湖北省武汉市名校导练2022年中考数学模拟试卷（三）(含答案)

这是一份湖北省武汉市名校导练2022年中考数学模拟试卷（三）(含答案)，共32页。

湖北省武汉市名校导练2022年中考数学模拟试卷（三）解析版
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．﹣8的倒数是（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣ D．
2．下列事件是随机事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7
D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7
3．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果为a8的是（　　）
A．a4+a4 B．a2•a2 C．（﹣a2）4 D．a4÷a2
5．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜1 D．m＞1
7．明代珠算发明家程大位，被称为珠算之父、卷尺之父．在其《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余六两；如果每人分九两，则刚好分完，请问：所分银两是多少？如图是两种分银两的方法中所分银两的数量y（单位：两）关于分银两的人数x（单位：人）的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是（　　）

A．25 B．26 C．27 D．28
8．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AD＝4，CD＝2，若用半径为r的圆形纸片完全覆盖平行四边形ABCD，则r的最小值是（　　）

A． B．2 C．2 D．
10．若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（　　）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．计算：＝　 　．
12．武汉是国家历史文化名城，区域内的东湖、黄鹤楼、归元寺、古琴台、木兰山都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组分别到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），则这组数据的中位数是 　 　．
13．计算的结果是 　 　．
14．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行200米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD约是 　 　米（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

15．下列关于二次函数y＝a（x﹣m）2+m+1（a，m为常数，a＞0）的结论：
①当m＞﹣1时，其图象与x轴无交点；
②其图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），其中x1＜x2，若x1+x2＞2m，则y1＞y2；
③无论m取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；
④若，当1＜a＜2时，其图象与y轴交点在（0，2）和（0，3）之间．
其中正确的结论是 　 　（填写序号）．
16．如图，AD∥BC，∠A＝∠D，BC＝2AD，P为边AD上一点（不与A，D重合），点E，F分别为AB，CD的中点，作射线PE交直线BC于M，作射线PF交直线BC于N．若PM⊥PN，设tan∠ABC＝m，则m的取值范围是 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）求不等式组的解集，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集是 　 　．

18．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝62°，求∠2的度数．

19．（8分）某中学为在全校形成良好的人文阅读风尚，开展了“经典阅读月”活动．现随机调查了九（1）班全体学生平均每天的阅读时间，将所得数据分成四组（A：阅读时间为0.5小时，B：阅读时间为1小时，C：阅读时间为1.5小时，D：阅读时间为2小时），统计结果绘制成如图所示的不完整统计图．
（1）根据统计数据，计算九（1）班学生有 　 　人，B组对应的扇形圆心角的大小是 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该中学九年级有学生1000人，请估计该校九年级学生每天的阅读时间不超过1.5小时的人数．

20．（8分）如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，过A点作该圆的切线交BC的延长线于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠E＝30°，⊙O的半径r＝2，求阴影部分的面积．

21．（8分）如图是由相同小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，D均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留连线痕迹）．
（1）在图中A点正下方画格点C，使AC＝AB；
（2）在图中线段AB上画点E，使BE＝2AE；
（3）直接写出sin∠ADE＝　 　；
（4）在图中画点F，连接EF，使EF∥AD，EF＝AD．

22．（10分）学校购买一批钢笔和笔记本奖励给100名获奖学生，获得一等奖的学生奖励1支钢笔，获得二等奖的学生奖励1本笔记本，设获得一等奖的人数为x（人）（20＜x≤60）．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）购买钢笔超过20支时，每增加1支，单价降低0.2元，若购买奖品的金额为700元，求获一等奖的学生人数；
（3）当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额．
23．（10分）问题背景 如图（1），在直角三角形ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，连接BD，作AE⊥BD于F，交直线BC于E，求证：△AFD∽△BAD；
尝试应用 如图（2），在问题背景的条件下，连接FC，若∠CFE＝45°，求证：AD＝DC；
拓展创新 如图（3）．在△ABC中，AB＝AC，D，G为AC上两点，E为BC上一点，连接BD、AE交于F，∠BAC＝∠BFE＝120°，连接FG，∠DFG＝30°，若AD＝2DG，直接写出的值．

