2021-2022学年新疆石河子第一中学高一下学期5月月考数学试卷含答案

  新疆石河子第一中学2021-2022学年高一下学期5月月考

数学学科试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设复数满足，则的虚部为（）

A.       B. -1       C.        D.

2. 若，且，则与的夹角是（    ）

A.B.C.D.

3. 若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）

A. 平面内的所有直线都与直线异面B. 平面内不存在与直线平行的直线

C. 平面内的直线都与直线相交D. 直线与平面有公共点

4. 在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（）

A. B. C.  D.

5. 在正方体中，则直线和夹角的余弦值为（）

A.  B.  C.  D.

6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（  ）.

A．若平面垂直同一个平面，则B．若且，则

C．若平面不平行，则在平面内不存在平行于平面的直线

D．若，且，则与所成的角和与所成的角相等

7. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年～前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为(　　  )

A. 2 cm B. cm C. cm D. cm

8. 如图，已知等腰△ADC中，，，点P是边BC上的动点，

则（    ）

A.为定值16B. 为定值10

C.最大值为8D. 与P的位置有关

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，△ABC的外接圆半径为R，若R＝，则S△BCD＝（　　）

A． B． C． D．1

10. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 18

11．把边长2的正方形沿对角线折成直二面角后，下列命题正确的是（       ）

A．平面B．平面平面

C．D．三棱锥的外接球的表面积为

12. 如图，在棱长为的正方体中，M､N､P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列选项中错误的是（）

A. 存在点Q，使B､N､P､Q四点共面B. 存在点Q，使平面MBN

C. 三棱锥P-MBN的体积为D. 经过C､M､B､N四点的球的表面积为.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为______．

14．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是__________．

15．已知点M，N，P，Q在同一个球面上，，，，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则这个球的表面积为______________.

16. 在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.

三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17. （本小题10分）在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，.

（1）求所对应的点C的坐标；

（2）求 的值

18. （本小题12分）如图，中，，，．在三角形中挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分別相切于点C，M，与BC交于点N，将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

19.（本小题12分）如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的大小．

20.（本小题12分）

如图，在三棱锥中，平面，

（1）若，.求证：；

（2）若，，分别在棱，，上，且，，.求证：平面.

21. （本小题12分）

设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为，且.

（1）求B

（2）若，求的最小值，并判断此时的形状.

22.（本小题12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）如图，已知AB＝2，D为AC的中点，点P在BD上，且满足，求△PAC的面积．

答案

1.  C

2.B．

3. D

4.【答案】A

5.【答案】C

6．【答案】D

7. 【答案】D

8.A．

9．B．

10.【答案】A

11．【答案】D

12. 【答案】C

二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16. 【答案】

三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17.解：（1）因为，，

所以，.

所以点C的坐标为；

（2）依题意，，，

从而，所以.

18.

(1)连接,则,设,

 在,,---------4分

; -------------6分(2),-------------8分

∴圆锥球.-------------12分

19.

（1）因为四边形为正方形，连接，则为中点，为中点，所以在中，且平面，

平面，所以平面．

（2）因为平面平面，

平面平面，且四边形为正方形，

所以平面，

所以平面，所以，

又，

所以是等腰直角三角形，且，

即，且平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

（3）因为，

所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，

因为侧面底面，所以就是直线与平面所成角，在中，，所以，

所以直线与平面所成角的大小为．

20.

证明：（1）∵平面，平面，∴，

又∵，，∴平面，

平面，

∴，

∵，，∴平面，

平面，

∴.

（2）如图，作的中点，连接，，

由得，又∵，

∴，平面，平面，

∴平面，

又∵，分别为，的中点，

∴，平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面.

21.

解：（1）由条件得：，

由正弦定理，得，

即，所以，

因为，所以，即，

因为，所以，因为，所以.

（2）解：由（1）得，解得，

因为，

所以

，

当且仅当时，取得最小值2，此时，

又因为，所以，整理得，

因为，所以，所以，所以是直角三角形.

22.

解：（1）由，可得sinAcosB＝sinBsinA，

又sinA≠0，则tanB＝1．

因为B∈（0，π），所以．

由，可得a2＝b2+bc，即，

所以c+b＝2acosB．

由正弦定理可得sinC+sinB＝2sinAcosB，

则sin（A+B）+sinB＝2sinAcosB，

可得sinB＝sin（A﹣B），

则B＝A﹣B或B+A﹣B＝π（舍去），所以．

（2）因为，所以AP⋅CPcos∠APC＝1．

又因为AC2＝AP2+CP2﹣2AP⋅CPcos∠APC，所以AP2+CP2＝6．

因为CP2＝CD2+DP2﹣2CD⋅DPcos∠CDP，AP2＝AD2+DP2﹣2AD⋅DPcos∠ADP，

两式相加可得CP2+AP2＝CD2+AD2+2DP2，解得．

如图，过点P作PE⊥AC，

则．

又因为，

所以．