浙江省宁波市镇海区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省宁波市镇海区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点P（2021，2022）的位置所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．三角形的两边分别为3，5，那么它的第三边可以是（ ）
A．1B．2C．3D．8
4．已知不等式x+1≥0，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．一元二次方程x2﹣2x＝3的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1B．﹣2C．3D．﹣3
6．若点P（，n）在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则n的值为（ ）
A．2B．4C．6D．不能确定
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DC
8．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤3B．a＜3C．a≥3D．a＞3
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3和y＝x的图象分别为直线l1，l2，l1与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与l2交于B1，过B1作y轴的平行线与l1交于A1，过A1作x轴的平行线与l2交于B2，…，依次进行下去，则A2022B2022的长为（ ）
A．B．C．（）2021D．（）2023
10．如图，正方形ABCD的面积为a，E，F，G，H分别是它的四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH面积为b，它的对角线所在直线与正方形边所在直线分别相交，组成的阴影部分面积记为c．若b+c＝2a，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）二次根式中，x的取值范围是 ．
12．（5分）根据数量关系：x的5倍加上1是正数，可列出不等式： ．
13．（5分）将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，点Q恰好在直线y＝2x﹣3上，则a的值为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，I为三角形三条角平分线的交点，则AI的长为 ．
15．（5分）甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶的路程分别为S甲，S乙，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地．当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后 小时后与甲相遇．
16．（5分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝2，点E在BC延长线上，CE＜CB，过点E作BC的垂线交BA延长线于点D．若EF+ED＝2AC，连结BF，CF，则BF+CF的最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，17题8分，18至21每题9分，22至24每题.12分，共80分）
17．（8分）解下列不等式（组）．
（1）2（x﹣1）﹣2≤3（x﹣1）．
（2）．
18．（9分）计算：
（1）×÷；
（2）（﹣）×；
（3）﹣+．
19．（9分）解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2（x﹣7）2＝14；
（3）x2﹣3x﹣2＝0．
20．（9分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（2，0），C（﹣1，2）．
（1）在如图中画出△ABC；
（2）将△ABC向下平移4个单位得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），在图中画出△DEF，并求EF的长．
21．（9分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，AD＝BC，BE＝BD，AD与BE交于点F，BF＝DF．
（1）求证：△ABD≌△CEB．
（2）若∠CED+∠BAC＝∠ABE，求∠ADE的度数．
22．（12分）要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥：A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥．设甲运往A地的水泥为x（x≥0）吨，两仓库到A，B两工地的运量和每吨的运费如表：
（1）根据题意，完成表格；
（2）求出总运费y关于x的函数表达式；
（3）利用一次函数的增减性，求出y的最小值．
23．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为AB中点，点C，D分别在OA，OB上，连结PC，PD，点A，E关于PC对称，点B，F关于PD对称，且CE∥DF．
（1）直接写出点A，B，P的坐标．
（2）如图1，若点O，E重合，求DF．
（3）如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．
