2023届安徽省合肥市庐江第五中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届安徽省合肥市庐江第五中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.

【详解】解：解不等式得，解不等式得，

所以，，，

所以，

故选：C

2．若，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.

【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；

反过来，因为，所以当时，有，即.

综上可知，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式的性质判断B，C，利用对数函数和指数函数的性质判断A，D.

【详解】因为函数在上单调递增，，所以，A错误，

因为，由不等式性质可得，B错误，

因为，所以，，所以，故，C错误，

因为函数在上单调递减，，所以，∴D正确，

故选：D.

4．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断出的奇偶性，结合特殊值，利用排除法可得答案.

【详解】因为，定义域关于原点对称，

，即为奇函数，图象关于原点对称，故排除C；

，故排除AD.

故选：B.

5．曲线在处的切线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程

【详解】，则，

当时，，，

所以切线方程为，即．

故选：D．

6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可

【详解】，，，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

因为，

所以，，

因为，

所以，

所以

故选：C

7．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.

【详解】由，得,

设，则，

所以函数在上单调递增，因为，所以，

所以不等式等价于

即，所以，解得，

所以不等式的解集为.

故选:D.

8．定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则下列说法错误的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．

C．的图象在处的切线方程为

D．和的图象所有交点的横坐标之和为10

【答案】C

【分析】根据函数的对称性、周期性以及切线方程的求解和函数零点的求解，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：，则，故可得，

故关于对称，A正确；

对B：因为，又为偶函数，故，

则，即，则的周期为；

，故B正确；

对C：当时，，又为偶函数，故当时，；

当，，则；

即当时，，，又，则，

故在处的切线方程为:，即，故错误；

对：因为都关于对称，故其交点也关于对称；

两函数在同一坐标系下，且当时的图象如下所示：

由图可知，两函数在时有5个交点，也即两函数图象共有5对交点，

又每一对交点的横坐标之和为，故所有交点的横坐标之和为10，故正确.

故选：.

二、多选题

9．下列函数中在区间内单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数解析式直接判断出函数的单调性，判断出AC选项，根据图象判断出D选项，根据同增异减判断B选项.

【详解】在上单调递增，故A错误；

可以看出，的复合，由同增异减可知在区间内单调递减，B正确；

定义域为，由同增异减可知在上单调递增，故C错误；

的图象如图所示，可以看出：在上单调递减，D正确.

故选：BD

10．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．函数在区间单调递减 D．函数在处取得极小值

【答案】ABD

【分析】结合导函数的图象，求出函数的单调区间，从而判断各个选项.

【详解】由图象知，当时，，当时，，

故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；

对于A，，故A正确；

对于B， ，故B正确；

对于C， 函数在区间单调递增，故C错误；

对于D， 函数在区间单减，在区间单增，故在处取得极小值，故D正确；

故选：ABD

11．水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分析各玻璃容器水的高度随时间的变化的变化率，由此确定正确选项.

【详解】在a中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A正确；在b中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；在c中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C错误；在d中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D错误.

故选：AB.

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．当时，

C．若函数有两个零点，则

D．设，若对，，使得成立，则

【答案】BD

【分析】利用函数的定义域判断A选项的正确性；利用的单调性来判断B选项的正确性；结合的图象来判断C选项的正确性；通过求和在给定区间上的取值范围来判断D选项的正确性.

【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误.

对于B选项，，当时，，递减.

由于，所以，

由于，

所以由两边乘以得 ，所以B选项正确.

对于C选项，令，

由于，所以在区间递减；

在区间递增.

当时，；当时，；.

函数是定义域为的偶函数.

由此画出的图象如下图所示，

由图可知，直线与的图象有两个交点，即当时，

函数有两个零点，所以C选项错误.

对于D选项，由上述分析可知，，则，

，，要使“对，，使得成立”，

则需，所以D选项正确.

故选：BD

【点睛】利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下进行求解.求解恒成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.

三、填空题

13．已知，使关于x的方程有解，则______________.

【答案】，使关于x的方程无解

【分析】根据存在命题的否定进行求解即可.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得，使关于x的方程无解.

故答案为：，使关于x的方程无解

14．设函数（m为实数），若在上单调递减，求实数m的取值范围______.

【答案】

【分析】由已知可得在上恒成立，由此列不等式求m的取值范围.

【详解】因为在上是单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，又 在上单调递增，当时，取得最小值3，所以，所以实数m的取值范围是，

故答案为：.

