浙江省宁波市镇海区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷
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这是一份浙江省宁波市镇海区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
2.在平面直角坐标系中,点P(2021,2022)的位置所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.三角形的两边分别为3,5,那么它的第三边可以是( )
A.1B.2C.3D.8
4.已知不等式x+1≥0,其解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
5.一元二次方程x2﹣2x=3的二次项系数为1,则它的常数项为( )
A.1B.﹣2C.3D.﹣3
6.若点P(,n)在一次函数y=﹣x+4的图象上,则n的值为( )
A.2B.4C.6D.不能确定
7.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC
8.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围为( )
A.a≤3B.a<3C.a≥3D.a>3
9.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3和y=x的图象分别为直线l1,l2,l1与y轴交于点A,过A点作x轴的平行线与l2交于B1,过B1作y轴的平行线与l1交于A1,过A1作x轴的平行线与l2交于B2,…,依次进行下去,则A2022B2022的长为( )
A.B.C.()2021D.()2023
10.如图,正方形ABCD的面积为a,E,F,G,H分别是它的四条边上的点,且AE=BF=CG=DH,四边形EFGH面积为b,它的对角线所在直线与正方形边所在直线分别相交,组成的阴影部分面积记为c.若b+c=2a,则的值为( )
A.B.C.D.
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.(5分)二次根式中,x的取值范围是 .
12.(5分)根据数量关系:x的5倍加上1是正数,可列出不等式: .
13.(5分)将点P(﹣2,﹣3)向右平移3个长度单位,再向上平移a个长度单位得到点Q,点Q恰好在直线y=2x﹣3上,则a的值为 .
14.(5分)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,I为三角形三条角平分线的交点,则AI的长为 .
15.(5分)甲开汽车,乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地,设乙行驶的时间为t(h),甲、乙行驶的路程分别为S甲,S乙,路程与时间的函数关系如图所示,丙与乙同时出发,从N地沿同一条公路匀速前往M地.当丙与乙相遇时,甲、乙两人相距20km,问丙出发后 小时后与甲相遇.
16.(5分)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB=2,点E在BC延长线上,CE<CB,过点E作BC的垂线交BA延长线于点D.若EF+ED=2AC,连结BF,CF,则BF+CF的最小值为 .
三、解答题(本大题有8小题,17题8分,18至21每题9分,22至24每题.12分,共80分)
17.(8分)解下列不等式(组).
(1)2(x﹣1)﹣2≤3(x﹣1).
(2).
18.(9分)计算:
(1)×÷;
(2)(﹣)×;
(3)﹣+.
19.(9分)解方程:
(1)x2﹣2x=0;
(2)2(x﹣7)2=14;
(3)x2﹣3x﹣2=0.
20.(9分)平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(2,0),C(﹣1,2).
(1)在如图中画出△ABC;
(2)将△ABC向下平移4个单位得到△DEF(点A,B,C分别对应点D,E,F),在图中画出△DEF,并求EF的长.
21.(9分)如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的点,AD=BC,BE=BD,AD与BE交于点F,BF=DF.
(1)求证:△ABD≌△CEB.
(2)若∠CED+∠BAC=∠ABE,求∠ADE的度数.
22.(12分)要从甲、乙两仓库向A,B两工地运送水泥.已知甲仓库可运出100吨水泥,乙仓库可运出80吨水泥:A工地需70吨水泥,B工地需110吨水泥.设甲运往A地的水泥为x(x≥0)吨,两仓库到A,B两工地的运量和每吨的运费如表:
(1)根据题意,完成表格;
(2)求出总运费y关于x的函数表达式;
(3)利用一次函数的增减性,求出y的最小值.
23.(12分)如图,一次函数y=﹣x+4的图象交y轴于点A,交x轴于点B,点P为AB中点,点C,D分别在OA,OB上,连结PC,PD,点A,E关于PC对称,点B,F关于PD对称,且CE∥DF.
(1)直接写出点A,B,P的坐标.
(2)如图1,若点O,E重合,求DF.
(3)如图2,若点F横坐标为5,求点E的坐标.