24．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝2∠CBD，求证：AB＝AC．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC，∠AEB＝2∠BAD，CE＝1，BD＝2，求△ABC的周长．
2021-2022学年浙江省宁波市镇海区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点P（2021，2022）的位置所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由各个象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：因为点（2021，2022）横坐标和纵坐标都是正数，
所以点（2021，2022）所在的象限是第一象限．
故选：A．
3．三角形的两边分别为3，5，那么它的第三边可以是（ ）
A．1B．2C．3D．8
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系：5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8．
第三边可能是3，
故选：C．
4．已知不等式x+1≥0，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：x+1≥0，
x≥﹣1，
在数轴上表示为：，
故选：B．
5．一元二次方程x2﹣2x＝3的二次项系数为1，则它的常数项为（ ）
A．1B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣2x﹣3＝0，其中二次项系数为1，常数项为﹣3．
故选：D．
6．若点P（，n）在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则n的值为（ ）
A．2B．4C．6D．不能确定
【分析】先求出m的值，代入一次函数即可得出n的值．
【解答】解：∵﹣m2≥0，
∴m＝0，
∴P（0，n），
∴n＝4．
故选：B．
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
8．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤3B．a＜3C．a≥3D．a＞3
【分析】根据不等式组无解得出a﹣1≥2，求出即可．
【解答】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥2，
∴a＞3，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3和y＝x的图象分别为直线l1，l2，l1与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与l2交于B1，过B1作y轴的平行线与l1交于A1，过A1作x轴的平行线与l2交于B2，…，依次进行下去，则A2022B2022的长为（ ）
A．B．C．（）2021D．（）2023
【分析】设直线l1与x轴交于点M，利用直线的解析式求得点A，M的坐标，进而得到线段OA，OM的长度，利用直角三角形的边角关系定理求得∠AMO＝30°，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值求得线段A1B1，A2B2，A3B3，…，利用计算结果的规律得到AnBn＝3×，利用规律化简运算即可得出结论．
【解答】解：设直线l1与x轴交于点M，如图，
令x＝0，则y＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴M（﹣3，0）．
∴OM＝3．
∵tan∠AMO＝，
∴∠AMO＝30°，
∵AB1∥x轴，
∴∠A1AB1＝∠AMO＝30°．
∵l2的解析式为y＝x，
∴l2为第一象限的平分线，
∴∠AOB1＝45°，
∴AB1＝OA＝3．
∴A1B1＝AB1•tan∠A1AB1＝3×＝，
同理：A1B2＝A1B1＝，∠A2A1B2＝∠A1AB1＝30°，
∴A2B2＝＝1＝3×，
同理：A3B3＝×1＝＝3×，
……，
AnBn＝3×，
∴A2022B2022＝3×＝3×＝3×＝，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的面积为a，E，F，G，H分别是它的四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH面积为b，它的对角线所在直线与正方形边所在直线分别相交，组成的阴影部分面积记为c．若b+c＝2a，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设AH＝x，AE＝y，根据正方形的性质及面积法可得答案．
【解答】解：设AH＝x，AE＝y，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAH＝90°，
∴EH＝＝，
∵b+c＝2a，
∴S△AMH+S△BNE+S△CPE+S△DQG＝S△AEH+S△HDG+S△EBF+S△CFG，
∴S△AMH＝S△AHE，
∴AM＝AE，
∴AH垂直平分EM，
∴HM＝HE，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EOH＝90°，OE＝OH，
∴EO＝OH＝EH＝HM，
∴S＝OE，
∴c＝b，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）二次根式中，x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣2≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
12．（5分）根据数量关系：x的5倍加上1是正数，可列出不等式： 5x+1＞0 ．
【分析】表示出x的5倍为5x，然后求和，最后利用不等符号与零连接即可．
