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江苏省无锡市无锡金桥双语实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版）
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这是一份江苏省无锡市无锡金桥双语实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版），共37页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省无锡市无锡金桥双语实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
4．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（第4题） （第5题） （第8题）
5．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
6．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等； ④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点D，E，与AB分别交于点G，H，且DG的延长线和CB的延长线交于点F，则CF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：
①∠A＝45°；②AC＝AB；③弧AE＝弧BE； ④2CE•AB＝BC2，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10． 如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝2BE＝6，将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF，取EF中点G，连接AG，延长CF交AG于点H．若2AH＝5HG，则BD长是（ ）
A． B．9 C． D．3
（第9题） （第10题）
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填与在横线上）.
11.若关于x的一元二次方方程的根是 .
12．在一张比例尺为1：200000的地图上，A、B两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是 千米．
13．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为 ．
14．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径AD交BC于点E，若∠B＝40°，则∠AEC的度数为 °．
16．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是 ．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝ ．
（第14题） （第15题） （第17题） （第18题）
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分12分）解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0（配方法）． （2）（x+2）2＝3x+6；
（3）x2+4x+2＝0（用公式法）． （4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0．
20． （本题满分8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，
AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
21．（本题满分8分）（1）如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上．．请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝．
（2）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）．
①如图2，AC＝BC；②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC．
22．（本题满分8分）已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
23．（本题满分10分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
24．（本题满分10分）如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）如图2，若＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．
25．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
26．（本题满分10分）“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通罩的日均销售量为120包，当每包售价降价0.5元时，日均销售量增加10包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是 元．（直接写出答案，售价为整数元）
27．（本题满分10分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
28．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【参考答案】
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据一元二次方程的概念判断．
【解答】解：是一元一次方程，故A错误；
还有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；
还有分式，不是一元二次方程，故C错误；
是一元二次方程。
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的概念．
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据比例的性质，即可得到2x＝3y，进而得出＝．
【解答】解：∵，
∴5x＝3x+3y，
即2x＝3y，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
3．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
【分析】先根据点P坐标求出点P到原点O的距离OP，再判断OP与圆的半径的大小关系，从而得出答案．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
又⊙P的半径r＝4，
∴OP＞r，
∴原点O在⊙P外，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
4．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM＝AB＝3，
根据勾股定理，得：OA＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．
5．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
【分析】由▱ABCD，推出AD∥BE，BN＝ND，进而推得△ADM∽△EBM，根据相似三角形的性质和E为BC的中点可证得＝，即可证得结论．
【解答】解：∵▱ABCD，
∴AD∥BE，AD＝BC，BN＝ND，
∴△ADM∽△EBM，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴＝，
设BM＝1，则MD＝2，BD＝3，
∴DN＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
6．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等； ④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误；
不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误；
等弧所对的圆周角相等，正确，故命题③正确；
平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故命题④错误，
故选：B．
【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否正确．
8. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
【分析】根据根与系数的关系，在的条件下，得出．把变形为，代入得出方程，求出方程的解，最后检验即可。
【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴
∴，
∴，解得（舍）
故选：A．
【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否正确．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点D，E，与AB分别交于点G，H，且DG的延长线和CB的延长线交于点F，则CF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】如图所示，连接OD、OE，根据切线的性质得到∠ODC＝∠OEC＝90°，OE＝OD，据等腰直角三角形的性质得到∠C＝90°，∠A＝45°，得到四边形DCEO是正方形，求得OD＝AD＝AC＝1，求得∠EOB＝45°，得到∠ODG＝135°，得到∠OGD＝∠ODG＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到BG＝BF，；根据角平分线的判定定理得到O在∠ACB的角平分线上，根据等腰三角形的性质得到O是AB中点，求得AD＝CD＝OD＝OE＝1，得到OG＝1，根据勾股定理得到AB＝AC＝2，于是得到AH＝BG＝﹣1；CF＝2+BF＝+1．
【解答】解：如右图所示，连接OD、OE，
