【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题4　平面向量的基本运算和应用

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1.(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案 C
解析 由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，
又|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，所以a·b＝1，故选C.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))
＝－2eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
3.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案 eq \f(8,5)
解析 法一(定义法) 因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kλ＝2，,4k＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(8,5)，,k＝\f(5,4).))
法二(结论法) 因为a∥b，
所以2×4－5λ＝0，
解得λ＝eq \f(8,5).
4.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
答案 －eq \f(10,3)
解析 c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).因为a⊥c，所以a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq \f(10,3).
5.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
答案 3eq \r(2)
解析 由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，
即a2－2a·b＋b2＝25，
结合|a|＝3，a·b＝1，
得32－2×1＋|b|2＝25，
所以|b|2＝18，|b|＝3eq \r(2).
热点一 平面向量的线性运算
共线定理及推论
1.已知向量a＝(x1，y1)，a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.
2.若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，O为直线外一点，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
例1 (1)(2022·济南质检)等边三角形ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，AD与BE交于F，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))
C.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))D.eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
(2)已知a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，若(a＋kc)∥(2b－a)，则实数k＝________.
答案 (1)C (2)－eq \f(16,13)
解析 (1)如图，
∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴D为BC的中点，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，∴A错误；
∵eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))，∴B错误；
设eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))，λ∈R，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3λ,2)eq \(AE,\s\up6(→))，
∵B，F，E三点共线，
∴eq \f(λ,2)＋eq \f(3λ,2)＝1，解得λ＝eq \f(1,2)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，∴C正确；
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))，∴D错误.
(2)由题意得a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，
2b－a＝(－5，2).
∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－eq \f(16,13).
规律方法 进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则或三角形法则求解.
训练1 (1)(2022·郑州调研)已知△ABC所在平面内的一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，则点P必在( )
A.△ABC的外部 B.△ABC的内部
C.边AB上 D.边AC上
(2)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F.若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋3yeq \(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝( )
A.1 B.eq \f(5,9)
C.－eq \f(1,3) D.－eq \f(5,9)
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，
即A，B，P三点共线，所以点P在边AB上.故选C.
(2)法一 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(1，2)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋3yeq \(AD,\s\up6(→))＝(2x，6y).
根据题意，得eq \f(FE,AF)＝eq \f(DE,AB)＝eq \f(1,2)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,3))).
所以2x＝eq \f(2,3)，6y＝eq \f(4,3)，
则x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,9)，x＋y＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,9)＝eq \f(5,9)，故选B.
法二 根据题意，得eq \f(DF,BF)＝eq \f(DE,AB)＝eq \f(1,2)，
所以DF＝eq \f(1,2)FB，
所以DF＝eq \f(1,3)DB，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
又因为eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋3yeq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,3y＝\f(2,3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,9).))
所以x＋y＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,9)＝eq \f(5,9).故选B.
热点二 平面向量的数量积
1.若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2).
2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
3.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
例2 (1)(2022·西安调研)已知△ABC的外心为O，2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AO,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值是( )
A.eq \r(3) B.eq \f(3,2)
C.2eq \r(3) D.6
(2)设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则向量eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),6)
C.eq \f(\r(19),12) D.eq \f(4\r(19),19)
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))，
即eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，
则O为BC的中点.
∵O为△ABC的外心，
∴|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，
∴△ABC为直角三角形，且AB⊥AC，如图所示.
又∵|eq \(AO,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2＝|eq \(OB,\s\up6(→))|，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝60°，∠OAC＝30°，
∵在Rt△ABC中，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(BC,\s\up6(→))|2－|\(AB,\s\up6(→))|2)＝2eq \r(3)，
∴eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AO,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs∠OAC＝2×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6，故选D.
(2)法一 ∵△ABC是等边三角形，
∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)×12＋eq \f(1,3)×1×1×cs eq \f(π,3)＝eq \f(2,3).
∵eq \(AM,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,9)eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,9)＋eq \f(1,3)×1×1×cs eq \f(π,3)＝eq \f(19,36)，
∴|eq \(AM,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(19),6).
设eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(\(AM,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AM,\s\up6(→))|·|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(2,3),\f(\r(19),6)×1)＝eq \f(4\r(19),19)，
故选D.
法二 以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
∵△ABC的边长为1，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(\r(3),6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(\r(3),6)))，
∴|eq \(AM,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(19),6).
易知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1.
设eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(\(AM,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(2,3)×1＋0×\f(\r(3),6),1×\f(\r(19),6))＝eq \f(\f(2,3),\f(\r(19),6))＝eq \f(4\r(19),19)，故选D.
规律方法 求解数量积问题的四种方法：
(1)定义法；(2)向量法；(3)基底法；(4)投影法.
训练2 (1)(2022·日照联考)如图，AB是单位圆O的直径，C，D是半圆弧eq \(AB,\s\up8(︵))上的两个三等分点，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A.1 B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(3,2) D.eq \r(3)
(2)(2022·成都诊断)已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
答案 (1)C (2)4
解析 (1)法一(基底法)
连接OC，OD(图略)，
由题意可得：
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))2
＝|eq \(OC,\s\up6(→))|·|eq \(OD,\s\up6(→))|cs〈eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))〉－|eq \(OC,\s\up6(→))|·|eq \(OA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))〉－|eq \(OD,\s\up6(→))|·|eq \(OA,\s\up6(→))|cs〈eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))〉＋|eq \(OA,\s\up6(→))|2，
易知|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OD,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，
cs〈eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))〉＝cs〈eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))〉＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
cs〈eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))〉＝cs eq \f(2,3)π＝－eq \f(1,2)，
则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1×1×eq \f(1,2)－1×1×eq \f(1,2)－1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋1＝eq \f(3,2)，故选C.
法二(定义法) 如图所示，连接BC，BD，
由题意得∠ACB＝∠ADB＝eq \f(π,2)且∠CAB＝eq \f(π,3)，
∠DAB＝∠CAD＝eq \f(π,6)，
所以AC＝ABcs∠CAB＝1，
AD＝ABcs∠DAB＝eq \r(3)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1×eq \r(3)×cs eq \f(π,6)＝eq \f(3,2).故选C.
(2)法一 由|a－b|＝4，两边平方得：
|a－b|2＝16，即a2－2a·b＋b2＝16.
由|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，
可得a·b＝0，即a⊥b，
则由向量加法的平行四边形法知构成矩形，对角线相等，
即|a＋b|＝|a－b|＝4.
法二 设|a＋b|＝t，由题意得，
|a＋b|2＋|a－b|2
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＋|a|2＋|b|2－2a·b
＝2|a|2＋2|b|2＝16＋t2，
即2(eq \r(7)＋1)2＋2(eq \r(7)－1)2＝16＋t2，
解得t＝4(舍负).
热点三 向量在平面几何中的应用
用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果转化成几何元素.
例3 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))，求eq \f(AB,AC)的值.
解 法一 如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.
又BE＝2EA，
则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，
则有eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以6eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，整理可得eq \(AB,\s\up6(→))2＝3eq \(AC,\s\up6(→))2，
所以eq \f(AB,AC)＝eq \r(3).
法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E(1，0)，C(a，b)，
则B(3，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2)，\f(b,2))).
lAD：y＝eq \f(b,a＋3)x，lCE：y＝eq \f(b,a－1)(x－1)，
联立解交点得Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,4)，\f(b,4))).
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))，
∴(3，0)·(a，b)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,4)，\f(b,4)))·(a－1，b)，
即3a＝6eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（a＋3）（a－1）,4)＋\f(b2,4)))，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝eq \r(3)，
∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
规律方法 解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决.
(2)基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.
训练3 (1)已知菱形ABCD中，AC＝2eq \r(2)，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
(2)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若eq \(PA,\s\up6(→))＝meq \(PB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－m))eq \(PC,\s\up6(→))(m为常数)，则CD的长度是________.
答案 (1)D (2)eq \f(18,5)或0
解析 (1)设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图所示，
则点A(eq \r(2)，0)，B(0，1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),3)，－\f(2,3)))，
∴eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(2),3)，\f(2,3)))，eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(5,3)))，
则cs∠AEB＝eq \f(\(EA,\s\up6(→))·\(EB,\s\up6(→)),|\(EA,\s\up6(→))||\(EB,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
(2)法一 由题意可设eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))＝λ[μeq \(PB,\s\up6(→))＋(1－μ)eq \(PC,\s\up6(→))]＝λμeq \(PB,\s\up6(→))＋(λ－λμ)eq \(PC,\s\up6(→))，
其中λ＞1，0≤μ≤1，
又eq \(PA,\s\up6(→))＝meq \(PB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－m))eq \(PC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λμ＝m，,λ－λμ＝\f(3,2)－m，))得λ＝eq \f(3,2)，即eq \f(|\(PA,\s\up6(→))|,|\(PD,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,2)，
又PA＝9，则|eq \(PD,\s\up6(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，
所以AD＝AC.