24.(12分)【基础巩固】
(1)如图1,在△ABC中,BD⊥AC,∠A=2∠CBD,求证:AB=AC.
【尝试应用】
(2)如图2,在△ABC中,∠C=45°,AD⊥BC,∠AEB=2∠BAD,CE=1,BD=2,求△ABC的周长.
2021-2022学年浙江省宁波市镇海区八年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:A,B,D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
C选项中的汉字能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
故选:C.
2.在平面直角坐标系中,点P(2021,2022)的位置所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】由各个象限内点的坐标特征解答即可.
【解答】解:因为点(2021,2022)横坐标和纵坐标都是正数,
所以点(2021,2022)所在的象限是第一象限.
故选:A.
3.三角形的两边分别为3,5,那么它的第三边可以是( )
A.1B.2C.3D.8
【分析】根据三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即可得答案.
【解答】解:设第三边为a,
根据三角形的三边关系:5﹣3<a<3+5,
解得:2<a<8.
第三边可能是3,
故选:C.
4.已知不等式x+1≥0,其解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
【分析】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
【解答】解:x+1≥0,
x≥﹣1,
在数轴上表示为:,
故选:B.
5.一元二次方程x2﹣2x=3的二次项系数为1,则它的常数项为( )
A.1B.﹣2C.3D.﹣3
【分析】方程整理后为一般形式,找出二次项系数与一次项系数即可.
【解答】解:方程整理得:x2﹣2x﹣3=0,其中二次项系数为1,常数项为﹣3.
故选:D.
6.若点P(,n)在一次函数y=﹣x+4的图象上,则n的值为( )
A.2B.4C.6D.不能确定
【分析】先求出m的值,代入一次函数即可得出n的值.
【解答】解:∵﹣m2≥0,
∴m=0,
∴P(0,n),
∴n=4.
故选:B.
7.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.
【解答】解:A、∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
B、∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
C、∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出△ABC≌△DCB,故本选项正确;
D、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;
故选:C.
8.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围为( )
A.a≤3B.a<3C.a≥3D.a>3
【分析】根据不等式组无解得出a﹣1≥2,求出即可.
【解答】解:∵关于x的不等式组无解,
∴a﹣1≥2,
∴a>3,
故选:C.
9.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3和y=x的图象分别为直线l1,l2,l1与y轴交于点A,过A点作x轴的平行线与l2交于B1,过B1作y轴的平行线与l1交于A1,过A1作x轴的平行线与l2交于B2,…,依次进行下去,则A2022B2022的长为( )
A.B.C.()2021D.()2023
【分析】设直线l1与x轴交于点M,利用直线的解析式求得点A,M的坐标,进而得到线段OA,OM的长度,利用直角三角形的边角关系定理求得∠AMO=30°,利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理,特殊角的三角函数值求得线段A1B1,A2B2,A3B3,…,利用计算结果的规律得到AnBn=3×,利用规律化简运算即可得出结论.
【解答】解:设直线l1与x轴交于点M,如图,
令x=0,则y=3,
∴A(0,3),
∴OA=3,
令y=0,则x=﹣3,
∴M(﹣3,0).
∴OM=3.
∵tan∠AMO=,
∴∠AMO=30°,
∵AB1∥x轴,
∴∠A1AB1=∠AMO=30°.
∵l2的解析式为y=x,
∴l2为第一象限的平分线,
∴∠AOB1=45°,
∴AB1=OA=3.
∴A1B1=AB1•tan∠A1AB1=3×=,
同理:A1B2=A1B1=,∠A2A1B2=∠A1AB1=30°,
∴A2B2==1=3×,
同理:A3B3=×1==3×,
……,
AnBn=3×,
∴A2022B2022=3×=3×=3×=,
故选:B.
10.如图,正方形ABCD的面积为a,E,F,G,H分别是它的四条边上的点,且AE=BF=CG=DH,四边形EFGH面积为b,它的对角线所在直线与正方形边所在直线分别相交,组成的阴影部分面积记为c.若b+c=2a,则的值为( )
A.B.C.D.
【分析】设AH=x,AE=y,根据正方形的性质及面积法可得答案.