24．（12分）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C．
（1）若OA＝OB＝OC＝2，求抛物线的解析式；
（2）如图（2），在（1）中的抛物线中连接BC，D为y轴正半轴上一点，E为抛物线位于第一象限部分上一点，若△OBC与△BDE相似，求D点坐标；
（3）如图（3），将（1）中抛物线向上平移使顶点与原点重合，直线l与抛物线只有唯一公共点M，点M，N关于y轴对称，过点N作直线NQ平行于直线l，交抛物线于点Q，点P为点Q关于y轴的对称点，设点M的横坐标为t（t为常数，t＜0），若＝＝，求四边形MNHF的面积（用含t的代数式表示）．



参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．﹣8的倒数是（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，﹣8×（﹣）＝1，即可解答．
【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣）＝1，
因此﹣8的倒数是﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列事件是随机事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7
D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7
【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件判断即可．
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6，是随机事件，故本选项符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0，是必然事件，故本选项不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7，是必然事件，故本选项不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7，是不可能事件，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，掌握在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
3．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．下列运算结果为a8的是（　　）
A．a4+a4 B．a2•a2 C．（﹣a2）4 D．a4÷a2
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故A不符合题意；
B、a2•a2＝a4，故B不符合题意；
C、（﹣a2）4＝a8，故C符合题意；
D、a4÷a2＝a2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜1 D．m＞1
【分析】根据“当x1＜0＜x2时，有y1＞y2”，得到y1＞0，y2＜0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，
∴y1＞0，y2＜0，
即1﹣m＜0，
解得：m＞1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．明代珠算发明家程大位，被称为珠算之父、卷尺之父．在其《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余六两；如果每人分九两，则刚好分完，请问：所分银两是多少？如图是两种分银两的方法中所分银两的数量y（单位：两）关于分银两的人数x（单位：人）的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是（　　）

A．25 B．26 C．27 D．28
【分析】根据“有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余六两；如果每人分九两，则刚好分完”列出方程组，再求出方程组的解即可．
【解答】解：依据题意得：
，
解得，
即两图象交点P的纵坐标是27．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
∴乙获胜的概率＝＝，
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AD＝4，CD＝2，若用半径为r的圆形纸片完全覆盖平行四边形ABCD，则r的最小值是（　　）

A． B．2 C．2 D．
【分析】作AD，CD的垂直平分线OE，OF交于点O，OF交BC于点G，根据题意可得OE过点B，然后利用等腰直角三角形的性质可得r的值；当以AC为直径的圆履盖平行四边形．此时圆半径为，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，作AD，CD的垂直平分线OE，OF交于点O，OF交BC于点G，

根据题意可知：OE过点B，
∵AB＝CD＝2，∠BAD＝45°，AD＝4，
∴BE＝2，
∠BAD＝∠C＝45°，∠OFC＝90°，
∴GC＝CF，
∴GC＝BG＝2，
∵∠BOG＝∠BGO＝45°，
∴BO＝2，OE＝4，
∴r＝＝2，
如图，当以AC为直径的圆履盖平行四边形时，

∵AC＝＝2，
∴r＝．
综上所述：r的最小值是．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
10．若抛物线y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2与一次函数y＝ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab﹣3的值是（　　）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
【分析】由y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2＝a（x+a）（x﹣1），可知抛物线经过定点（1，0），再将（1，0）代入y＝ax+b，可得a+b＝0，从而可求代数式的值．
【解答】解：y＝ax2+（a2﹣a）x﹣a2＝a（x+a）（x﹣1），
∴抛物线必经过定点（1，0），
∵一次函数y＝ax+b也经过点（1，0），
∴a+b＝0，
∴a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3＝﹣3，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出抛物线经过的定点是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．计算：＝　7　．
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：＝＝7．
故答案是：7．
【点评】本题考查了二次根式的性质，理解算术平方根的定义是关键．
12．武汉是国家历史文化名城，区域内的东湖、黄鹤楼、归元寺、古琴台、木兰山都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组分别到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），则这组数据的中位数是 　7　．
【分析】根据中位数的定义分析即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
13．计算的结果是 　　．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行200米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD约是 　273　米（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

