以令所以所以所以所以所以的取值范围是故选：D.7．已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的母线长和侧面展开图恰好拼成一个半圆得到两个圆锥的底面圆的周长之和，再结合侧面积之比为1:2得到底面圆的周长比也为1:2，即可得到底面圆的半径，然后利用勾股定理得到圆锥的高，最后求体积即可.【详解】因为两个圆锥的母线长为6，侧面展开图恰好拼成一个半圆，所以两个圆锥的底面圆的周长和为6π，因为侧面积之比为1:2，所以底面圆的周长比为1:2，则底面圆的周长分别为2π，4π，底面圆的半径分别为1，2，所以两个圆锥的高分别为，，则体积之和为.故选：A.8．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，则有，，，令,利用导数可得，即；令，利用导数可得，即；令，利用导数可得，即，从而可得，即可得答案.【详解】解：因为，，令，因为，所以，所以，所以，，， 令,则有,所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以,即有,所以有(当时取等号)，所以，即；令，则，所以单调递减，所以当时，，即，所以，即有，所以，故排除A，D；令，则，，所以单调递减，当时，，所以单调递减，所以当时，，即，所以，所以，即，所以.故选：B. 二、多选题9．已知函数的最小正周期满足，且，是的一个对称中心，则（    ）A． B．的值域是C．是的一条对称轴 D．是偶函数【答案】AC【分析】对于A，代入对称中心，建立方程，根据周期的计算公式，可得答案；对于B，由A求得函数解析式，根据正弦函数的值域，可得答案；对于C，利用整体思想进行检验，根据正弦函数的对称性，可得答案；对于D，由题意求得函数解析式，根据三角函数的奇偶性，可得答案.【详解】由为函数的一个对称中心，则，且，解得，由，且，即，解得，则，故A正确；故，由，则，故B错误；将代入，可得，根据正弦函数的对称性，可得C正确；，显然该函数不是偶函数，故D错误.故选：AC.10．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（    ）A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里【答案】AD【分析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列，根据题目条件，分别写出两个等差数列的通项公式，对选项逐一分析即可得出结论.【详解】由题意可知，两马日行里数都成等差数列;记数列为良马的日行里数，其中首项公差所以数列的通项公式为记数列为驽马的日行里数，其中首项公差所以数列的通项公式为因此，对于A，驽马第七日行里数为，即驽马第七日行九十四里；故A正确；第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误；设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即，解得或（舍），即第九日二马相逢；故C错误；由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.11．已知实数x，y满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】将等式改写成关于的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式可判断B；根据不等式可判断C；再由不等式以及的取值范围可判断D.【详解】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；所以，即可得；所以A错误；对于B，由于，再根据不等式，得，所以，当且仅当时，不等式的等号成立，当且仅当时，不等式的等号成立；即B正确；对于C，，再根据不等式，得，即可得，当且仅当时，不等式的等号成立，当且仅当时，不等式的等号成立；所以C正确；对于D，由，可知，即；当且仅当或时，不等式的等号成立，由得，而，即所以，即可得；当且仅当或时，不等式的等号成立；所以；即D正确.故选：BCD.12．设定义在上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）A． B．的图象关于直线对称C． D．【答案】ACD【分析】根据为奇函数推出对称中心为，从而判断A；根据可得，由，得，将代入，得的对称轴为，由，可得的图象关于点对称，从而判断B；根据的对称轴和对称中心进而可得的周期，与的周期，从而可判断C；再利用赋值法即可判断D.【详解】解：由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确；又，则，因为，则，所以，令，得，则，所以，即，则关于直线对称，两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误；因为关于点对称，关于直线对称，即，，所以，则，所以的周期；所以，，所以，C选项正确；又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反，且，令，得，所以，，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数关于对称，等价于，关于对称，等价于或. 三、填空题13．在中，三边长是公差为2的等差数列，若是钝角三角形，则其最短边长可以为______________.（写出一个满足条件的值即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】设三角形的三边长为，求出最短边的取值范围为即得解.【详解】解：设三角形的三边长为，所以.因为三角形是钝角三角形，所以，所以.综合得最短边的取值范围为.故答案为：3（答案不唯一）14．已知，则______________.【答案】##【分析】根据对数运算，结合分段函数不同区间上的不同解析式，可得答案.【详解】由，则，由，则，由，则，由，则，故答案为：.15．如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，，则该双曲线的离心率是______________.　【答案】2【分析】以最窄处的中点为原点建立直角坐标系，根据条件求出a，b即可.【详解】以最窄处的中点为原点建立直角坐标系，如下图：设双曲线的方程为 ，则 ， ，代入双曲线方程得： ，解得： ， ；故答案为：2. 四、双空题16．在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时，______________，此时球心到平面的距离是______________.