当D与C重合时，CD＝0，
当D不与C重合时，有∠ACD＝∠CDA，
所以∠CAD＝180°－2∠ACD，
在△ACD中，由正弦定理可得eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(AD,sin∠ACD)，
则CD＝eq \f(ADsin（180°－2∠ACD）,sin∠ACD)＝eq \f(sin 2∠ACD,sin∠ACD)·AD
＝2cs∠ACD·AD＝2×eq \f(3,5)×3＝eq \f(18,5).
综上，CD＝eq \f(18,5)或0.
法二 如图，以点A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则C(0，3)，B(4，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，3)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(4，－3).
∵eq \(PA,\s\up6(→))＝meq \(PB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－m))eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(PC,\s\up6(→))＋m(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋meq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(CB,\s\up6(→))，
∴－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(0，3)＋m(4，－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4m，\f(9,2)－3m))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(－8m，6m－9).
∵|eq \(PA,\s\up6(→))|＝9，∴64m2＋(6m－9)2＝81，
∴m＝eq \f(27,25)或m＝0，
当m＝eq \f(27,25)时，eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(216,25)，－\f(63,25)))，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(216,25)，\f(63,25)))，∴kPA＝eq \f(63,216)＝eq \f(7,24).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(7,24)x，,\f(x,4)＋\f(y,3)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(72,25)，,y＝\f(21,25)，))∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(72,25)，\f(21,25)))，
∴CD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(72,25)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(21,25)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(8 100,252))＝eq \f(90,25)＝eq \f(18,5).
当m＝0时，eq \(PA,\s\up6(→))＝(0，－9)，
∴P(0，9)，此时C与D重合，CD＝0.
综上，CD＝eq \f(18,5)或0.
一、基本技能练
1.(2022·河南名校大联考)设m∈R，向量a＝(m，1)，b＝(4，m)，c＝(1，－2)，则a∥b是a⊥c的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a∥b可得m2－4＝0，
所以m＝±2.
由a⊥c可得m－2＝0，
所以m＝2.
所以a∥b是a⊥c的必要不充分条件.
故选B.
2.(2022·许昌调研)若向量a＝(1，7)，b＝(14，－2)，c＝(－1，1)，则( )
A.a∥b且a·b＝6B.a⊥b且a·c＝6
C.a∥b且a·c＝－6D.a⊥b且a·c＝－6
答案 B
解析 由题意得a·b＝0，∴a⊥b，
又a·c＝1×(－1)＋7×1＝6，故选B.
3.(2022·哈尔滨调研)已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且|a|＝2，|b|＝1，则|a－2b|＝( )
A.4 B.2
C.1 D.eq \r(6)
答案 B
解析 |a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4|a|·|b|cs eq \f(π,3)＋4|b|2，
因为向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，
且|a|＝2，|b|＝1，
所以|a－2b|2＝4－4×2×1×eq \f(1,2)＋4＝4，
|a－2b|＝2，故选B.
4.(2022·济南一模)已知单位向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，
所以|a＋b|＝|－c|，
即|a＋b|＝eq \r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝1，
所以a·b＝－eq \f(1,2)，
由a·b＝|a||b|cs〈a，b〉
＝cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，
及〈a，b〉∈[0，π]得〈a，b〉＝eq \f(2π,3)，故选C.
5.已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，若－a＋2b与ma＋3b共线，则|ma＋3b|等于( )
A.2 B.4
C.eq \r(22) D.22
答案 A
解析 因为－a＋2b与ma＋3b共线，
所以eq \f(－1,m)＝eq \f(2,3)，m＝－eq \f(3,2).
又|a|＝3|b|＝2，a·b＝1，
所以|ma＋3b|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)a＋3b))
＝eq \r(\f(9,4)|a|2＋9|b|2－2×\f(3,2)×3a·b)
＝eq \r(\f(9,4)×4＋9×\f(4,9)－9)＝2.
6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为( )
A.1 B.2
C.－2 D.eq \f(9,4)
答案 B
解析 由已知得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up6(→)).
因为O，M，N三点共线，
所以eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n＝1，
所以m＋n＝2.故选B.