【解答】解：依题意得：5x+1＞0．
故答案是：5x+1＞0．
13．（5分）将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，点Q恰好在直线y＝2x﹣3上，则a的值为 2 ．
【分析】根据点的平移求得Q的坐标，代入y＝2x﹣3即可求得a的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，
∴点Q（﹣2+3，﹣3+a），
又∵点Q（﹣2+3，﹣3+a）在直线y＝2x﹣3上，
∴﹣3+a＝2（﹣2+3）﹣3，
∴a＝2．
故答案为：2．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，I为三角形三条角平分线的交点，则AI的长为 5 ．
【分析】延长AI交BC于D，作IE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得BD＝6，再利用勾股定理求出AD＝8，根据内心的性质知ID＝IE，BD＝BE＝6，设AI＝x，则ID＝IE＝8﹣x，在Rt△AEI中，由勾股定理得，（8﹣x）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：延长AI交BC于D，作IE⊥AB于E，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
由勾股定理得，AD＝8，
∵I为三角形三条角平分线的交点，
∴ID＝IE，BD＝BE＝6，
∴AE＝4，
设AI＝x，则ID＝IE＝8﹣x，
在Rt△AEI中，由勾股定理得，（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AI＝5，
故答案为：5．
15．（5分）甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶的路程分别为S甲，S乙，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地．当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后 小时后与甲相遇．
【分析】利用函数图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：由函数图象得：乙的速度为80÷4＝20（km/h），
乙出发1小时后，甲出发并经过0.5小时追上乙，
设甲的速度为xkm/h，
∴20×1.5＝（1.5﹣1）x，
∴x＝60，
∴甲的速度为60km/h．
设丙与乙相遇时乙出发了t小时，
∵当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，
∴60（t﹣1）﹣20t＝20或20t﹣60（t﹣1）＝20
∴t＝2或1，
∴丙的速度为（80﹣2×20）÷2＝20（km/h）或（80﹣1×20）÷1＝60（km/h），
设丙出发后y小时后与甲相遇，
∴20y+60（y﹣1）＝80，或60y+60（y﹣1）＝80，
解得：y＝或，
故答案为：或．
16．（5分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝2，点E在BC延长线上，CE＜CB，过点E作BC的垂线交BA延长线于点D．若EF+ED＝2AC，连结BF，CF，则BF+CF的最小值为 ．
【分析】根据题意可得△DBE为等腰直角三角形，设EF＝x，所以ED＝2﹣x，CE＝﹣x，然后利用勾股定理可得CF＝，BF＝，设y＝x，所以CF＝，BF＝，根据两点间的距离可以建立平面直角坐标系，设P（y，0），G（1，1），Q（2，2，），作点G关于x轴的对称点G′，连接G′Q，可得PG+PQ≥G′Q，所以BF+CF的最小值为G′Q的值，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝2，
∴AC＝BC＝AB＝，
∵过点E作BC的垂线交BA延长线于点D，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴DE＝BE，
设EF＝x，
∵EF+ED＝2AC，
∴ED＝2﹣x，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣BC＝2﹣x﹣＝﹣x，
∴CF＝＝＝，
在Rt△BEF中，BE＝ED＝2﹣x，
∴BF＝＝＝，
设y＝x，
∴CF＝＝＝＝，
BF＝＝＝＝，
如图建立如下平面直角坐标系，设P（y，0），G（1，1），Q（2，2，），
∴CF＝＝PG，
BF＝＝PQ，
作点G关于x轴的对称点G′，连接G′Q，
∴PG+PQ≥G′Q，
∴BF+CF的最小值为G′Q的值，
∵G′H＝2﹣1＝1，QH＝2+1＝3，
∴G′Q＝＝＝．
∴BF+CF的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，17题8分，18至21每题9分，22至24每题.12分，共80分）
17．（8分）解下列不等式（组）．
（1）2（x﹣1）﹣2≤3（x﹣1）．
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可；
（2）求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【解答】解：（1）去括号得：2x﹣2﹣2≤3x﹣3，
移项得：2x﹣3x≤﹣3+2+2，
合并同类项得：﹣x≤1，
两边同时乘以﹣1得：x≥﹣1；
（2）解不等式①得：x＞2.5；
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为2.5＜x≤4．
18．（9分）计算：
（1）×÷；
（2）（﹣）×；
（3）﹣+．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法计算，然后化成最简式子即可；
