新高考第5章 三角函数（典型题专练）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略解析版

这是一份新高考第5章 三角函数（典型题专练）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略解析版，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·北京·清华附中高一期末）已知为第三象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】采用一般与特殊的思想，因为是第三象限角，所以令，即可判断所在的象限．
【详解】因为是第三象限角，故可令，则，是第四象限角．
故选：D．
2．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在区间上，下列说法正确的是（ ）
A．是增函数，且是减函数
B．是减函数，且是增函数
C．是增函数，且是增函数
D．是减函数，且是减函数
【答案】A
【分析】结合正余弦函数的图象和性质即可作出判定.
【详解】由正余弦函数的图象可知，在区间上，是增函数，且是减函数，
故选：.
3．（2021·全国·高一期末）已知锐角α，β满足sin α－cs α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（ ）
A．α<<βB．β<<α
C． <α<βD． <β<α
【答案】B
【分析】由两角和与差的正切公式得出α＋β＝，结合，得出α>，结合选项可得答案．
【详解】∵α为锐角，sin α－cs α＝，∴α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．
故选：B
4．（2021·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期末）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
5．（2021·山西·高一期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对于BCD，可以考察其单调性，即可否定；对于A,利用三角函数的性质，不难确定可以构造不同的定义域，其值域是相同的.
【详解】，，分别是定义域内R,R和(0,+∞)上的都单调递增函数，
规定定义域内的不同子集为构造函数的定义域，值域也必然不同，故都不是能够用来构造“同族函数”的函数；
可构造同族函数，例如，和，.
故选:A
6．（2021·山西·高一期末）如图是函数(，)的部分图象，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数为奇函数
【答案】C
【分析】由图象先求得由相邻的最高点与零点的横坐标的差为四分之一周期，求得周期，得到角速度ω的值，由最高点的横坐标求得φ的值，然后逐项判定即得.
【详解】由题意可知，根据图像得到，，，则选项A错误；
，
又，
解得，，则，，
即，，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，则选项B错误；
，
所以点是函数图象的一个对称中心，
选项C正确；
不是奇函数，
所以选项D错误.
故选：C.
7．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）已知，且，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由已知条件求出，再化简的解析式，即可求出值域.
【详解】因为，所以由，可得，而，所以．于是
，
因为，所以，
所以，
故答案为：．
8．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知函数，则函数最大值为 （ ）
A．B．
C．D．无最大值
【答案】B
【分析】利用余弦的二倍解公式转化为关于正弦的二次函数表达式，配方后即可得解.
【详解】，
当时，函数最大值为.
故选：B.
9．（2021·广东高州·高一期末）若，则（ ）
A．6B．-6C．D．
【答案】C
【分析】利用和差的正切公式和二倍角公式，即可求解.
【详解】解：，解得，,
故选：C
10．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解
【详解】由题意，
故选：A
【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题
11．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用换元，利用诱导公式和二倍角公式转化运算即可.
【详解】设,则，
,
故选：D.
12．（2021·江苏江都·高一期中）的值为（ ）
A．B．C．－D．－
【答案】B
【分析】先利用诱导公式转化，然后利用两角差的余弦公式化简计算.
【详解】原式=，
故选：B.
13．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，可先求解，代入，即得解
【详解】由题意，在中，，，，
则
故选：A
14．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一期中）已知函数的图象的一条对称轴为,则下列结论中正确的是（ ）
A．是图象的一个对称中心
B．是最小正周期为的奇函数
C．在上单调递增
D．先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
【答案】A
【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；
通过计算，可判断B；
当时，，可得在上的单调性，可判断C；
通过振幅变换和平移变换，可判断D.
【详解】
，
当时，取到最值，即
解得，
.
，则是图像的一个对称中心，故A正确；
，故不是奇函数，故B错误；
当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，故C错误；
将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，故D错误.
故选：A
二、多选题
15．（2021·福建省福州第八中学高一期末）已知函数f（x）＝sin（2x+），将f（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．当x＝时，g（x）取最小值
B．g（x） 在[，]上单调递减
C．g（x）的图象向左平移 个单位后对应的函数是偶函数
D．直线y＝与g（x）（0＜x＜）图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【分析】首先利用伸缩变换得到函数，再依次利用整体代入的方法，判断AB是否正确；按照平移变换判断函数平移后是否是偶函数；令，计算内所有的实数根.
