湖北省襄阳市第三中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

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2022~2023学年高二年级数学学科12月
月考试题
一、单选题
1. 如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式4，点M的轨迹是
A. 双曲线的右支 B. 椭圆
C. 双曲线的上支 D. 射线
【答案】C
【解析】
【分析】
对关系式进行配方处理,即为,由两点间距离公式可知其表示点M（x,y）与定点（0,﹣3）,（0,3）的距离的差为4,进而根据双曲线的定义即可判断.
【详解】4,
即4,表示点M（x,y）与定点（0,﹣3）,（0,3）的距离的差为4,
∵4＜6,
∴点M（x,y）的轨迹是以（0,±3）为焦点,实轴长为4的双曲线的上支,
故选:C
【点睛】本题考查动点的轨迹,考查双曲线的定义的应用,解题时需注意轨迹为双曲线的一支还是全部.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ）
A B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.
3. 一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（ ）

A. 39 B. 45 C. 48 D. 51
【答案】D
【解析】
【分析】先由等差数列的求和公式得出总阶数，再由等差数列的性质得出最下面三阶的塔数之和.
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为，依题意可知，，…，成等差数列，且公差为2，，
则，解得.
故最下面三价的塔数之和为.
故选：D
4. 已知直线，若圆C的圆心在轴上，且圆C与直线都相切，求圆C的半径（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离相等列方程，求得圆心坐标并求得圆的半径.
【详解】设圆心坐标为，
则或，
所以圆的半径为或.
故选：C
5. 已知椭圆的焦距为6，过右焦点的直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得．得到，再利用，即可解得，．进而得到椭圆的方程．
【详解】，，，，
代入椭圆方程得，
相减得，
．
，，．
，
化为，又，解得，．
椭圆的方程为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6. 正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设等比数列的公比，根据题意求得，结合，即可求解.
【详解】设等比数列的公比，（其中），
因为，可得，即，解得或（舍去）
又因为，所以，即，所以，
所以或或，
所以或或，
所以的最小值为.
故选：A.
7. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）

A. 23 B. 26 C. 36 D. 62
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，联立抛物线方程可得韦达定理，进而根据焦点弦长公式结合基本不等式求解即可；
解法二：根据抛物线的性质，结合基本不等式求解即可
【详解】解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，

，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为
B. M到C右焦点的距离的最大值为
C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D. 面积的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；
B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；
C.根据为圆的直径，则点关于原点对称，利用点在椭圆上，证明；
D.利用圆的几何性质，确定面积的最大值.
【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确；
B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，，
，故C正确；
D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.
故选：D
二、多选题
9. 给出下列命题，其中正确的命题是（    ）
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
【答案】CD
【解析】
【分析】选项A，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行；选项B，根据空间向量四点共面条件即可判断B；选项C，根据平面向量基底的定义可判断C；选项D，根据投影向量的公式即可判断D.
【详解】选项A，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，所以直线或，故A错误；
选项B，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，四点不共面，故B错误；
选项C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；
选项D，由，，
在上的投影向量为，故D正确.
故选：CD.
10. 数列前项和为，则下列说法正确的是（    ）
A. 若，则数列一定是等差数列
B. 若对于所有的正整数，都有，则这个数列一定是等差数列
C. 若是递增数列，则
D. 若，则数列一定是等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，求出值即可判断数列不是等差数列；对于B，D，
利用判定即可；对于C，根据对任意恒成立，求解即可判断．
【详解】对于A，令，得，令，得，得，
令，得，得，显然不成等差数列，所以A错误；
对于B，，当时，，
两式作差得，
得，
两式作差得
整理得，
即，所以数列一定是等差数列，故B正确；
对于C，若是递增数列，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，得，故C错误；
对于D，若，
当时，，
两式作差得， ，
则，，
，，
则，所以数列一定是等比数列，故D正确．
故选：BD．
11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于渐近线的直线交两渐近线于A，B两点，若，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设点，求出，由对称性设出l方程，与渐近线方程联立求出线段AB长，再分情况计算作答.
【详解】设点，由双曲线对称性，不妨令直线l垂直于渐近线：，即，则，
直线l的方程为：，由解得点A的横坐标，
由解得点B的横坐标，
当时，点B在线段的延长线上，由得，
因此有，整理得，则离心率，
当时，点B在线段的延长线上，由得，
因此有，整理得，则离心率，
所以双曲线C的离心率为或.
故选：BC
12. 如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线，与底面所成的角分别记为，且，记动点的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是（ ）