【分析】由题意得BC＝200米，设CD＝x米，则BD＝（x+200）米，AD＝CD＝x米，在Rt△ABD中，tan30°＝＝，解方程即可得出答案．
【解答】解：由题意得BC＝200米，
设CD＝x米，则BD＝（x+200）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝x米，
在Rt△ABD中，tan30°＝＝，
解得x≈273．
∴山高AD约为273米．
故答案为：273．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15．下列关于二次函数y＝a（x﹣m）2+m+1（a，m为常数，a＞0）的结论：
①当m＞﹣1时，其图象与x轴无交点；
②其图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），其中x1＜x2，若x1+x2＞2m，则y1＞y2；
③无论m取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；
④若，当1＜a＜2时，其图象与y轴交点在（0，2）和（0，3）之间．
其中正确的结论是 　①③④　（填写序号）．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，由m的取值范围可判断顶点位置，从而判断①，由抛物线对称轴为直线x＝m，x1+x2＞2m可得＞m，根据抛物线开口向上可判断②，由抛物线顶点坐标可判断③，将m＝代入解析式，从而可得抛物线与y轴交点坐标，进而判断④．
【解答】解：∵y＝a（x﹣m）2+m+1，a＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m+1），
∴m＞﹣1时，抛物线顶点在x轴上方，
∴图象与x轴无交点，①正确．
∵x1+x2＞2m，
∴＞m，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴y2＞y1.②错误．
∵抛物线顶点坐标为（m，m+1），
∴抛物线顶点在直线y＝x+1上，③正确．
∵，
∴y＝a（x﹣）2++1，
将x＝0代入y＝a（x﹣）2++1得y＝+1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，+1），
∴2＜+1＜3，
∴1＜a＜2．④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
16．如图，AD∥BC，∠A＝∠D，BC＝2AD，P为边AD上一点（不与A，D重合），点E，F分别为AB，CD的中点，作射线PE交直线BC于M，作射线PF交直线BC于N．若PM⊥PN，设tan∠ABC＝m，则m的取值范围是 　＜m＜3　．

【分析】如图，取MN的中点H，连接PH，过点P作PQ⊥BC于Q，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DK⊥BC于K，则AG＝DK，证明△ABG≌△DCK（AAS），可得AB＝CD，BG＝CK，证明△PAE≌△MBE（ASA），则AP＝BM，PD＝CN，设BC＝2AD＝4k，AP＝GQ＝MB＝a，则BG＝k，MN＝6k，PH＝3k，根据三角函数和勾股定理列式可得结论．
【解答】解：如图，取MN的中点H，连接PH，过点P作PQ⊥BC于Q，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DK⊥BC于K，则AG＝DK，

∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠ADC＝∠DCB＝180°，
∵∠DAB＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵∠AGB＝∠DKC＝90°，
∴△ABG≌△DCK（AAS），
∴AB＝CD，BG＝CK，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AEP＝∠BEM，∠PAE＝∠EBM，
∴△PAE≌△MBE（ASA），
∴AP＝BM，
同理得：PD＝CN，
∵AD＝KG，BC＝2AD，
∴MN＝3AD，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∵H是MN的中点，
∴PH＝MN，
设BC＝2AD＝4k，AP＝GQ＝MB＝a，则BG＝k，MN＝6k，PH＝3k，
∵tan∠ABC＝＝m，
∴PQ＝AG＝km，
∵PQ2＝PH2﹣QH2，
即k2m2＝9k2﹣（2k﹣2a）2，
∴m2＝﹣++5＝﹣（a﹣k）2+9，
又∵0＜a＜2k，
当a＝0时，m2＝5，
当a＝k时，Q与H重合，不符合题意，
∴5＜m2＜9，
∴＜m＜3．
故答案为：＜m＜3．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定，二次函数的最值问题，作辅助线构建矩形利用参数表示线段的长是解本题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）求不等式组的解集，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 　x＞﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤2　；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集是 　﹣1＜x≤2　．

