初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程导学案
展开【学习目标】
1.体会二次函数与方程之间的联系。理解二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根。
2.理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图像交点的横坐标。
【学习重难点】
理解二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根。
【学习过程】
一、课前预习:
在同一坐标系中画出二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2的图像并回答下列问题:
(1)每个图像与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程? x²+2x=0,x²-2x+1=0有几个根?验证:一元二次方程x²-2x+2=0有根吗?
(3)比较二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像和x轴交点的坐标与一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根有什么关系?
二、学生观察、讨论交流
1.观察二次函数y=x²-2x-3的图像你能确定方程x²-2x-3=0的根吗?
(二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴的交点坐标分别是(-1,0)和(3,0)
由此可知,当x=-1时,y=0即x²-2x-3=0也就是说x=-1是一元二次方程
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x²-2x-3=0的一个根;当x=3时,y=0即x²-2x-3=0也就是说x=3是一元二次方程x²-2x-3=0的另一个根)
2.观察二次函数y=x²-6x-9的图像说出一元二次方程x²-6x-9=0的根情况
3.观察二次函数y=x²-2x+3的图像说出一元二次方程x²-2x+3=0的根情况
x
y
O
-1
1
2
3
4
5
6
7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
O
-1
1
2
3
4
5
6
7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
三、讨论归纳新知:
1.二次函数y=ax²+bx+c的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有如下关系:
①二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0)时
一元二次方程ax²+bx+c=0就有两个不相等的实数根x1和x2
②二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有且只有一个公共点(x1,0)时
一元二次方程ax²+bx+c=0就有两个相等的实数根x1= x2
③二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴没有公共点时
一元二次方程ax²+bx+c=0就有没有实数根;
反之根据ax²+bx+c=0的根的情况,可以知道二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴位置关系
2.你能利用A、B、C之间的某种关系判断二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴何时有两个交点、一个交点,何时没有交点?
四、例题讲解
例1.已知二次函数y=kx²-7x-7的图像与x轴有两个交点,则k的取值范围为 。
例2.抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线表达式。
五、课堂训练
1.抛物线y=a(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为
2.抛物线y=2x²+8x+m与x轴只有一个交点,则m= 。
3.已知抛物线y=ax²+bx+c的系数有a-b+c=0,则这条抛物线经过点 。
4.二次函数y=kx²+3x-4的图像与x轴有两个交点,则k的取值范围 。
5.抛物线y=3x²+5x与两坐标轴交点的个数为( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.无
6.若a>0,b>0,c>0,b2-4ac>0,那么抛物线y=ax²+bx+c经过 象限。
7.抛物线y=x²-2x-8的顶点坐标是 __与x轴的交点坐标是________。
8.抛物线y=3x²+mx+4与x轴只有一个交点,则m= 。
9.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-x²+10x。
(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少?
(2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?
10.已知抛物线y=mx²+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点。
(1)求m的取值范围;
(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;
11.已知二次函数y=x²+mx+m-2.求证:无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点。
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