【解答】解:设AH=x,AE=y,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAH=90°,
∴EH==,
∵b+c=2a,
∴S△AMH+S△BNE+S△CPE+S△DQG=S△AEH+S△HDG+S△EBF+S△CFG,
∴S△AMH=S△AHE,
∴AM=AE,
∴AH垂直平分EM,
∴HM=HE,
∵四边形EFGH是正方形,
∴∠EOH=90°,OE=OH,
∴EO=OH=EH=HM,
∴S=OE,
∴c=b,
∴,
∴,
故选:C.
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.(5分)二次根式中,x的取值范围是 x≥2 .
【分析】二次根式的被开方数是非负数,即x﹣2≥0.
【解答】解:根据题意,得
x﹣2≥0,
解得,x≥2;
故答案是:x≥2.
12.(5分)根据数量关系:x的5倍加上1是正数,可列出不等式: 5x+1>0 .
【分析】表示出x的5倍为5x,然后求和,最后利用不等符号与零连接即可.
【解答】解:依题意得:5x+1>0.
故答案是:5x+1>0.
13.(5分)将点P(﹣2,﹣3)向右平移3个长度单位,再向上平移a个长度单位得到点Q,点Q恰好在直线y=2x﹣3上,则a的值为 2 .
【分析】根据点的平移求得Q的坐标,代入y=2x﹣3即可求得a的值.
【解答】解:∵点P(﹣2,﹣3)向右平移3个长度单位,再向上平移a个长度单位得到点Q,
∴点Q(﹣2+3,﹣3+a),
又∵点Q(﹣2+3,﹣3+a)在直线y=2x﹣3上,
∴﹣3+a=2(﹣2+3)﹣3,
∴a=2.
故答案为:2.
14.(5分)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,I为三角形三条角平分线的交点,则AI的长为 5 .
【分析】延长AI交BC于D,作IE⊥AB于E,根据等腰三角形的性质得BD=6,再利用勾股定理求出AD=8,根据内心的性质知ID=IE,BD=BE=6,设AI=x,则ID=IE=8﹣x,在Rt△AEI中,由勾股定理得,(8﹣x)2+42=x2,解方程即可.
【解答】解:延长AI交BC于D,作IE⊥AB于E,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=BC=6,
由勾股定理得,AD=8,
∵I为三角形三条角平分线的交点,
∴ID=IE,BD=BE=6,
∴AE=4,
设AI=x,则ID=IE=8﹣x,
在Rt△AEI中,由勾股定理得,(8﹣x)2+42=x2,
解得x=5,
∴AI=5,
故答案为:5.
15.(5分)甲开汽车,乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地,设乙行驶的时间为t(h),甲、乙行驶的路程分别为S甲,S乙,路程与时间的函数关系如图所示,丙与乙同时出发,从N地沿同一条公路匀速前往M地.当丙与乙相遇时,甲、乙两人相距20km,问丙出发后 小时后与甲相遇.
【分析】利用函数图象的信息求得三人的速度,再利用题意列出方程,解方程即可得出结论.
【解答】解:由函数图象得:乙的速度为80÷4=20(km/h),
乙出发1小时后,甲出发并经过0.5小时追上乙,
设甲的速度为xkm/h,
∴20×1.5=(1.5﹣1)x,
∴x=60,
∴甲的速度为60km/h.
设丙与乙相遇时乙出发了t小时,
∵当丙与乙相遇时,甲、乙两人相距20km,
∴60(t﹣1)﹣20t=20或20t﹣60(t﹣1)=20
∴t=2或1,
∴丙的速度为(80﹣2×20)÷2=20(km/h)或(80﹣1×20)÷1=60(km/h),
设丙出发后y小时后与甲相遇,
∴20y+60(y﹣1)=80,或60y+60(y﹣1)=80,
解得:y=或,
故答案为:或.
16.(5分)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB=2,点E在BC延长线上,CE<CB,过点E作BC的垂线交BA延长线于点D.若EF+ED=2AC,连结BF,CF,则BF+CF的最小值为 .