【分析】（Ⅰ）解不等式①，得到解集即可；
（Ⅱ）解不等式②，得到解集即可；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣1；
故答案为：x＞﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
故答案为：x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来；
；
（Ⅳ）原不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝62°，求∠2的度数．

【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝62°，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝124°，然后利用平角定义求出∠3的度数，最后利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：如图：

∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ABC＝62°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝124°，
∴∠3＝180°﹣∠ABD＝56°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝56°，
∴∠2的度数为56°．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19．（8分）某中学为在全校形成良好的人文阅读风尚，开展了“经典阅读月”活动．现随机调查了九（1）班全体学生平均每天的阅读时间，将所得数据分成四组（A：阅读时间为0.5小时，B：阅读时间为1小时，C：阅读时间为1.5小时，D：阅读时间为2小时），统计结果绘制成如图所示的不完整统计图．
（1）根据统计数据，计算九（1）班学生有 　40　人，B组对应的扇形圆心角的大小是 　171°　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该中学九年级有学生1000人，请估计该校九年级学生每天的阅读时间不超过1.5小时的人数．

【分析】（1）根据A组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数；用360°乘B组所占比例即可得出B组对应的扇形圆心角度数；
（2）用总人数分别减去其它三组人数，可得C组的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用样本估计总体列式计算即可．
【解答】解：（1）九（1）班学生有：8÷20%＝40（人），
B组对应的扇形圆心角的大小是＝171°，
故答案为：40；171°；
（2）C组的人数为：40﹣8﹣19﹣3＝10（人），
补全条形统计图如下：

（3）＝925（人），
答：估计该校九年级学生每天的阅读时间不超过1.5小时的人数为925人．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，过A点作该圆的切线交BC的延长线于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠E＝30°，⊙O的半径r＝2，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OA，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAC＝90°，根据切线的性质可得∠OAE＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠BAO＝∠CAE，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠OAB，最后根据等量代换即可解答；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠AOC＝60°，从而求出∠AOB，∠B的度数，然后在Rt△ABC中，求出AB，AC的长，从而求出△AOB的面积，最后根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OA，

∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AE与⊙O相切于A，
∴∠OAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAE﹣∠OAC，
∴∠BAO＝∠CAE，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠CAE＝∠B；
（2）∵∠E＝30°，∠OAE＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOC＝120°，
∠B＝∠AOC＝30°，
在Rt△ABC中，BC＝4，
∴AC＝BC＝2，
AB＝AC＝2，
∴△AOB的面积＝△ABC的面积
＝×AB•AC
＝××2×2
＝，
∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积
＝﹣
＝π﹣，
∴阴影部分的面积为π﹣．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．
21．（8分）如图是由相同小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，D均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留连线痕迹）．
（1）在图中A点正下方画格点C，使AC＝AB；
（2）在图中线段AB上画点E，使BE＝2AE；
（3）直接写出sin∠ADE＝　　；
（4）在图中画点F，连接EF，使EF∥AD，EF＝AD．