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】化简得，，再将看成整体，利用基本不等式求解最小值即可

【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号.

故答案为：

16．已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】画出函数图象，数形结合得到的取值范围，且，解不等式得到，从而求出.

【详解】画出函数的图象：

由函数的图象可知：，，令，则，

所以，令，解得：，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．设函数f（x）＝ln（ax2+x+6）．

（1）若a＝﹣1，求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

【答案】（1）f（x）的定义域是（﹣2，3）；当﹣2＜x时，f（x）单调递增；当x＜3时，f（x）单调递减（2）a

【分析】（1）根据真数大于零求函数的定义域，再结合二次函数的单调性，即可求单调区间；

（2）函数定义域为，转化为真数大于零在上恒成立，即可求解.

【详解】（1）a＝﹣1时，函数f（x）＝ln（﹣x2+x+6），

令t＝﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3，

所以f（x）的定义域是（﹣2，3）；

当﹣2＜x时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递增，则f（x）也单调递增；

当x＜3时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递减，则f（x）也单调递减；

f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）若函数f（x）的定义域为R，则ax2+x+6＞0恒成立，

即，解得a，

所以a的取值范围是a．

【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查已知函数的定义域求参数范围，解题的关键是利用等价转化思想，转化为求二次函数恒成立参数范围，属于中档题.

18．已知全集为R，集合{x|(x－a－1)(x－a－6)＜0}

(1)若a＝－3，求集合

(2)请在①是的充分条件，②③A∪B＝R，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答.

若___，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）直接根据集合的补集以及交集的定义计算即可；

（2）若选①，则可知，列出相应的不等式，解得答案；若选②，求出，再根据集合的交集运算，列出相应的不等式，解得答案；若选③，根据集合的并集运算，列出相应的不等式，解得答案；

【详解】（1）集合 或 ，集合 ，

若 ，

所以 或

所以 或 .

（2）若 选① " " 是 “ " 的充 分 条 件，则 ，

即 或 ，

所以 或 ，

或

若选② ，所以 或

或

若选③ ，由题意得： 且 所以 .

19．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数有三个零点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)单调递减区间是；单调递增区间是，；

(3).

【分析】（1）根据点在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为，联立方程即可得解；

（2）根据导数与函数单调性的关系即得；

（3）结合函数的性质可得，进而即得.

【详解】（1）由题可得，

由题意得即

解得，，，

所以．

（2）因为，

令，得或．

当变化时，，的变化情况如下：

所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，．

（3）因为，，

由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值，

依题意，要使有三个零点，则，

即，

解得，

所以的取值范围为．

20．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得万元到万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的.

（1）请分析函数是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；

（2）若华为公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定正整数的取值集合.

【答案】（1）不符合，原因见解析（2）的取值集合为

【分析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①在定义域上是增函数；②恒成立；③恒成立；判断单调性及最值，即可求解；

（2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和，即可求解参数范围，由为正整数，即可确定取值集合.

【详解】（1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足:当时，①在定义域上是增函数；②恒成立；③恒成立.对于函数模型.当时，是增函数，所以不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.

（2）对于函数模型，当时，在定义域上是增函数，且恒成立；当时，，只有时，在定义域上是增函数；要使在恒成立，，即；要使恒成立对恒成立，即，即恒成立，所以；

综上所述，，所以满足条件的正整数a的取值集合为

【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.

21．已知函数.

(1)求的解析式;

(2)求在区间上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为,最小值为

【分析】（1）先求导再代值，算出，即可得到解析式

（2）分段讨论单调性，列表即可

【详解】（1）

解得

所以

（2）

当单调递增,所以

当,设单调递减

所以存在,使得

当单调递增,所以

当单调递减,所以

又

所以在区间上的最大值为,最小值为

【点睛】方法点睛：三角函数导数题，一般需要分段讨论函数的单调性

22．已知函数有两个不同的零点.

(1)求实数的取值范围；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求定义域，再求导，得到，先得到，在通过验证得到满足题意；（2）构造函数证明极值点偏移问题.

【详解】（1）定义域为，

，所以在上单调递减.

，所以在上单调递增，

所以在处取得极小值，也是最小值，

又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.

当时，易知，；

由以上可知，当时，有两个不同的零点.

（2）由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.

即只需证，构造函数.

，所以在单调递减.

，即成立，即

所以原命题成立.

【点睛】对于极值点偏移问题，通常可以构造差函数来进行求解.