【分析】根据题意可得△DBE为等腰直角三角形,设EF=x,所以ED=2﹣x,CE=﹣x,然后利用勾股定理可得CF=,BF=,设y=x,所以CF=,BF=,根据两点间的距离可以建立平面直角坐标系,设P(y,0),G(1,1),Q(2,2,),作点G关于x轴的对称点G′,连接G′Q,可得PG+PQ≥G′Q,所以BF+CF的最小值为G′Q的值,然后利用勾股定理即可解决问题.
【解答】解:∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB=2,
∴AC=BC=AB=,
∵过点E作BC的垂线交BA延长线于点D,
∴△DBE为等腰直角三角形,
∴DE=BE,
设EF=x,
∵EF+ED=2AC,
∴ED=2﹣x,
∴CE=BE﹣BC=DE﹣BC=2﹣x﹣=﹣x,
∴CF===,
在Rt△BEF中,BE=ED=2﹣x,
∴BF===,
设y=x,
∴CF====,
BF====,
如图建立如下平面直角坐标系,设P(y,0),G(1,1),Q(2,2,),
∴CF==PG,
BF==PQ,
作点G关于x轴的对称点G′,连接G′Q,
∴PG+PQ≥G′Q,
∴BF+CF的最小值为G′Q的值,
∵G′H=2﹣1=1,QH=2+1=3,
∴G′Q===.
∴BF+CF的最小值为.
故答案为:.
三、解答题(本大题有8小题,17题8分,18至21每题9分,22至24每题.12分,共80分)
17.(8分)解下列不等式(组).
(1)2(x﹣1)﹣2≤3(x﹣1).
(2).
【分析】(1)根据解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可;
(2)求出每个不等式的解集,再求出公共解集即可.
【解答】解:(1)去括号得:2x﹣2﹣2≤3x﹣3,
移项得:2x﹣3x≤﹣3+2+2,
合并同类项得:﹣x≤1,
两边同时乘以﹣1得:x≥﹣1;
(2)解不等式①得:x>2.5;
解不等式②得:x≤4,
∴不等式组的解集为2.5<x≤4.
18.(9分)计算:
(1)×÷;
(2)(﹣)×;
(3)﹣+.
【分析】(1)根据二次根式的乘除法计算,然后化成最简式子即可;
(2)先化简括号内的式子,然后计算括号外的乘法即可;
(3)先化简,然后合并同类二次根式即可.
【解答】解:(1)×÷
=
=
=4;
(2)(﹣)×
=(3﹣)×2
=6﹣6;
(3)﹣+
=﹣+
=﹣++
=﹣.
19.(9分)解方程:
(1)x2﹣2x=0;
(2)2(x﹣7)2=14;
(3)x2﹣3x﹣2=0.
【分析】(1两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,再开方即可得;
(2)直接开平方法解方程
(3)利用公式法求解即可.
【解答】解:(1)∵x2﹣2x=0,
∴x2﹣2x+1=1,即(x﹣1)2=1,
∴x﹣1=±1,
∴x1=2,x2=0;
(2)2(x﹣7)2=14;
(x﹣7)2=7;
x﹣7=±,
x=+7,
x1=+7,x2=7﹣;
(3)∵a=1,b=﹣3,c=﹣2,
∴Δ=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=17>0,
则x==,
即x1=,x2=.
20.(9分)平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(2,0),C(﹣1,2).
(1)在如图中画出△ABC;
(2)将△ABC向下平移4个单位得到△DEF(点A,B,C分别对应点D,E,F),在图中画出△DEF,并求EF的长.
【分析】(1)直接利用A,B,C点的坐标进而在坐标系中描出连接即可;
(2)利用平移的性质得出对应点位置,再利用勾股定理得出答案.
【解答】解:(1)如图所示:△ABC即为所求;
(2)如图所示:△DEF即为所求,
EF==.
21.(9分)如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的点,AD=BC,BE=BD,AD与BE交于点F,BF=DF.
(1)求证:△ABD≌△CEB.
(2)若∠CED+∠BAC=∠ABE,求∠ADE的度数.