（2）先化简括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可；
（3）先化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）×÷
＝
＝
＝4；
（2）（﹣）×
＝（3﹣）×2
＝6﹣6；
（3）﹣+
＝﹣+
＝﹣++
＝﹣．
19．（9分）解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2（x﹣7）2＝14；
（3）x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】（1两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）直接开平方法解方程
（3）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∴x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，
∴x1＝2，x2＝0；
（2）2（x﹣7）2＝14；
（x﹣7）2＝7；
x﹣7＝±，
x＝+7，
x1＝+7，x2＝7﹣；
（3）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
20．（9分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（2，0），C（﹣1，2）．
（1）在如图中画出△ABC；
（2）将△ABC向下平移4个单位得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），在图中画出△DEF，并求EF的长．
【分析】（1）直接利用A，B，C点的坐标进而在坐标系中描出连接即可；
（2）利用平移的性质得出对应点位置，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：△DEF即为所求，
EF＝＝．
21．（9分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，AD＝BC，BE＝BD，AD与BE交于点F，BF＝DF．
（1）求证：△ABD≌△CEB．
（2）若∠CED+∠BAC＝∠ABE，求∠ADE的度数．
【分析】（1）根据题中条件推出∠EBC＝∠ADB，结合题中条件利用边角边即可证出△ABD≌△CEB；
（2）根据（1）中的全等推出：∠ABD＝∠CEB，然后可以推出∠EBD＝∠BAC，再利用∠ABD＝∠CED+∠EBD+∠EBD＝∠CED+2∠EBD和∠ABD＝∠CEB＝∠CED+∠BED推出∠BED＝2∠EBD，已知△BED是等腰三角形，利用三角形内角和可以算出∠EBD＝36°，即可算出∠BDE＝2∠EBD＝72°，然后利用BF＝DF推出∠BDF＝∠EBD＝36°，再利用∠ADE＝∠BDE﹣∠BDF，即可求出∠ADE的度数．
【解答】（1）证明：∵BF＝DF，
∴∠EBC＝∠ADB，
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CEB，
∴∠ABD＝∠CEB，
∵∠ABD＝∠ABE+∠EBD，∠CEB＝∠ABE+∠BAC，
∴∠EBD＝∠BAC，
∵∠CED+∠BAC＝∠ABE，
∴∠CED+∠EBD＝∠ABE，
∴∠ABD＝∠CED+∠EBD+∠EBD＝∠CED+2∠EBD，
∵∠ABD＝∠CEB＝∠CED+∠BED，
∴∠CED+∠BED＝∠CED+2∠EBD，即∠BED＝2∠EBD，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED＝2∠EBD，
∵∠EBD+∠BDE+∠BED＝180°，
∴5∠EBD＝180°，即∠EBD＝36°，
∴∠BDE＝∠BED＝2∠EBD＝72°
∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠EBD＝36°，
∴∠ADE＝∠BDE﹣∠BDF＝36°．
22．（12分）要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥：A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥．设甲运往A地的水泥为x（x≥0）吨，两仓库到A，B两工地的运量和每吨的运费如表：
（1）根据题意，完成表格；
（2）求出总运费y关于x的函数表达式；
（3）利用一次函数的增减性，求出y的最小值．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格空白处补充完整；
（2）根据（1）中表格中的数据，可以得到总运费y关于x的函数表达式；
（3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求得y的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，
A，B两工地的运量和每吨的运费如表：
故答案为：70﹣x；100﹣x，x+10；
（2）由表格可得，
y＝24x+25（100﹣x）+18（70﹣x）+16（x+10）＝﹣3x+3920，
即总运费y关于x的函数表达式是y＝﹣3x+3920；
（3）∵y＝﹣3x+3920，
∴y随x的增大而减小，
∵，
解得0≤x≤70，
∴当x＝70时，y取得最小值，此时y＝3710，
答：y的最小值是3710．
23．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为AB中点，点C，D分别在OA，OB上，连结PC，PD，点A，E关于PC对称，点B，F关于PD对称，且CE∥DF．
（1）直接写出点A，B，P的坐标．
（2）如图1，若点O，E重合，求DF．