7.(2022·张家口模拟)如果平面向量a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，那么下列结论中不正确的是( )
A.|b|＝3|a|B.a∥b
C.a与b的夹角为30°D.a在b方向上的投影为－2eq \r(5)
答案 C
解析 因为a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，
所以b＝－3a.
在A中，由b＝－3a，
可得|b|＝3|a|，故A正确；
在B中，由b＝－3a，
可得a∥b，故B正确；
在C中，由b＝－3a，
可得a与b的夹角为180°，故C错误；
在D中，a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(（2，－4）·（－6，12）,\r(（－6）2＋122))＝－2eq \r(5)，
故D正确.
8.(2022·九江模拟)我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(BA,\s\up6(→))＝b，eq \(BE,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(12,25)a＋eq \f(9,25)b B.eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b
C.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b D.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b
答案 B
解析 eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(BF,\s\up6(→))＋\(BA,\s\up6(→))))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(9,16)eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up6(→))，
解得eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(12,25)eq \(BA,\s\up6(→))，
即eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b，故选B.
9.(2022·烟台调研)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案 C
解析 如图所示，在△ABC中，D为边BC的中点.
因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2λeq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝2λeq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(AD,\s\up6(→))，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选C.
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝eq \f(π,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，P为CD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，若AC＝3，AB＝4，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的值为( )
A.－3 B.－eq \f(13,12)
C.eq \f(13,12) D.eq \f(1,12)
答案 C
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，
eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
因为C，P，D三点共线，
所以m＋eq \f(3,4)＝1，即m＝eq \f(1,4)，
因为AB＝4，所以AD＝eq \f(8,3)，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AC,\s\up6(→))＋\f(3,4)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))2
＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)×eq \f(8,3)×3×eq \f(1,2)－eq \f(1,4)×9＝eq \f(13,12).
11.(2022·四省八校调研)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，若a∥b，则|a－2b|＝________.
答案 eq \f(5\r(5),2)
解析 ∵a∥b，
∴－2x－1＝0，即x＝－eq \f(1,2)，
∴a－2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，
∴|a－2b|＝eq \f(5\r(5),2).
12.(2022·邢台联考)设向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则(a＋2b)·(3a－5b)＝________.
答案 －7
解析 ∵a⊥b，a，b均为单位向量，
∴a·b＝0，|a|＝|b|＝1，
∴(a＋2b)·(3a－5b)＝3a2＋a·b－10b2＝3－10＝－7.
二、创新拓展练
13.在△ABC中，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))满足(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，则△ABC为( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形
答案 D
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别为eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，
∴角A的平分线与BC垂直，则AB＝AC，
由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs B，
可得cs B＝eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，
则角B＝eq \f(π,4)，
∴B＝C＝eq \f(π,4)，A＝eq \f(π,2)，
∴△ABC为等腰直角三角形.
14.(2022·湖北九师联盟质检)将一条线段AB分割成两条线段AP，BP(AP>BP)，若eq \f(PB,AP)＝eq \f(AP,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)，则称这种分割为黄金分割(P为黄金分割点，eq \f(\r(5)－1,2)为黄金分割比).黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在△ABC中，点D为线段BC的黄金分割点(BD>DC)，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(7\r(5)－9,2) B.eq \f(9－7\r(5),2)
C.eq \f(9\r(5)－7,2) D.eq \f(7－9\r(5),2)
答案 A
解析 由点D为线段BC的黄金分割点，得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(\r(5)－1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3－\r(5),2)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)\(AC,\s\up6(→))＋\f(3－\r(5),2)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \f(3－\r(5),2)eq \(AB,\s\up6(→))2＋
(2－eq \r(5))eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(9\r(5),2)－eq \f(9,2)－6＋2eq \r(5)＋(2－eq \r(5))×2×3×eq \f(1,2)＝eq \f(7\r(5)－9,2)，故选A.
15.(2022·新高考Ⅱ卷改编)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝________.
答案 5
解析 由题意，得c＝a＋tb＝( 3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
即eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(b·c,|b||c|)，
即eq \f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5.
16.(2022·湖南三湘名校联考)已知点P(－2，0)，AB是圆x2＋y2＝1的直径，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
答案 3
解析 设A(x，y)，则B(－x，－y)，且x2＋y2＝1.
∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(2＋x，y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(2＋x)(2－x)－y2＝4－(x2＋y2)＝3.