人教版八年级上册数学寒假复习强化训练1无答案

第十一章三角形

11.1 与三角形有关的线段

【板块一】三角形三边关系

方法技巧

依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这个三边关系定理，可以判断三条线段能否组成角形，已知两边长求第三边的长或取值范围，证明线段不等关系，化简去绝对值，求解等腰三角形的边长及周长等问题．

题型一  判断三条线段能否组成三角形

【例1】用4根长度分别为5cm，7cm，9cm，13cm的木棒，可以摆出多少个不同的三角形？

题型二  已知三角形两边求第三边的长或取值范围

【例2】已知三角形的三边长分别为2，a－1，5，求a的取值范围．

题型三  解答等腰三角形相关问题

【例3】用一条长为30的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果一边长为8，求其余两边长；

（2）如果腰长为底边的2倍，求底边的长；

（3）能围成一边长为15的等腰三角形吗？为什么？

（4）直接写出能够围成的等腰三角形腰长a的取值范围           ；

（5）直接写出能够围成的等腰三角形底边b的取值范围           ．

题型四  利用三边关系化简去绝对值

【例4）】已知a，b，c为三角形三边的长，化简：．

题型五  利用三角形三边关系求线段最值

【例5】如图，线段AB＝10cm，BC＝18cm，将线段AB绕着点B旋转，连接AC，在旋转过程中线段AC的最大值是       ，最小值是       ，AC的取值范围是            .

题型六  利用三角形三边关系证明线段的不等关系

【例6】（1）如图1，P为∠A内一点，证明：AB＋AC＞PB＋PC；

（2）如图2，P，Q为∠A内两点，证明：AB＋AC＞PB＋PQ＋QC.

巩固练习

1．三角形是指(　　)

A．由三条线段所组成的封闭图形      B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形

C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形   D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形

2．如图中三角形的个数是(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9

3．在△ABC中，已知∠B=2∠C，∠A=30°，则这个三角形是(    )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断

4．三角形按角分类可以分为（　　）

A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形        B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

C．直角三角形、等边直角三角形                D．以上答案都不正确

5．下列图形中具有稳定性的是（    ）

A．直角三角形 B．正方形

C．长方形 D．平行四边形

6．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）

A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架

C．拉闸门 D．木门上钉一根木条

7．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在(   ) 

A．G，H两点处   B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处

7题                  9题

8．下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是(    )

A．3，3，6 B．1，5，5 C．1，2，3 D．8，3，4

9．如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是(   )

A． B．        C．     D．

10．一个三角形的两边长为4和7，第三边长为奇数，则第三边长可能为（    ）

A．5或7 B．5、7或9 C．7 D．11

11．三角形的两边长分别为和，则周长的范围是（     ）

A． B． C． D．

12．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为(　　)

A．7 B．8 C．6或8 D．7或8

13．已知是的三边长，化简的值是（    ）

A． B． C． D．

【板块二】三角形的高、中线和角平分线

◇方法技巧◇

掌握好三种线段的定义、性质和它们的位置，才能在解题中熟练运用．

题型一  依据定义画图

【例7】如图，已知△ABC．

   (1)画出△ABC的中线AD和角平分线CE；

   (2)画出△ABC的高AM，CN；

题型二  利用三种线段的性质解题

一、三角形的高的运用

（一）高→面积法

【例8】在例7的条件下，若CN＝3，AM＝6，AB＝10，求BD的长．

【例9】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝4，P为BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，求PE＋PF的值．

（二）高→分类讨论

【例10】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．

二、三角形的中线的运用

【例11】如图，△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的中线．

（1）若△ABD的周长比△ACD的周长大4．

①若AB＝10，则AC＝    ；②若AB＋AC＝14，则AC＝    ；

（2）若△ABC的周长为27，AB＝9，BC边上中线AD＝6，△ACD周长为19，求AC的长．

巩固练习

14．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（     ）

A． B． C．D．            

15．如图，△ABC的面积计算方法是（　　）                            

A．ACBD B．BCEC C．ACBD D．ADBD

16．下列各图中，AC边上的高画正确的是（    ）

A． B． C． D．

17．如图AD是△ABC的中线，那么BD=（    ）

A．AD B．AC C．BC D．CD                

11.2 与三角形有关的角

方法技巧

任意一个三角形的三个内角的和都等于180°，当已知三角形两角或两角和时，可求第三个角．

题型一　三角形内角和定理

【例1】(2018长春)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．

题型二　三角形内角和定理的应用

【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点P为△ABC内的一点，且∠PBC＝∠PCA，∠BPC＝110°，求∠A的度数．

题型三　利用互余或互补导角

【例3】已知BD，CE是△ABC的两条高，直线BD，CE相交于点H．

（1）如图，①在图中找出与∠DBA相等的角，并说明理由；

②若∠BAC＝100°，求∠DHE的度数；

(2)在△ABC中，∠A＝50°，直接写出∠DHE的度数是            ．

【例4】如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C．求∠1＋∠2的度数．

【例5】如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，垂足为P，求∠1，∠D的度数．

巩固练习

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是(　　)

A．75°    B．65°    C．55°    D．45°

2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(　　)

A. 40°         B. 50°        C. 60°       D. 70°

2题                 3题                 4题                     7题

3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为(　　)

A．30°    B．40°    C．50°    D．60°

4. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝(　　)

A. 35°  B. 95°  C.  85°  D. 75°　　　　

5. 在△ABC中，若∠C＝40°，∠B＝4∠A，则∠A的度数是(　　)

A．30°    B．28°    C．26°     D．40°

6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数为(　　)

A．80°    B．70°    C．60°    D．50°

7. 如图，在△ABC中，D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD＝30°，则∠BDC的度数为(　　)

A．100°    B．110°    C．120°    D．130°

8. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为              (　　)

A.118°    B.119°    C.120°    D.121°

9. 如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是(　　)

A．45°    B．50°    C．55°    D．80°

     9题                           11题                            12题

二、填空题（本大题共6道小题）

11. 如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，

则∠BAC＝________．　　　　

12. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D.若∠A＝80°，则∠BOD＝________°.

13. 如图，∠AOB＝50°，P是OB上的一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为________时，△AOP为直角三角形．

13题                    14题                   15题

14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.

15. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.若∠A＝70°，则∠BOC＝________°.

16. 定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么“特征角”α的度数为____________．

三、解答题（本大题共4道小题）

17. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝35°，∠BAD＝30°，求∠C的度数．

18. 如图，A处在B处的北偏西45°方向，C处在B处的北偏东15°方向，C处在A处的南偏东80°方向，求∠ACB的度数．

19. 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC.

(1)如图①，作∠BAC的平分线AD，与CB，BE分别交于点D，F.求证:∠EFD=∠ADC;

(2)如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，交CB的延长线于点D，反向延长AD交BE的延长线于点F，则(1)中的结论是否仍然成立?为什么?

20. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．

(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；

(2)若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C－∠B之间的数量关系，并加以证明．