A. 为中点
B. 线段长度的最小值为
C. 存在一点，使得平面
D. 若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于选项A，如图所示，建立空间直角坐标系，设，求出所以点的轨迹为以点为球心，以2为半径的球在正四棱柱内部（含表面）的部分. ,不满足方程，所以该选项错误；
对于选项B，设球心为,线段长度的最小值为.所以该选项正确；
对于选项C, 所以球与矩形的交线为弧,球与矩形的交线为弧, 所以和球没有交点，所以不存在一点，使得平面,所以该选项错误；
对于选项D, 点的轨迹长度为,所以该选项正确.
【详解】解：对于选项A，如图所示，建立空间直角坐标系，设，过点作平面,垂足为,连接.则由题得, 因为，所以
，即，所以点的轨迹为以点为球心，以2为半径的球在正四棱柱内部（含表面）的部分.由题得当为中点时，,不满足方程，所以为中点不满足题意，所以该选项错误；

对于选项B，设球心为,则,所以线段长度的最小值为.所以该选项正确；
对于选项C,由题得，过点作,交于点,过点作交于点.所以,平面,平面,所以平面,同理平面,又平面,所以平面平面, 所以,设球与棱的交点为,与交于点,，所以球与矩形的交线为弧,球与矩形的交线为弧, 所以和球没有交点，所以不存在一点，使得平面,所以该选项错误；

对于选项D, 由题得球与矩形的交线为弧,球与矩形的交线为弧, 球与正方形的交线为弧, 由于,所以,所以弧=弧=,弧=,所以在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为,所以该选项正确.

故选：BD
三、填空题
13. 为等差数列，，则__________.
【答案】108
【解析】
【分析】方法1：由等差数列的等和性以及等差数列的前n项和公式 可得结果.
方法2：由等差数列的通项公式以及等差数列前n项和公式（基本量）可得结果.
【详解】方法1：∵为等差数列，
∴ ，，
∴，，
∴，
方法2：∵为等差数列，设公差为d，
∴ 解得：
∴
故答案为：108.
14. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若为锐角，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由于圆心到直线的距离,当时,,所以,即,注意到,故,即.
考点：圆与直线的位置关系及运用．
【易错点晴】本题考查的是圆与直线的位置关系的问题.解答时先求出圆心到定直线的距离,再考虑为直角的特殊情形,求出此时圆心与动点的距离为定值,这时的是最小的,当由直角变小时, 会增大,由于是动点与圆心连线中长度是最小的,因此只要圆心到直线的距离也大于即可,所以求得的范围是.
15. 设定点，抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，若的最小值为，则实数的值为__________
【答案】或
【解析】
【分析】分点在抛物线内部、外部讨论，利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离即可求解．
【详解】①若在抛物线内部，如下图，

过作垂直准线，由抛物线的定义有，，
所以当，，三点共线时， 最小，
因为准线方程为，
所以，解得；
若在抛物线的外部，则当，，共线，且在，之间时，最小，，

则的最小值为，
解得或，
由于时，在抛物线的内部，所以舍去，
综上，或．
故答案为：或．
16. 如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．

设原三角形（图）的边长为，把图，图，图，中的图形依次记为，，，，，，则的边数__________，所围成的面积__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】记的边数为，三角形边长为，面积为，由图形变化规律可直接得到，从而得到；根据，采用累加法可求得.
【详解】记的边数为，三角形边长为，面积为，
由图形变换规律可知：，，则；
由图形可知：是在每条边上生成一个小三角形（去掉底边），
则，
由，，…，；
左右分别相加得：；
数列是公比为的等比数列，数列是公比为的等比数列，
，
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合应用问题，解题关键是根据图形的变化规律确定的边数的变化规律符合等比数列的变化；并得到图形面积变化所满足的递推关系式，采用累加法表示出图形面积.
四、解答题
17. 已知数列的前项和，，．
（1）证明数列为等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析,
（2）
【解析】
【分析】(1)利用与关系,再结合等比数列的定义证明即可,
根据等比数列通项公式计算即可得到;
(2)应用等比数列和等差数列前项和公式计算即可.
【小问1详解】
因为①
当时, ②
①②可得,即得
因为,
又因为,则,即得
所以是以为首项,以2为公比的等比数列
所以,即
【小问2详解】
由(1)可得
则应用等比数列和等差数列前项和公式