【详解】由条件可知
当时，，此时，取得最小值，所以A正确；
当时，，当，即，此时函数单调递减，当，即时，函数单调递增，故B不正确；
向左平移个单位后得到函数，函数是偶函数，故C正确；
，解得：，解得：，
或，解得：,,
因为，所以或
所以交点的横坐标之和为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查三角函数的性质，图象变换，方程实根的综合问题，重点考查整体代入的方法，以及伸缩和平移变换规律，属于中档题型.
16．（2021·广东·金山中学高一期末）设函数的最小正周期为，且把的图像向左移后得到的图像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称
C．函数在区间上单调递增D．若，则
【答案】AD
【分析】首先根据三角函数的性质和图象变换求函数的解析式，再根据函数的性质，利用整体代入的方法判断ABC选项， ，，利用角的变换，表示，利用二倍角公式和诱导公式求函数值，判断D选项.
【详解】由条件可知函数的最小正周期为，所以，
，函数的图象向左平移后得到的函数是，
函数的图象关于原点对称，所以当时，，解得：，
因为，所以，所以函数，
A.当时，，所以函数的图象关于直线对称正确，A正确；
B.当 时，，此时，故B不正确；
C.当时，，是函数的单调递减区间，所以C不正确；
D.， ， ，故D正确.
故选：AD
【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.
17．（2020·广东罗湖·高一期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．的最大值是2
C．的最小值是D．的最小正周期是
【答案】AB
【分析】A.根据奇偶函数的定义判断；B.根据两个函数的最值判断；C.将函数写成分段函数的形式求函数的最小值，D.代入特殊值代入验证.
【详解】A.函数的定义域是，
并且，
即，是偶函数，故A正确；
B.当时，和同时取到最大值1，所以的最大值是2，故B正确；
C.当时，，
，，
所以当时，，根据函数是偶函数，可知函数的值域是，
所以函数的最小值是0，故C不正确；
D.，，，所以函数的周期不是，故D不正确.
故选：
【点睛】思路点睛：本题考查含绝对值三角函数的性质，本题的关键是判断A选项，难点是判断C选项，需正确去掉绝对值，再判断函数的最值.
18．（2021·安徽·池州市江南中学高一期末）已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】ABC
【分析】根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断．
【详解】解:由函数的图象可得，由，求得．
再根据五点法作图可得，又，求得，
∴函数，
当时，，不是最值，故A不成立；
当时，，不等于零，故B不成立；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立；
当时，，
∵，，
故方程在上有两个不相等的实数根时，则的取值范围是，故D成立．
故选:ABC.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数的部分图象求出函数解析式，属于基础题．
19．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角B．C．D．
【答案】BC
【分析】选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断；
选项B，，可得，可判断；
选项C，转化，代入，可判断；
选项D，，结合均值不等式和，可判断
【详解】
为锐角，故选项A不正确；
又，化简得，故选项B正确；
将代入得：
故选项C正确；
当且仅当时等号成立
，故选项D不正确
故选：BC
【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
三、填空题
20．（2021·北京·清华附中高一期末）已知函数，若，则_____________.
【答案】0
【分析】利用正弦函数的奇偶性可以得到，进而得到结果..
【详解】因为，，所以，
因为则0,
故答案为：0.
21．（2021·山西·高一期末）已知函数，则_______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求得,再求即为所求.
【详解】,
.
故答案为: .
22．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知为钝角，则________.
【答案】
【分析】先判定的范围，利用用角三角函数的关系求得，进而根据，利用两角和的正弦公式计算求解.
【详解】为钝角，∴，
又∵，
∴，
∴
,
故答案为：.
23．（2021·江苏江都·高一期中）已知，则_____________．
【答案】
【分析】利用余弦的二倍角公式和两角和的正弦公式转化，并利用平方差公式化简即可求得.
【详解】，
所以，
故答案为：.
24．（2021·陕西省黄陵县中学高一期中（理））圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的____倍．
【答案】2
【分析】设改变前后的圆的半径分别为，圆心角为，弧长相等记为，利用弧长公式可以求得.
【详解】设改变前后的圆的半径分别为，圆心角为，弧长相等记为，
由弧长公式得，由已知得，所以
∴该弧所对的圆心角是原来的2倍．
故答案为：2.