【答案】     3     【分析】由题意可知，四棱锥可以看成是由某个正方体截取的一部分，因此该四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，则球心应在正方体对角线的中点，当球的半径最小时，其体积最小；根据四棱锥的体积为9，建立半径与棱长的关系式求最值即可得出；由几何关系可知平面与正方体对角线的交点为对角线的三等分点，即可求出球心O到平面的距离.【详解】如下图所示，设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积，所以；设四棱锥的外接球半径为，通过构造长方体可知满足；即令，则，令,即；所以，在上单调递减，在上单调递增；即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；所以，，半径；此时四棱锥可以看成是由棱长为3的正方体截取的一部分，则球心应在正方体对角线的中点，设平面由正方体中的几何关系可知，且平面；所以即为球心O到平面的距离.又因为，即所以球心O到平面的距离为.故答案为：. 五、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.(1)求；(2)若边AB上的高为1，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理得到，结合得到，，然后利用三角形内角和和和差公式得到，再结合同角三角函数基本公式求即可；（2）方法一：根据和边上的高为1得到，然后根据得到，，再利用和差公式和内角和得到，最后利用三角形面积公式求面积即可；方法二：过点C向AB作垂线，垂足为H，分别在和中利用三角函数和勾股定理得到，，然后利用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）因为，所以，在中，由正弦定理，所以，所以，所以，因为，所以.在中，，所以，所以，所以，所以，所以.（2）方法一：因为，，所以.因为边上的高，所以.因为，，所以，，在中，，所以.在中，由正弦定理，所以.所以的面积.方法二：过点C向AB作垂线，垂足为H.在中，，，所以，.在中，，，所以，所以，所以的面积.18．已知为正项数列的前n项和，且，当时，.(1)证明为等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）将整理为，结合等差数列的定义即可得到为等差数列，然后利用等差数列的通项公式得到，最后利用求即可；（2）由（1）得到，，然后根据得到，最后利用裂项相消和分组求和求即可.【详解】（1）因为，所以，所以为等差数列.因为，所以，所以，所以当时，，当时，，所以.（2）因为，所以.因为，所以.所以.19．如图所示，在四棱锥中，是等边三角形，，，，.(1)记平面与平面ABE的交线为，证明：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据条件可证平面ABE，然后根据线面平行的性质定理即可得到结果.（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，根据法向量，结合二面角的公式即可得到结果.【详解】（1）在四棱锥中，，又因为平面ABE，平面ABE，所以平面ABE.又因为平面ACD与平面ABE的交线为，平面ACD，所以.（2）因为，，所以.在直角中，因为，，所以.在直角中，因为，，所以.取BC的中点O，连接OA，OD，在等边中，，.在等腰直角中，，.在中，因为，，，所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，所以，，所以.设为平面ABE的法向量，则，，得，，取，所以为平面ABE的一个法向量.因为为平面DBE的法向量，所以，所以二面角的余弦值为.20．在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.(1)若点，求的长；(2)从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求抛物线C在A、B处的切线方程，联立方程可求点P的坐标，结合题意即可求；（2）①→②：利用向量共线处理三点共线问题，整理可得，即可证明；②→①：根据题意可得，利用向量共线处理三点共线问题，即可证明.【详解】（1）抛物线：的焦点，准线，设，，∵，即，所以，∴抛物线C在A处的切线斜率，切线方程是，即.同理可得：抛物线在B处的切线方程是.联立方程，解得，即，又∵，则，即，可得，∴.（2）①→②：∵，，∴，，因为，则，可得：，由于，即，所以，即，由（1）可得：，故点P在抛物线C的准线上.②→①：，，因为点P在抛物线C的准线上，则，即，所以，则，又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，所以直线AB过抛物线C的焦点.21．已知，其极小值为-4.(1)求的值；(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.【答案】(1)3(2)证明见解析 【分析】（1）求导，分、和三种情况求的极小值，列方程求解即可；（2）构造函数，根据的单调性和得到，再结合和的单调性即可得到；设，通过比较和的大小关系得到，，再结合即可得到.【详解】（1）因为，所以.当时，，所以单调递增，没有极值，舍去.当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为，舍去当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为.所以.（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不妨设.下面先证.即证，因为，所以，又因为区间上，单调递减，只要证，又因为，只要证，只要证.设，则，所以单调递增，所以，所以.下面证.设，因为，在区间上，；在区间上，.设，，因为，所以，所以.设，，因为，所以，所以.因为，所以，所以.【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：①构造，②确定的单调性，③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，④利用的单调性即可得到或.22．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）方法一：由椭圆的定义求，即可求解；方法二：建立方程组，解方程即可求解；（2）设直线AP的方程为,直线的方程为，由得，直线的方程为.与椭圆联立，利用根与系数的关系，结合已知求解即可【详解】（1）方法一：设椭圆的焦距为，则.不妨设，，所以，，所以，解得.因为，所以椭圆的标准方程.方法二：设椭圆的焦距为，则.由解得，，所以椭圆的标准方程.（2）显然直线AP，AQ斜率都存在.设直线AP的方程为.令，得.设直线的方程为，同理可得.因为，所以，所以.设直线的方程为.由得，所以，，所以，所以，所以解得.所以直线过点.