∵⊙O与AC、BC切于点D、E，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，OE＝OD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝90°，∠A＝45°，
∴四边形DCEO是正方形，
∴OD∥BC，OE＝OD，OD⊥AC，
△ADO是等腰直角三角形，
∴OD＝AD＝AC＝1，
∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠EOB＝45°，
∴∠ODG＝135°，
∵OD＝OG，
∴∠OGD＝∠ODG＝22.5°，
∴∠BGF＝22.5°，
∵∠BGF+∠F＝∠ABC＝45°，
∴∠F＝22.5°，
∴BG＝BF，
∵OE＝OD，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴O是AB中点，
∴AD＝CD，
又∵AC＝2，
∴AD＝CD＝OD＝OE＝1，
∴OG＝1，
又∵AB＝AC＝2，
∴OB＝，
∴BG＝OB﹣OG＝﹣1，
∴CF＝2+BF＝2+BG＝+1．．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、切线的性质．解题的关键是构造正方形DCEO．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：
①∠A＝45°；②AC＝AB；③弧AE＝弧BE； ④2CE•AB＝BC2，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先连接AD，OE，BE，由AB为⊙O的直径，CD＝BD，易证得AB＝AC，又由∠C＝70°，可求得∠BAC＝40°；继而可求得∠BOE＝80°，∠AOE＝100°，则可得弧AE≠弧BE；易证得△CEB∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2CE•AB＝BC2．
【解答】解：连接AD，OE，BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵CD＝BD，
∴AC＝AB，
故②正确；
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
故①错误；
∵∠BOE＝2∠BAC＝80°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝100°，
∴弧AE≠弧BE；
故③错误；
∵∠CEB＝∠ADB＝90°，∠CBE＝∠CAD＝∠BAD，
∴△CEB∽△BDA，
∴，
∴BC•BD＝AB•CE，
∵BC＝2BD，
∴2CE•AB＝BC2．
故④正确．
故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
11． 如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝2BE＝6，将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF，取EF中点G，连接AG，延长CF交AG于点H．若2AH＝5HG，则BD长是（ ）
A． B．9 C． D．3
【分析】在BC上截取CM＝BE＝3，连接FM，则利用等边三角形的性质得BD＝EM，再根据旋转的性质得到∠DEF＝60°，ED＝EF，接着可证明△BDE≌△MEF，得到∠B＝∠EMF＝60°，BE＝MF＝CM，则∠MCF＝∠MFC＝30°，所以CH平分∠ACB；延长CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，根据等边三角形的性质得CN垂直平分AB，所以CN∥GO∥EP，利用平行线分线段成比例定理得到＝＝，则ON＝AN，＝＝1，则NO＝OP，所以NP＝AN＝BN，于是BP＝BN﹣NP＝BN，然后利用∠BEP＝∠NCB＝30°得到BP＝BE＝1.5，所以BN＝AN＝6，易得AB＝2BN＝12，再利用BD＝AB﹣AD进行计算即可．
【解答】解：在BC上截取CM＝BE＝3，连接FM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝60°，
AD＝2BE＝BE+CM，
∴BD＝EM，
∵将线段DE绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，
∴∠DEF＝60°，ED＝EF，
∴∠DEB+∠MEF＝120°，
而∠DEB+∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝∠MEF，
在△BDE和△MEF中，
，
∴△BDE≌△MEF（SAS），
∴∠B＝∠EMF＝60°，BE＝FM，
∴MF＝CM，
∴∠MCF＝∠MFC＝∠EMF＝30°，
∴CH平分∠ACB；
延长CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，
∵CH平分∠ACB
∴CN垂直平分AB，AN＝BN，
∴CN∥GO∥EP
∴＝＝，即ON＝AN，
∵G点为EF的中点，
∴EG＝GF，
∴＝＝1，
即NO＝OP，
∴NP＝AN＝BN，
∴BP＝BN﹣NP＝BN﹣BN＝BN，
∵PE∥CN，
∴∠BEP＝∠NCB＝30°，
∴BP＝BE＝×3＝1.5，
∴BN＝AN＝6，
∴AB＝2BN＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理．本题难度较大．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填与在横线上）.
11.若关于x的一元二次方方程的根是 .
【分析】用因式分解法解方程。
【解答】解：
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解方程．
12．在一张比例尺为1：200000的地图上，A、B两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是 千米．
【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．
【解答】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：200000＝3：x，
解得：x＝600000，
600000厘米＝6km．
故答案为：6．
【点评】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算．
13．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为 ．
【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．
【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2＝144，
解得：x＝0.2＝20%或x＝-2.2（舍去），
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
14．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ．
【分析】根据三角形的重心的概念得到BD＝DC＝BC＝6，AG＝2GD，证明△AGE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BD＝DC＝BC＝6，AG＝2GD，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得，GE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径AD交BC于点E，若∠B＝40°，则∠AEC的度数为 °．
【分析】连接BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB，利三角形的内角和定理可求解∠BAC，∠ACB的度数，根据圆周角定理可得∠BAD的度数，进而可求解．
【解答】解：连接BD，则∠ACB＝∠ADB，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAD＝40°+20°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求解∠BAD的度数是解题的关键．
16．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 ．
【分析】将n2+2n﹣1＝0变形为_﹣1＝0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+＝2，代入＝m+1+可得．
【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+﹣＝0．
∴﹣﹣1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+＝2．
∴＝m+1+＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是 ．
【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝13，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝6.5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝2，
∴BN﹣MN≤BM≤BN+NM，
∴6.5﹣2≤BM≤6.5+2，即4.5≤BM≤8.5，
故答案为：4.5≤BM≤8.5．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝ ．
【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，
∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，
∵∠ACB＝90°，
∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，
∴∠BAD+∠ABE＝45°，
∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝，
∴FG＝EG＝1，
∵AF＝4，
∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理得，AE＝＝，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACF＝45°＝∠AFE，
∵∠CAF＝∠FAE，
∴△AEF∽△AFC，
∴，
∴AC＝＝＝，
故答案为．
