2023届四川省隆昌市第七中学高三上学期10月考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届四川省隆昌市第七中学高三上学期10月考试数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省隆昌市第七中学高三上学期10月考试数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，若，则B可能是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题得，判断选项得解.【详解】因为，所以，四个选项中只有是集合A的子集．故选：A.2．已知命题，，则命题的否定是A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3．若复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】直接对化简，求出，从而可求出的虚部【详解】解：由，得，∴的虚部为.故选：C.4．已知函数，则(　　)A．4 B． C．－4 D．－【答案】B【详解】本试题主要是考查了分段函数的求值问题.因为函数，则，故选B.解决该试题的关键是从内向外依次代入对应的关系式求解函数值即可. 5．若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“”、“”之间的充分、必要关系.【详解】∵，是平面外的两条不同的直线，，∴若，则推出“”；若，则或与相交；∴若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．设向量，，且，则向量与的夹角为A． B． C． D．【答案】D【详解】向量，，且，则, ,, ,设向量与的夹角为，则 ，，选D.7．某小区有排成一排的7个车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的3个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（    ）A．24 B．80 C．120 D．160【答案】C【分析】利用捆绑法求得不同的停放方法种数.【详解】将个连续的空车位捆绑看成一个整体，故所有不同的停放方法数有种.故选：C【点睛】本小题主要考查利用捆绑法计算简单的排列问题，属于基础题.8．已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于A． B． C． D．【答案】C【详解】∵正项等比数列的公比为3，且∴∴∴，当且仅当时取等号.故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．9．定义符号函数sgnx，则函数f（x）=x2sgnx的图象大致是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据新定义可得函数f（x）=x2sgnx=，根据函数的单调即可判断【详解】函数f（x）=x2sgnx=，由二次函数的图象性质可知：B正确.故选B．【点睛】本题考查了新定义和函数图象的识别，属于基础题．10．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.   11．已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若、是在内的两根，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简解析式，通过三角函数图象变换求得解析式，求得在内的对称轴，根据对称性求得，进而求得的值.【详解】，，不妨设为锐角，则.则，所以，由，可得，取，可得在内的对称轴方程为，因为是在内的两根，所以，所以故选：A12．已知直线与曲线和分别相切于，．有以下命题：（1）；（2）；（3）这样的直线有两条；（4）（为原点）；（5）．则正确的命题个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用导数求出直线的方程，由，，可判断（1），（2）；根据的符号判断（4）；构造函数，利用导数说明函数在区间和上不存在零点可判断（5）；结合以上及曲线和的图象关于直线对称可判断（3）.【详解】根据题意可得，又，所以直线的方程为：，即.同理可得直线的方程也可表示为：.所以可得.由，又，可得， 则，所以（1）错误；由，可得，又，则，所以（2）正确；由，若三点共线，即直线过原点，则，解得，此时；若，由，可得，此时；若，则，则，此时；若，则，则，此时；综上知，则，所以（4）正确；由，代入等式，可得，即.构造函数，则，当时，，此时函数单调递减，且；当时，，此时函数单调递增，且；所以函数在区间和上不存在零点，则可得，所以（5）正确；结合（4）（5）及曲线和互为反函数，图象关于直线对称，故这样的直线有两条，所以（3）正确；故选：C. 二、填空题13．二项式的展开式中的常数项为______________．【答案】112【详解】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.【解析】二项式通项．14．已知为等差数列，其前n项和，若，，，则______【答案】【分析】根据，，求得公差，再代入等差数列的前项和公式.【详解】∵，，∴，∵，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.15．若满足约束条件，设，则在方向上投影的最小值为______．【答案】##【分析】利用向量投影的坐标运算可将所求投影表示为，令，根据约束条件作出可行域，将问题转化为在轴截距最大的问题，采用数形结合的方式可求得，由此可得结果.【详解】，，在方向上的投影为；由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，令，则当在轴截距最大时，取得最小值，由图象可知：当过点时，在轴截距最大，由得：，即，，的最小值为.故答案为：.16．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又由，可得：当时， 为减函数，当时， 为增函数，故函数有最小值，又由；比较可得： ，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是；故答案为：；【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决. 三、解答题17．已知等差数列的前项的和为.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.并证明.【答案】(1).(2)，证明见解析. 【分析】（1）利用基本量法以及等差数列的性质求解.（2） 利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明.【详解】（1）设的公差为d，由题意得：，解得，所以.（2）令，由（1）有：，所以，，，，.18．已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积．【答案】（1）最小正周期，，；（2）．【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期．令，，解得，，所以的单调递增区间为，．（2）因为，所以，即，又，所以，所以或，或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以，，，，此时为等腰三角形，所以，所以，即的面积为．19．焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值（满分100分）的测试，根据调查得到如下数据表：人员ABCDEFGHIJ年龄(岁)26342524202019191817焦虑值(分)80898978757165625550 （1）我们约定：焦虑值关于年龄的线性相关系数的绝对值在0.75（含0.75）以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合．试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值与年龄的相关关系进行拟合．若能，请求出焦虑值关于年龄的线性回归方程（回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01）；若不能，请说明理由．（2）现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁（含20岁）以上的人数为，求的数学期望．参考数据：，，，，．对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．线性相关系数．【答案】（1）可用线性回归对它们的相关关系进行拟合；线性回归方程为；（2）3．【分析】（1）利用公式求出相关系数，并与比较大小；（2）先求出的分布列，再用期望公式求期望即可.【详解】（1）由题意，可借助计算相关系数判断焦虑值与年龄的线性相关程度，从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．相关系数，由题意，与有较强的线性相关性，故可用线性回归对它们的相关关系进行拟合．设回归方程为，则，．所以焦虑值关于年龄的线性回归方程为．（2）由题意可知的所有可能取值为1，2，3，4，5．故的分布列为12345 所以．20．已知，且的解集为．（1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】（1）由的解集为可知且.则 .（2） 的解集为R.当时，满足题意； 当时，由.综上，.21．已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点，证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，，求出，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1）.①当时，.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.即函数只有一个极大值点，无极小值点.②当时，，令，得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.即函数有一个极大值点，有一个极小值点.③当时，，此时恒成立，即在上单调递增，无极值点.综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当时，没有极值点.（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，即，所以.令，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用函数的单调性证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求.【答案】(1) ..  (2) .【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）消去参数α得，即C的普通方程为.由，得，（*）将，代入（*），化简得，所以直线l的倾斜角为.（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入并化简，得，，设A，B两点对应的参数分别为，，则，，所以，，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.23．已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据零点分段求解不等式；（2）根据，转化为恒成立，即可得解.【详解】（1）当时，不等式，等价于；当时，不等式化为，即，解集为；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，即，解得；综上，不等式的解集为．（2）当时，，等价于，若，则，∴；若，则，∴．综上，实数的取值范围为．