18. 已知是等差数列前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）在中，去掉以为首项，以为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为，求前100项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式；
（2）设以为首项，以为公比的数列为前项和为.利用
即可求解.
【小问1详解】
（1）设数列的公差为d.
，,
解得:
所以，，即.
【小问2详解】
设以为首项，以为公比的数列为前项和为.由（1）知，
所以


19. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）证明：AE⊥PD；
（2）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理与线面垂直的性质求解即可；
（2）建立坐标系，用向量法求解即可
【小问1详解】
由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又BC//AD，因此AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，
而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，
所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．
【小问2详解】
由（1）知，AE⊥平面PAD，连接AH,EH,∴∠AHE是EH与平面PAD所成的角，
由于AE为定值，∴当AH最小时，∠AHE最大
此时AH⊥PD，∠AHE＝45°
设AB＝2a，则AE，AH＝AE，
∵，
∴，，
∴PA＝，
以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面AFC的一个法向量为，则，
取x＝1，得，
设平面AEF的一个法向量为，则，
取＝1，得，
，
，
∴二面角E﹣AF﹣C的正切值为．

20. 已知抛物线C：的焦点为 ，点 为坐标原点，直线 过定点（其中，与抛物线C相交于 ， 两点（点位于第一象限）．

（1）当时，求证：；
（2）如图，连接 ， 并延长交抛物线C于两点，，设 和的面积分别为和，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线 方程为，，，
联立直线与抛物线C的方程，结合韦达定理以及向量的数量积求解即可.
（2）设直线方程为，，，
联立直线与抛物线C的方程，得到，设，，的方程为，联立直线与抛物线C的方程，转化求解，
同理可得：，然后求解三角形的面积比值.
【小问1详解】
证明：设直线 方程为，，，
联立直线与抛物线C的方程，
消去 ，得，
所以．
所以


即．
【小问2详解】
解：设直线方程为，，，
联立直线与抛物线C的方程，
消去，得，
故．
设，，
的方程为，
联立直线与抛物线C的方程，
消去得，
从而，，则，
同理可得：，
∴
．
∴
21. 已知三棱柱，，侧面为矩形，面面．

（1）求证：；
（2）若二面角的余弦值为，为中点，求与面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，由线面垂直条件证得面，则有，进而可得；
（2），以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用二面角的余弦值为，通过法向量计算求得，进而利用向量计算求得结果.
【详解】（1）取中点，由于是正三角形，所以，
又因为为矩形，而三棱柱中，所以，
从而面，则，所以．
（2）面面，面，设，
如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
面法向量即为，设面法向量为，
则，所以所给二面角余弦为，所以．
此时面法向量为，所求角的正弦值为：
，所以，所成角的正弦值为．

22. 在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

（1）若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（2）在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F，考虑点A在劣弧EF上和优弧EF上两种情况得到，确定轨迹是双曲线，计算得到答案.
（2）设，，，通过向量计算得到，计算，利用函数的单调性得到范围.
【小问1详解】
（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F．

由题意知，BC是线段AN的垂直平分线，直线BC与直线AM交于点P，故，
当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上，所以；
当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上，所以．
所以，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线．
设该双曲线的标准方程为，则，，
所以，，，所以点P的轨迹方程为；
【小问2详解】
（2）设，，，则，．
因为，所以，即，
将点的坐标代入双曲线方程有，
化简得．
设的倾斜角为，故，，

故
．
因为，函数在上单调递减，在上单调递增，
，故．
【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，三角形的面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，根据对称得到线段之差为定值，进而确定轨迹为双曲线是解题的关键.