【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）利用网格特征画出点E即可；
（3）取格点J，连接AJ，则△ADJ是等腰直角三角形，再证明△ADE≌△JDE，推出∠ADE＝∠JDE＝45°，可得结论；
（4）取格点R，连接DR，BR，取格点M，N，连接MN交BR于点T，连接ET，延长ET交网格线于点F，线段EF即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求；
（2）如图，点E即为所求；
（3）sin∠ADE＝，
故答案为：；
（4）如图，线段EF即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）学校购买一批钢笔和笔记本奖励给100名获奖学生，获得一等奖的学生奖励1支钢笔，获得二等奖的学生奖励1本笔记本，设获得一等奖的人数为x（人）（20＜x≤60）．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
（2）购买钢笔超过20支时，每增加1支，单价降低0.2元，若购买奖品的金额为700元，求获一等奖的学生人数；
（3）当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额．
【分析】（1）设钢笔的单价为a元，笔记本的单价为b元，根据“购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设获得一等奖的人数为x人，则获得二等奖的人数为（100﹣x）人，钢笔的单价为（16﹣0.2x）元，根据购买奖品的金额为700元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）设购买奖品的总金额为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设钢笔的单价为a元，笔记本的单价为b元，
依题意得：，
解得：．
答：钢笔的单价为12元，笔记本的单价为8元．
（2）设获得一等奖的人数为x人，则获得二等奖的人数为（100﹣x）人，钢笔的单价为12﹣0.2（x﹣20）＝（16﹣0.2x）元，
依题意得：（16﹣0.2x）x+8（100﹣x）＝700，
整理得：x2﹣40x﹣500＝0，
解得：x1＝50，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：获一等奖的学生有50人．
（3）设购买奖品的总金额为w元，则w＝（16﹣0.2x）x+8（100﹣x）＝﹣0.2x2+8x+800，
即w＝﹣0.2（x﹣20）2+880．
∵﹣0.2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝20，
又∵20＜x≤60，且x为整数，
∴当20＜x≤60时，w随x的增大而减小，
∴当x＝60时，w取得最小值，最小值为﹣0.2×（60﹣20）2+880＝560．
答：当获一等奖人数为60人时，购买奖品的金额最少，最少金额为560元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
23．（10分）问题背景 如图（1），在直角三角形ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，连接BD，作AE⊥BD于F，交直线BC于E，求证：△AFD∽△BAD；
尝试应用 如图（2），在问题背景的条件下，连接FC，若∠CFE＝45°，求证：AD＝DC；
拓展创新 如图（3）．在△ABC中，AB＝AC，D，G为AC上两点，E为BC上一点，连接BD、AE交于F，∠BAC＝∠BFE＝120°，连接FG，∠DFG＝30°，若AD＝2DG，直接写出的值．

【分析】（1）根据两个角分别相等，可证得△AFD∽△BAD；
（2）首先由△AFD∽△BAD，得AD2＝DF•BD，再说明△CFD∽△BCD，得CD2＝DF•BD，即可得出AD＝CD；
（3）过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，设AD＝2k，DG＝k，则DC＝4k，再利用含30°角的直角三角形的性质得BM＝3k，AM＝3k，利用ASA证明△ABK≌△CAH，得AK＝HC＝，再根据△ABE∽△HCE，可得．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD；
（2）证明：∵△AFD∽△BAD，
∴，
∴AD2＝DF•BD，
∵∠CFE＝∠CFD＝∠DCB＝45°，∠BDC＝∠BDC，
∴△CFD∽△BCD，
∴，
∴CD2＝DF•BD，
∴AD＝DC；
（3）解：过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

∵△AFD∽△BAD，
∴AD2＝DF•BD，
∵△GFD∽△BCD，
∴DG•DC＝DF•DB，
∴AD2＝DG•DC，
设AD＝2k，DG＝k，
∴DC＝4k，
在△ABM中，BM＝3k，AM＝3k，
∵AM∥DN，
∴DN＝，KM＝，
∴AK＝，
过点C作CH∥AB交AE于H，
∴∠ACH＝60°＝∠BAK，
∵△AFD∽△BAD，
∴∠CAH＝∠ABK，
∴△ABK≌△CAH（ASA），
∴AK＝HC＝，
∵∠ABE＝∠ECH，∠AEB＝∠CEH，
∴△ABE∽△HCE，
∴．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能作出合适的辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C．
（1）若OA＝OB＝OC＝2，求抛物线的解析式；
（2）如图（2），在（1）中的抛物线中连接BC，D为y轴正半轴上一点，E为抛物线位于第一象限部分上一点，若△OBC与△BDE相似，求D点坐标；
（3）如图（3），将（1）中抛物线向上平移使顶点与原点重合，直线l与抛物线只有唯一公共点M，点M，N关于y轴对称，过点N作直线NQ平行于直线l，交抛物线于点Q，点P为点Q关于y轴的对称点，设点M的横坐标为t（t为常数，t＜0），若＝＝，求四边形MNHF的面积（用含t的代数式表示）．


