吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.    的值等于(    )A.  B.  C.  D.    下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D.    一元二次方程的根的情况(    )A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根   某商场一月份的营业额为万元，一月、二月和三月的营业额共万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为(    )A.
B.
C.
D.    如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米   如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形若，且四边形的面积是，则四边形的面积是(    )
 A.  B.  C.  D.    如图，在▱中，为边上一点，连结、交于点若，则下列说法错误的是(    )
A.  B. 与的周长比为：
C. 与的面积比为： D. 与的面积比为： 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）   计算：______．一元二次方程较大的根是______．在中，，，则 ______ ．如图，在平面直角坐标系中，顶点、分别在第一象限和轴正半轴上，点为边上一点，过点作交于点若、两点纵坐标分别为、，且：：，则点的纵坐标为______．
 九章算术中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的______倍．
如图，在中，，点、是边上的点，点在边上，连结、，将分别沿直线和折叠，使点、的对称点重合在边上的点处．若，，则的长是______．
   三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：
；
．本小题分
解方程：．本小题分
已知：关于的方程．
求证：无论为何值，方程总有实数根；
若方程的一个根为时，求的值．本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
在图中边上找到一点，连结，使；
在图中边上找到一点，连结，使；
在图中边上找到一点，连结，使．
 本小题分
如图，某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“”形区域，求花带的宽度．
本小题分
如图，和都是等腰直角三角形，连接、．
求证：∽；
如图，延长图中交于点，交于点求的值．
本小题分
如图，长春解放纪念碑于年月日正式竣工落成．纪念碑正面有彭真同志的题词“长春解放纪念碑”，整个建筑由纪念碑主体、台基、浮雕墙及台阶组成．某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念碑主体的高度，并绘制了如图的示意图．无人机在点处测得纪念碑顶部点的仰角为，纪念碑主体底部点的俯角为，无人机与纪念碑的水平距离，求纪念碑主体的高度．结果精确到
参考数据：
本小题分
如图，一张等腰三角形纸片，底边，高在这张纸片中剪出一个正方形，使其一边在边上，点、分别在边，上，且与交于点．
求证：∽；
求正方形的边长；
若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长．
本小题分
【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【证明】如图，在中，，求证：．
方法一：如图，作斜边上的中线，则．
，
．
是______三角形．
．
方法二：如图，作点关于的对称点，连接．
，，
．
是等边三角形．
______．
．
阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．
【应用】如图，在中，，，且点是边上一点．
若，点到边的距离为______．
若，求点到边的距离．
【延伸】如图，在中，，，点是边上一点，连结若，直接写出的最小值．
 本小题分
如图，在矩形中，，，是该矩形的对角线．动点从点出发点不与点、重合，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作交折线于点，连结，以和为边作▱，设点的运动时间为．
求的长；
用含的代数表示的长；
连结，当与的某条边垂直时，求的值；
连结，当与的某条边平行或重合时，直接写出的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
故选：．
根据特殊角的三角函数值得出即可．
本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．
 3.【答案】 【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 5.【答案】 【解析】解：一月份的营业额为万元，月平均增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
故选：．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：中，，
，
．
故选：．
直接根据的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
．
又四边形的面积是，
四边形面积为．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．
 8.【答案】 【解析】解：，
与的面积比为：，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，，，
故选：．
通过证明∽，由相似三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
或，
解得，，
所以方程较大的根是．
故答案为：．
利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 11.【答案】 【解析】解：，
设，，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
设，，由勾股定理求出，代入求出即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在中，，则，，．
 12.【答案】 【解析】解：点在轴上，且，
轴，
、两点纵坐标分别为、，
，
：：，
，
∽，
，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
由点在轴上，且，得轴，所以，由：：，得，由∽，得，则，所以点的纵坐标为．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、图形与坐标等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：由题意得，．
：：．
故答案为：．
根据比例的性质解决此题．
本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
由翻折可知：，，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
．
故答案为：．
根据翻折的性质证明，设，则，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 15.【答案】解：原式
；
原式

． 【解析】原式化简后，合并即可得到结果；
原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 16.【答案】解：原方程可化为 ．
，，，
且，
，
，． 【解析】将原方程整理后，利用解一元二次方程的公式法求解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
 17.【答案】证明：，，，
，
无论为何值，方程总有实数根；
解：将代入原方程得：，
，
的值为． 【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论为何值，方程总有实数根；
将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；代入，求出的值．
 18.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 【解析】取的中点，连接即可；
取与格线的交点，连接即可；
取格点，作射线交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 19.【答案】解：设花带的宽度为，则硬化的部分长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：花带的宽度为． 【解析】设花带的宽度为，则硬化的部分长为，宽为，根据硬化部分的面积为空地面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合为正值，即可得出花带的宽度为．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 20.【答案】证明：和都是等腰直角三角形，，
，，，
，，
∽；
∽，
，
又，
，
． 【解析】由等腰直角三角形的性质可得，，，由相似三角形的判定可得结论；
由相似三角形的性质可得，可求，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 21.【答案】解：由题意可得，
，，，
，，
，，
解得，，
，
答：纪念碑主体的高度是． 【解析】根据题意和锐角三角函数，可以计算出和的长，然后即可得到的长．
本题考查解直角三角形仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 22.【答案】证明：四边形是正方形，
，
∽；
解：，
四边形是矩形，
，
设正方形的边长为，
∽，
，
，
，
正方形的边长为；
解：，
四边形是矩形，
，
设该正方体的棱长为，
∽，

，
，
，
该正方体的棱长为． 【解析】根据即可证明；
如图设与交于点，首先证明四边形是矩形，设正方形边长为，再利用∽，得，列出方程即可解决问题；
根据矩形和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 23.【答案】等边    【解析】【证明】如图，在中，，求证：．
方法一：如图，作斜边上的中线，则．
，
．
是等边三角形．
．
方法二：如图，作点关于的对称点，连接．
，，
．
是等边三角形．
．
，
故答案为：等边，；
【应用】如图，
在中，，，，
，
过作于，

，
，，
，
故点到边的距离为，
故答案为：；
在中，，，，
，
，
过作于，

，
，
，
，
，
故点到边的距离为；
【延伸】如图，作点关于直线的对称点，
过作于，交于，

则的最小值，
，，，
，，，
，
，
，
的最小值为．
【证明】方法一：如图，根据直角三角形的性质即可得到结论；
方法二：如图，根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论；
【应用】如图，根据直角三角形的性质得到，过作于，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论；
根据勾股定理得到，过作于，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论；
【延伸】如图，作点关于直线的对称点，过作于，交于，则的最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 24.【答案】解：四边形是矩形，，，
，，，
，
的长是．
如图，点在上，，
若点与点重点，则，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
，
，
，
如图，点在上，，
，
，
，
综上所述，或．
当时，如图，，则，
，
与重合，即点、、在同一条直线上，
，
，
，
，
；
当时，如图，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
当与重合时，如图，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
；
当时，如图，延长交于点，设交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，交于点，则，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，的值为或或． 【解析】由四边形是矩形，，，得，，，即可根据勾股定理求得；
若点与点重点，则，所以，当点与点重合时，则，所以，再分两种情况讨论，一是点在上，，二是点在上，；
分两种情况，当时，则点、、在同一条直线上，由，可列方程，则；当时，则四边形是矩形，所以，可列方程，则；
分三种情况，一是与重合，则，可证明，列方程得，则；二是，延长交于点，可求得，，列方程得，则；三是，可求得，，再根据列方程，则．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数与解直角三角形、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．