2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．抛物线的准线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程.【详解】由，得，所以其准线方程是.故选: A2．如图，正四棱锥的侧面为正三角形，为中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过中位线作出异面直线和所成角,解三角形求得其余弦值.【详解】连接，相交于，连接.由于是中点，是中点，所以是三角形的中位线，所以，所以是异面直线和所成角.由于几何体是正四棱锥，所以平面，所以,而,所以平面，所以.由于三角形是等边三角形，而四边形是正方形.设，则.所以.故选：A.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四棱锥的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.3．已知数列满足: ，，设数列的前项和为，则（    ）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010【答案】D【分析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.【详解】由题意，数列满足: ，，可得，可得数列是以3为周期的数列，且所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.4．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（    ）A．2 B．22 C．4 D．8【答案】C【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论.【详解】解：设等轴双曲线的方程为，抛物线，，则，，抛物线的准线方程为，设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，则，.将，代入，得，，等轴双曲线的方程为，即，的实轴长为.故选：C.5．已知、是椭圆：上的两点，且、关于坐标原点对称，是椭圆的一个焦点，若面积的最大值恰为2，则椭圆的长轴长的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出、两点的坐标并写出的面积公式，再然后根据面积的最大值为2得出，最后根据基本不等式的相关性质以及即可得出结果．【详解】根据题意可画出图像，如图所示，因为、关于坐标原点对称，所以设、，因为，所以，因为面积的最大值为2，，所以当时面积取最大值，，，当且仅当时“”号成立，此时，，故选D．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题．6．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A7．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.【详解】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．由题得，圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式．可得．解得，所以．故选B．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.8．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由，当最小时求解.【详解】解：如图所示：设，，连接，圆为：，则，则，当点时，的最小值为，所以，故选：C 二、多选题9．记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据等差数列的性质判断A，利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算可判断BD，由前n项和公式判断D.【详解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5， (*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)， 联立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；，C正确．故答案为：ABC10．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（    ）A．若点在平面内，则必存在实数，使得B．直线与所成角的余弦值为C．点到直线的距离为D．存在实数、使得【答案】BCD【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；对B：取的中点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为的中点，故可得//，在三角形中，分别为的中点，故可得//，则//，故直线所成的角即为或其补角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：连接如下图所示：在三角形中，，，，故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，则.故C正确；对D：记的中点为，连接，如下所示：由B选项所证，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面，又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在实数、使得，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.11．设等差数列的前n项和是，已知，，则下列选项正确的有（    ）A．， B．C．与均为的最大值 D．【答案】ABD【分析】根据，，利用等差数列前n项和公式得到，，再逐项判断.【详解】因为，，所以，即，因为，所以，所以，所以等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，则，，为的最大值．故选：ABD．12．设双曲线左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，下列命题正确的是（    ）A．双曲线上存在点，使得B．双曲线的焦点在以为直径的圆上C．双曲线上有且仅有4个点，使得是直角三角形D．若在双曲线上，【答案】BD【分析】A.根据双曲线的定义即可判断；B,求出两个曲线的焦点，以及圆的方程，即可判断；C.确定圆与双曲线的交点的个数，以及分别过点，且垂直于轴的直线与双曲线的交点个数，即可判断；D.利用斜率公式以及双曲线方程，即可判断选项.【详解】A.根据双曲线的定义可知，，不妨设，与 联立，解出，，所以不存在点，使得，故A错误；B. 双曲线，，，以为直径的圆，双曲线的焦点，很显然，在圆上，故B正确；C.以为直径的圆与双曲线有4个交点，过点且垂直于的直线与双曲线有2个交点，过点且垂直于的直线与双曲线也有2个交点，所以双曲线上有且仅有8个点，使得是直角三角形，故C错误；D.设，其中，，，，，所以，故D正确.故选：BD. 三、填空题13．已知双曲线的焦距为6，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为______.【答案】或【分析】根据双曲线的性质和点到直线距离公式即可求解.【详解】若双曲线的焦点在轴上，设方程为，双曲线的焦距为6，所以，焦点到渐近线的距离为2，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.若双曲线的焦点在轴上，设方程为，双曲线的焦距为6，所以，焦点到渐近线的距离为2，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.14．已知等差数列的前项和为，若，，则______.【答案】【分析】待定系数法求出后，可计算出答案.【详解】设等差数列，则，，解得，，故答案为：.15．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解.【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点，直线与椭圆恒有公共点，即点在椭圆内或椭圆上，，即，又，否则是圆而非椭圆，或，即实数的取值范围是.故答案为：16．直线交椭圆于A，B两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，则直线经过的定点坐标是______.【答案】【分析】利用点差法得到，求出直线AB的斜率，根据垂直关系求出直线的斜率，并用点斜式求得方程，进而分析出定点坐标.【详解】解：设，则，两式相减得整理得，即，已知，则，所以，因为直线是线段的垂直平分线，所以，直线的方程为：，整理得，所以直线过定点，故答案为： 四、解答题17．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.(2) 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为即，解得，所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，圆心到直线l的距离故所求弦长为：.18．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)是否存在常数，使得数列为等差数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，理由见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，且，根据，解得可得答案；（2）由（1）求出，假设存在常数使得数列为等差数列，则由数列的前3项成等差数列求出，再验证数列为等差数列即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，且，由，得，解得，所以；（2）由（1），假设存在常数，使得数列为等差数列，则，，成等差数列，所以，解得，可得，当时，为常数，所以数列为等差数列，故存在常数，使得数列为等差数列.19．已知双曲线：与点．（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．【答案】（1）存在；（2）证明见解析.【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】解：（1）双曲线的标准方程为，，．设存在过点的弦，使得的中点为，设，，，两式相减得，即得：，．存在这样的弦．这时直线的方程为．（2）设直线方程为，则点在直线上．则，直线的方程为，设，，的中点为，，两式相减得，则，则又因为在直线上有，解得，，解得，，，整理得，则则由距离公式得所以、、、四点共圆．20．为数列的前项和．已知(1)求的通项公式：(2)设，求数列的前项和【答案】(1)=(2) 【分析】（1）先用数列第项与前项和的关系求出数列的递推公式，再由等差数列的定义写出数列的通项公式；（2）根据（1）数列的通项公式，再由裂项相消求和法求其前项和．【详解】（1）当时，，因为，所以=3，当时，==即，因为，所以，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（2）由（1）知，=，所以数列{}前项和为．21．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.(1)求证：.(2)求与平面所成角的正弦值.(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【详解】（1）取中点，连接，如图，又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，,，又，平面，平面，又平面，（2）由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，设为平面的一个法向量，则，令，即，设与平面所成角为，，即与平面所成角的正弦值为.（3）若存在N使得平面平面，且，，则，解得 ，又，则，，设是平面CNM的一个法向量，则，令b=l，则，，解得，故存在N使得平面平面，此时.22．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，λ的值为4. 【分析】(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.【详解】（1）设，而点，，则，，又，于是得，化简整理得：，所以点D的轨迹C的方程是：.（2）存在常数，使，如图，  依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，由消去y得：，则，，，则，直线OP：，取，得点M横坐标，同理得点N的横坐标，则，因此有，于是得，所以存在常数，使.