【分析】(1)根据题中条件推出∠EBC=∠ADB,结合题中条件利用边角边即可证出△ABD≌△CEB;
(2)根据(1)中的全等推出:∠ABD=∠CEB,然后可以推出∠EBD=∠BAC,再利用∠ABD=∠CED+∠EBD+∠EBD=∠CED+2∠EBD和∠ABD=∠CEB=∠CED+∠BED推出∠BED=2∠EBD,已知△BED是等腰三角形,利用三角形内角和可以算出∠EBD=36°,即可算出∠BDE=2∠EBD=72°,然后利用BF=DF推出∠BDF=∠EBD=36°,再利用∠ADE=∠BDE﹣∠BDF,即可求出∠ADE的度数.
【解答】(1)证明:∵BF=DF,
∴∠EBC=∠ADB,
在△ABD和△CEB中,
,
∴△ABD≌△CEB(SAS);
(2)解:∵△ABD≌△CEB,
∴∠ABD=∠CEB,
∵∠ABD=∠ABE+∠EBD,∠CEB=∠ABE+∠BAC,
∴∠EBD=∠BAC,
∵∠CED+∠BAC=∠ABE,
∴∠CED+∠EBD=∠ABE,
∴∠ABD=∠CED+∠EBD+∠EBD=∠CED+2∠EBD,
∵∠ABD=∠CEB=∠CED+∠BED,
∴∠CED+∠BED=∠CED+2∠EBD,即∠BED=2∠EBD,
∵BE=BD,
∴∠BDE=∠BED=2∠EBD,
∵∠EBD+∠BDE+∠BED=180°,
∴5∠EBD=180°,即∠EBD=36°,
∴∠BDE=∠BED=2∠EBD=72°
∵BF=DF,
∴∠BDF=∠EBD=36°,
∴∠ADE=∠BDE﹣∠BDF=36°.
22.(12分)要从甲、乙两仓库向A,B两工地运送水泥.已知甲仓库可运出100吨水泥,乙仓库可运出80吨水泥:A工地需70吨水泥,B工地需110吨水泥.设甲运往A地的水泥为x(x≥0)吨,两仓库到A,B两工地的运量和每吨的运费如表:
(1)根据题意,完成表格;
(2)求出总运费y关于x的函数表达式;
(3)利用一次函数的增减性,求出y的最小值.
【分析】(1)根据题意和表格中的数据,可以将表格空白处补充完整;
(2)根据(1)中表格中的数据,可以得到总运费y关于x的函数表达式;
(3)先求出x的取值范围,再根据一次函数的性质即可求得y的最小值.
【解答】解:(1)由题意可得,
A,B两工地的运量和每吨的运费如表:
故答案为:70﹣x;100﹣x,x+10;
(2)由表格可得,
y=24x+25(100﹣x)+18(70﹣x)+16(x+10)=﹣3x+3920,
即总运费y关于x的函数表达式是y=﹣3x+3920;
(3)∵y=﹣3x+3920,
∴y随x的增大而减小,
∵,
解得0≤x≤70,
∴当x=70时,y取得最小值,此时y=3710,
答:y的最小值是3710.
23.(12分)如图,一次函数y=﹣x+4的图象交y轴于点A,交x轴于点B,点P为AB中点,点C,D分别在OA,OB上,连结PC,PD,点A,E关于PC对称,点B,F关于PD对称,且CE∥DF.
(1)直接写出点A,B,P的坐标.
(2)如图1,若点O,E重合,求DF.
(3)如图2,若点F横坐标为5,求点E的坐标.
【分析】(1)分别让x=0和y=0代入解析式即可求出点A、点B的坐标,再根据中点坐标公式求出点P的坐标;
(2)根据题意可推出CE⊥x轴,即可推出DF⊥x轴,根据点B,F关于PD对称可得PF=PB,DF=DB,设出OD=m,则可得出点F的坐标,根据两点的距离公式求出PB2,然后利用PF2=PB2,即可解出m的值,DF的长即可求出;
(3)设F(5,n),由PB=PF求得F点的坐标,再求PF的解析式为y=﹣x+4+2,过P作PQ∥CE,则PQ∥CD∥DF,证得PE⊥PF,可设直线PE的解析式为y=x+m,把P(4,2)代入得直线PE的解析式为,y=x+2﹣,设E(t,t+2﹣),由PE=PA=2,求得t便可得E点坐标.