【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）以BD为边作正方形BDE1E2，连接对角线交于点E3，设D（0，m），m＞0，利用正方形的性质和点的坐标的特征用m的代数式表示出点E1，E2，E3的坐标，将三点的坐标代入抛物线的解析式即可求得m值，则点D坐标可求；
（3）设M（t，），利用已知条件求得直线l的解析式为y＝tx﹣t2，利用平行线的性质求得直线QN的解析式，进而求得点T的坐标，利用三角形的面积公式求得三角形MNT的面积，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方和等高的三角形的面积比等于底的比求得S四边形MNHF＝9S△MNT，则结论可得．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝OC＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2；
（2）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵△OBC与△BDE相似，
∴△BDE为等腰直角三角形．
∵D为y轴正半轴上一点，
∴D（0，m），m＞0．
∴OD＝m，
以BD为边作正方形BDE1E2，连接对角线交于点E3，
过点E1作E1G⊥y轴于点G，过点E2作E2H⊥x轴于点H，如图，

∵∠E1GD＝∠E1DB＝∠DBE2＝90°，
∴∠GDE1+∠BDO＝90°，∠BDO+∠DBO＝90°，
∴∠GDE1＝∠DBO．
在△DGE1和△BOD中，
，
∴△DGE1≌△BOD（AAS），
∴E1G＝DO＝m，DG＝BO＝2，
∴OG＝m+2，
∴E1（m，m+2）．
同理可得：E2（m+2，2）．
∵四边形BDE1E2为正方形，
∴点E3为DE2的中点，
∴E3（，）．
∵E为抛物线位于第一象限部分上一点，
∴将点E1的坐标分别代入抛物线y＝﹣2中，
m+2＝﹣2，
∵m＞0，
∴m＝4；
将点E2的坐标分别代入抛物线y＝﹣2中，
2＝﹣2，
∵m＞0，
∴m＝2﹣2；
将点E3的坐标分别代入抛物线y＝﹣2中，
＝﹣2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴点D的坐标为（0，4）或（0，2﹣2）或（0，2）；
（3）∵将（1）中抛物线向上平移使顶点与原点重合，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝，
∵点M在抛物线y＝上，
∴设M（t，），
则经过点M的直线为y＝k（x﹣t）+，
∴，
∴﹣kx+kt﹣＝0．
∵直线l与抛物线只有唯一公共点M，
∴Δ＝k2﹣4×（kt﹣）＝0，
∴（k﹣t）2＝0，
∴k＝t，
∴直线l的解析式为y＝tx﹣t2．
∵点M，N关于y轴对称，
∴N（﹣t，），
∵直线NQ平行于直线l，
∴设直线NQ的解析式为y＝tx+b，
∴＝﹣t2+b，
∴b＝，
∴直线NQ的解析式为y＝tx+，
∴，
∴﹣tx﹣＝0．
∴点Q，点N的横坐标为方程﹣tx﹣＝0的两根，
∴xQ+xN＝2t．
取线段QN的中点G，连接GM，设MN交y轴于点K，如图，

则＝t，
∵M（t，），
∴MG∥y轴．
∵MK＝NK，
∴GT＝TN．
∵＝＝，
∴QF＝FG＝GT＝TN，
∴FT＝2TN．
∴S△MTF＝2S△MNT．
∵点M，N关于y轴对称，点P为点Q关于y轴的对称点，
∴MN∥PQ，
∵＝＝，
∴MN∥FH∥PQ，
∴△MNT∽△HFT，
∴＝4，
∴S△HFT＝4S△MNT．
由对称性可得：HT＝2MT．
∴S△HTN＝2S△MNT．
令x＝0，则y＝，
∴T（0，）．
∴OT＝．
∵M（t，），
∴OK＝，
∴KT＝OT﹣OK＝t2．
∵M（t，），N（﹣t，），
∴MN＝﹣2t，
∴＝﹣t3．
∵S四边形MNHF＝S△MNT+S△FMT+S△HNT+S△HFT＝9．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，抛物线与直线的交点问题，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．