2023届河南省周口市项城市第三高级中学高三上学期期中考试数学试题含解析

2023届河南省周口市项城市第三高级中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为，，所以．

故选：A.

2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可.

【详解】解：对于A：定义域为，函数为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：为偶函数，但是函数在上不具有单调性，故B错误；

对于C：为非奇非偶函数，故C错误；

对于D：定义域为，又，

故为偶函数，又当时，函数在上单调递增，故D正确；

故选：D

3．若x，y满足约束条件则的最大值是（    ）

A． B．4 C．8 D．12

【答案】C

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数为，

上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，

所以.

故选：C.

4．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

5．已知，且，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，由建立方程求解即可

【详解】，，解得.

故选：D

6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可

【详解】由题意，因为，，

由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为

故选：C

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】由题意，

.

故选：D.

8．已知是方程的两根，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，再结合充要条件的判定可得答案.

【详解】若是方程的两根，则.

因为，，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

9．若函数为奇函数，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据奇函数定义式列方程求解即可.

【详解】

因为为奇函数，所以，即

所以.

故选：C.

10．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．  B．} C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.

【详解】∵，且，

∴，

当且仅当时取等号，∴，

由恒成立可得，

解得：，

故选：D.

11．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数的最小正周期为

C．函数的图象的对称轴为直线

D．函数的单调递增区间为

【答案】D

【解析】根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.

【详解】由图象可知

，，

∴，

则.

将点的坐标代入中，

整理得，

∴，

即；

，

∴，

∴.

∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

∴.

，

∴既不是奇函数也不是偶函数，

故A错误；

∴的最小正周期，

故B不正确.

令，

解得，

则函数图像的对称轴为直线.

故C错误；

由，

可得，

∴函数的单调递增区间为.

故D正确；

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.

12．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导函数求出单调性，利用单调性比较大小.

【详解】设，则，

当得：，当时，，

所以在上单调递增，上单调递减，

又，所以，即c<a<b．

故选：D．

二、填空题

13．已知函数，若，则________．

【答案】-7

【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.

详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

14．曲线在点处的切线方程为___________．

【答案】.

【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】详解：

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

15．已知都是锐角，，则___________.

【答案】

【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.

【详解】、为锐角，

，

，

由于为锐角，

故答案为：

16．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．

【答案】.

【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.

【详解】因为，

结合正弦定理可得，

可得，因为，

结合余弦定理，可得，

所以为锐角，且，从而求得，

所以的面积为，故答案是.

【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

三、解答题

17．已知，求以下各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化简原式为即得解；

（2）化简原式为即得解.

【详解】（1）解：.

（2）解：.

18．已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；

（3）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.

【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.

【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，

解得,

函数的定义域为.

（2）函数为奇函数，

证明：由第一问函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数.

（3）解不等式，

即

即，

从而有，

所以.

不等式的解集为.

【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.

19．在中，=60°，c=a.

(1)求sinC的值；

(2)若a=7，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，

（2）求出，再利用余弦定理求出，然后利用三角形面积公式可求得答案

【详解】（1）在中，因为，，

所以由正弦定理得.

（2）因为，所以.

由余弦定理得，

解得或（舍）.

所以的面积.

20．已知函数

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)的最大值为2，最小值为

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式将的解析式化为，即可得到答案；

（2）求出的范围，然后根据正弦函数的知识可得答案.

【详解】（1）因为，

故的最小正周期为；

（2）因为，所以，

所以当，即时，取得最大值2；

当，即时，取得最小值.

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间和极值．

【答案】（1）；（2）单调增区间，，单调减区间；极小值为，极大值为．

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，

（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值

【详解】解：（1），所以,

故切线方程为；

（2），

解，得或；解，得；

所以，为函数的单调增区间，

为函数的单调减区间

所以的极小值为，极大值为.

22．已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)求证：当时，.

【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.

【分析】(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；

(Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可.

【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f′(x)＝2x-2=，

由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1

∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．

 (2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，

∴g′(x)＝2x-2--3=，

∵当x>2时，g′(x)>0，

∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，

∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,

即当x>2时..

【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．