【解答】解:(1)∵当x=0时,y=4,
∴A(0,4),
∵当y=0时,即,则x=8,
∴B(8,0),
∵点P为AB中点
∴P(4,2),
综上所述:A(0,4),B(8,0),P(4,2);
(2)∵点C在OA,点A,E关于PC对称,此时点O,E重合,
∴CE⊥x轴,
∵CE∥DF,
∴DF⊥x轴,
∵B(8,0),P(4,2),
∴PB2=(8﹣4)2+(0﹣2)2=20,
∵点B,F关于PD对称,
∴PF=PB,DF=DB
设OD=m,则DF=DB=8﹣m,
∴F(m,m﹣8),
∴PF2=(m﹣4)2+(m﹣10)2=2m2﹣28m+116,
∵PF2=PB2,
∴2m2﹣28m+116=20,解得:m1=6,m2=8(舍),
∴DF=8﹣6=2;
(3)设F(5,n),
由折叠知PF=PB==2,
∵P(4,2),
∴,
解得n=2+(舍)或n=2﹣,
∴F(5,2﹣),
设PF的解析式为y=kx+b(k≠0),
则,
解得,
∴直线PF的解析式为:y=﹣x+4+2,
过P作PQ∥CE,则PQ∥CD∥DF,
∴∠EPQ=∠E=∠PAC,∠FPQ=∠F=∠ABD,
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠PAC+∠PBD=90°,
即PE⊥PF,
∴可设直线PE的解析式为y=x+m,
把P(4,2)代入得2=+m,
解得m=2﹣,
∴直线PE的解析式为,y=x+2﹣,
设E(t,t+2﹣),
∵PE=PA=2,
∴
解得t=4+(舍)或t=4﹣,
∴E(4﹣,).
24.(12分)【基础巩固】
(1)如图1,在△ABC中,BD⊥AC,∠A=2∠CBD,求证:AB=AC.
【尝试应用】
(2)如图2,在△ABC中,∠C=45°,AD⊥BC,∠AEB=2∠BAD,CE=1,BD=2,求△ABC的周长.
【分析】(1)作∠BAC的平分线AE交BC于点E,证明△ABE≌△ACE,即可解决问题;
(2)先证明∠B=∠BAE,可得EB=EA,设DE=x,则CD=CE+DE=1+x,EB=EA=BD+DE=2+x,AD=CD=1+x,然后利用勾股定理列出方程求出x的值,进而可得△ABC的周长.
【解答】(1)证明:如图,作∠BAC的平分线AE交BC于点E,
∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE,
∵∠BAC=2∠CBD,
∴∠CAE=∠CBD,
∵BD⊥AC,
∴∠CBD+∠C=90°,
∴∠CAE+∠C=90°,
∴∠AEC=90°,
在△ABE和△ACE中,
,
∴△ABE≌△ACE(ASA),
∴AB=AC;
(2)解:在△ABC中,∠C=45°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠B=90°﹣∠BAD,
∵∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB,
∵∠AEB=2∠BAD,
∴∠BAE=180°﹣(90°﹣∠BAD)﹣2∠BAD=90°﹣∠BAD,
∴∠B=∠BAE,
∴EB=EA,
∵CE=1,BD=2,
设DE=x,则CD=CE+DE=1+x,
EB=EA=BD+DE=2+x,
在△ABC中,∠C=45°,
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=∠C=45°,
∴AD=CD=1+x,
在Rt△ADE中,根据勾股定理得:
AE2=AD2+DE2,
∴(2+x)2=(1+x)2+x2,
∴x=3或x=﹣1(舍去),
∴AD=CD=1+x=4,
∴BC=BD+CD=2+4=6,
∵AD⊥BC,
∴AB===2,
AC===4,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2+4+6.
运量
运费(元/吨)
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
x
24
18
B地
25
16
运量
运费(元/吨)
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
x
70﹣x
24
18
B地
100﹣x
x+10
25
16
运量
运费(元/吨)
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
x
70﹣x
24
18
B地
100﹣x
x+10
25
16
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