（3）如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．
【分析】（1）分别让x＝0和y＝0代入解析式即可求出点A、点B的坐标，再根据中点坐标公式求出点P的坐标；
（2）根据题意可推出CE⊥x轴，即可推出DF⊥x轴，根据点B，F关于PD对称可得PF＝PB，DF＝DB，设出OD＝m，则可得出点F的坐标，根据两点的距离公式求出PB2，然后利用PF2＝PB2，即可解出m的值，DF的长即可求出；
（3）设F（5，n），由PB＝PF求得F点的坐标，再求PF的解析式为y＝﹣x+4+2，过P作PQ∥CE，则PQ∥CD∥DF，证得PE⊥PF，可设直线PE的解析式为y＝x+m，把P（4，2）代入得直线PE的解析式为，y＝x+2﹣，设E（t，t+2﹣），由PE＝PA＝2，求得t便可得E点坐标．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
∵当y＝0时，即，则x＝8，
∴B（8，0），
∵点P为AB中点
∴P（4，2），
综上所述：A（0，4），B（8，0），P（4，2）；
（2）∵点C在OA，点A，E关于PC对称，此时点O，E重合，
∴CE⊥x轴，
∵CE∥DF，
∴DF⊥x轴，
∵B（8，0），P（4，2），
∴PB2＝（8﹣4）2+（0﹣2）2＝20，
∵点B，F关于PD对称，
∴PF＝PB，DF＝DB
设OD＝m，则DF＝DB＝8﹣m，
∴F（m，m﹣8），
∴PF2＝（m﹣4）2+（m﹣10）2＝2m2﹣28m+116，
∵PF2＝PB2，
∴2m2﹣28m+116＝20，解得：m1＝6，m2＝8（舍），
∴DF＝8﹣6＝2；
（3）设F（5，n），
由折叠知PF＝PB＝＝2，
∵P（4，2），
∴，
解得n＝2+（舍）或n＝2﹣，
∴F（5，2﹣），
设PF的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线PF的解析式为：y＝﹣x+4+2，
过P作PQ∥CE，则PQ∥CD∥DF，
∴∠EPQ＝∠E＝∠PAC，∠FPQ＝∠F＝∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠PAC+∠PBD＝90°，
即PE⊥PF，
∴可设直线PE的解析式为y＝x+m，
把P（4，2）代入得2＝+m，
解得m＝2﹣，
∴直线PE的解析式为，y＝x+2﹣，
设E（t，t+2﹣），
∵PE＝PA＝2，
∴
解得t＝4+（舍）或t＝4﹣，
∴E（4﹣，）．
24．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝2∠CBD，求证：AB＝AC．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC，∠AEB＝2∠BAD，CE＝1，BD＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）作∠BAC的平分线AE交BC于点E，证明△ABE≌△ACE，即可解决问题；
（2）先证明∠B＝∠BAE，可得EB＝EA，设DE＝x，则CD＝CE+DE＝1+x，EB＝EA＝BD+DE＝2+x，AD＝CD＝1+x，然后利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可得△ABC的周长．
【解答】（1）证明：如图，作∠BAC的平分线AE交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2∠CAE，
∵∠BAC＝2∠CBD，
∴∠CAE＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∴∠AEC＝90°，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（ASA），
∴AB＝AC；
（2）解：在△ABC中，∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD，
∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB，
∵∠AEB＝2∠BAD，
∴∠BAE＝180°﹣（90°﹣∠BAD）﹣2∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∴∠B＝∠BAE，
∴EB＝EA，
∵CE＝1，BD＝2，
设DE＝x，则CD＝CE+DE＝1+x，
EB＝EA＝BD+DE＝2+x，
在△ABC中，∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠C＝45°，
∴AD＝CD＝1+x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：
AE2＝AD2+DE2，
∴（2+x）2＝（1+x）2+x2，
∴x＝3或x＝﹣1（舍去），
∴AD＝CD＝1+x＝4，
∴BC＝BD+CD＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，
∴AB＝＝＝2，
AC＝＝＝4，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2+4+6．
运量
运费（元/吨）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
x

24
18
B地


25
16
运量
运费（元/吨）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
x
70﹣x
24
18
B地
100﹣x
x+10
25
16
运量
运费（元/吨）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
x
70﹣x
24
18
B地
100﹣x
x+10
25
16