25．（2021·甘肃·兰州市外国语高级中学高一期末）已知则的值是_________
【答案】
【分析】利用二倍角公式先化为的正余弦的表达式，增添分母“1”化为，然后分子分母同时除以，转化为含有正切的代数式计算.
【详解】解：∵
∴原式=
，
故答案为：。
26．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用三角函数的倍角公式和辅助角公式，将方程整理化简，利用三角函数的图象和性质，确定条件关系，进行求解即可.
【详解】 ，
，
即，
，即，
，，
设，则在上有两个不同的实数根，
，，的图像有两个不同的交点，如图
由图象可知， ，即
故答案为：
四、解答题
27．（2021·云南丽江·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点.
（1）求，；
（2）求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；
（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果.
【详解】解：（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知
，
（2）诱导公式，得
.
28．（2021·浙江·高一期末）某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为30米，A为直径延长线上的点米，B为半圆上任意一点，以为一边作等腰直角，其中为斜边．
（1）若，求四边形的面积；
（2）现决定对四边形区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？
【答案】（1）平方米；（2）．
【分析】（1）计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积；
（2）设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值．
【详解】（1）当时，
平方米；
在中，由余弦定理得，
；
平方米，
四边形OABC的面积为
平方米；
（2）设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
；
，
不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，
则有；
化简得；
因为，
所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．
29．（2021·山西·高一期末）已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；
（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.
【详解】（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时， 取得最小值，且最小值为，
所以.
30．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在闭区间上的最小值以及对应的值
【答案】（1）最小正周期为；（2）当时，有.
【分析】（1）利用三角恒等变形化为的形式，根据三角函数的周期性求得；
（2）先求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）由函数
,
，函数的最小正周期为;
（2）由（1）可知,
,
由的图象可知当时有,
综上当时，有.
31．（2021·陕西省黄陵县中学高一期中（理））已知角终边上一点，求的值．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求得，，利用诱导公式化简即得.
【详解】解：点P到原点O的距离．
根据三角函数的定义得，，
．
32．（2021·江西新余·高一期末（理））已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；
（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.
【详解】解：（1）
，
，
.
（2）当时，，可得，
由，不等式可化为
，有.
令，，则，
若不等式恒成立，则等价于，解得：.
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题.
（1）三角函数知值求值是，要将已知中的角进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算；
（2）不等式恒成立问题要注意先进行等价转化，注意换元思想方法的应用，等价转化为二次函数在闭区间上恒成立问题，利用二次函数的图象和性质转化求解.
33．（2021·广东高州·高一期末）设函数，，
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）当时，的最小值为0，求实数m的值.
【答案】（1），增区间为；（2）.
【分析】（1）利用三角函数的和差角公式化简为
，运算即得解；
（2）由，可得，当或，取最小值为，即得解
【详解】（1）
最小正周期
由
∴
∴的增区间为
故答案为：
（2）当，
当或即或时，取最小值为
由 ∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角函数的周期、单调性及最值问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
34．（2021·江苏镇江·高一期中）已知，，函数．
（1）求函数的奇偶性；
（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）偶函数；（2）存在；．
【分析】解法一：（1）直接根据奇偶性定义判定；（2）直接由条件代入，利用二倍角公式化简求解.
解法二：先逆用二倍角的余弦公式降幂，并结合两角和差的三角函数化简后，再进行判定和求解.
【详解】解：（法一）（1）定义域是，
，
∴函数是偶函数．
（2）∵，
∴，
移项得：，
展开得：，
对于任意实数上式恒成立，只有．
∵，∴．
（法二）
．
（1）定义域是，
∵，
∴该函数在定义域内是偶函数．
（2）由恒成立得：
，
化简可得：对于任意实数上式恒成立，
则，∵，∴．
35．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域建成生态园林城，，，，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，km．
（1）求道路的长度；
（2）如图所示，要建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离．
【答案】（1）km；（2）km.
【分析】（1）先利用余弦定理，可得，再在中，由，即得解；
（2）设，在中，利用正弦定理可得，，再利用，可得，利用三角恒等变换化简结合，即得解.
【详解】（1）连接，由余弦定理可得，所以，
由，，所以，因为，所以，
在中，，所以，解得，
即道路的长度为；
（2）设，在中，由正弦定理可得，
所以，因为，所以，
所以，，则，
所以，
因为，所以，
所以当，即，取最大值为，
故两地的最大距离为．