【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题18　几何体的截面或交线

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1.作空间几何体截面的主要依据是两个公理及两个性质.两个公理为：
(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；
(2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
两个性质为：
(1)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；
(2)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.
2.作空间几何体的截面的主要作法：直接法、平行线法、延长法、辅助平面法等.
3.立体几何中的截面类型
(1)平面截球：圆面(见微专题17).
(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.
(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.
(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线、抛物线.
类型一 截面形状的判断
首先根据条件作出相应的截面图形，再结合线面的位置关系的判定与性质加以分析，得到截面图形所满足的特征性质，确定其形状.
例1 (2022·西安调考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( )
A.矩形 B.三角形
C.正方形 D.等腰梯形
答案 D
解析 如图所示，取棱BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意可得GH∥EF∥AD1，AH∥A1F.
又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，
所以GH∥平面A1EF.
同理可得AH∥平面A1EF.
又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF，
故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，
而GH∥AD1且GH＝eq \f(1,2)AD1，AH＝D1G，则知四边形AHGD1为等腰梯形.
训练1 已知三棱柱ABC－DEF，DA，DE，DF两两互相垂直，且DA＝DE＝DF，M，N分别是BE，AB边的中点，P是线段CA上任意一点.过三点P，M，N的平面与三棱柱ABC－DEF的截面有以下几种可能：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.其中正确的是( )
A.①② B.③④
C.①②③ D.②③④
答案 C
解析 延长MN交DA的延长线于点N′，交DE的延长线于点M′，
连接N′P交DF的延长线于点P′，则过P，M，N三点的平面与过点N′，M′，P′的平面重合，
当点P与点A重合时，截面为四边形；
当0