【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE是解本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分12分）解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0（配方法）． （2）（x+2）2＝3x+6；
（3）x2+4x+2＝0（用公式法）． （4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（3）首先计算b2﹣4ac的值，再利用求根公式得出答案；
（4）分解因式进而解方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣5x+1＝0，
方程变形得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程变形得：（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x+2﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（3）x2+4x+2＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝2，b2﹣4ac＝16-8＝8，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
（x+2﹣5）2＝0，
∴x1＝x2＝3．
【点评】此题主要考查了配方法以及公式法和因式分解法解方程，正确应用公式法解方程是解题关键．
20．（本题满分8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
【分析】（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，构建方程即可解决问题．
（2）根据S△BCO＝BC⋅OF＝OC⋅BE，求解即可．
【解答】解：（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4，
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2+42＝r2
∴r＝5．
（2）∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，
∴BC＝＝4（cm）
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝BC⋅OF＝OC⋅BE
∴4⋅OF＝5×4，
∴OF＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（本题满分8分）（1）如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上．．请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝．
（2）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）．
①如图2，AC＝BC；②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC．
【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB＝2，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可；
（2）①过点C作直径CD，由于AC＝BC，＝，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
②连接PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE＝CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）如图1，由勾股定理得，AB＝＝2；
∵AB＝2，所以，AP＝时AP：BP＝2：1．
点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
（2）①如图1，
直径CD为所求；
②如图2，
弦AD为所求．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．
22．（本题满分8分）已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
【分析】（1）把x＝2代入方程，列出关于k的新方程；然后由根与系数的关系解答；
（2）证明根的判别式是非负数0即可．
【解答】解：（1）把x＝2代入方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0，
得：4（k﹣2）﹣2k+2＝0．
解得：k＝3．
由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，即2+x2＝﹣＝3，
所以x2＝1；
（2）证明：当k﹣2＝0即＝2时，该方程是﹣2x+2＝0，此时x＝1，符合题意．
当k﹣2≠0，时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）×2＝（k﹣4）2≥0，该方程总有实数根．
综上所述，无论k取何值，该方程总有实数根．
【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（本题满分10分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明＝，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（本题满分10分）如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）如图2，若＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【解答】（1）相似．
证明：如图1中，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE
∴，即，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）如图2中，连接DM、EM．
由＝得，
∴BC＝18，
又EM＝DM＝9，MF⊥DE，且FD＝FE＝6，
∴FM＝＝＝3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
【分析】（1）连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝DE，求得∠DAE＝∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，等量代换得到∠DEO＝90°，于是得到结论；
（2）证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．
【解答】（1）证明：连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA＝90°，
即∠DEO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC，
∴，
∵CA＝6，CE＝3.6，
∴，
∴BC＝10，
∵∠CAB＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB＝＝8，
∴OA＝4，
即⊙O的半径OA的长是4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．
26．（本题满分10分）“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通罩的日均销售量为120包，当每包售价降价0.5元时，日均销售量增加10包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是 元．（直接写出答案，售价为整数元）
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设N95口罩每包售价是n元，根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可用含n的代数式表示出a值，结合a的取值范围可得出n的取值范围，再结合a，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元；
（3）设 N95口罩每包的售价是n元，
依题意，得：（20000﹣a）n﹣20×20000＝20×20000×10%，≤n≤，
∴a＝20000﹣．
∵6000≤a≤7000，
∴6000≤20000﹣≤7000，
又∵a和n均为正整数，
∴n＝32．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出a值．
27．（本题满分10分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；
（2）①先判断出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA即可；
②由△ABC∽△DCA得出CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD，即可得出结论；
（3）过点A作AH⊥BD于点H，证△ABH∽△DBC，得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，再由AB•BC＝AC2推出BD2＝AC2，据此可得答案．
【解答】（1）解：①当AC2＝BC•AB时，AC2＝2×3＝6，
∵AC＞0，
∴AC＝，3﹣2＜＜3+2（成立）；
②当AB2＝BC•AC时，22＝3AC，
∴AC＝，3﹣2＜＜3+2（成立）；
③当BC2＝AB•AC时，32＝2AC，
∴AC＝，3﹣2＜＜3+2（成立）；
综上所述，满足条件的AC的长为或或；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠CAD，
∴△ABC∽△DCA，
∴＝，
即CA2＝BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC•AB，
∴△ABC是比例三角形．
（3）解：如图2，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD，
∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴＝，
即AB•BC＝BH•BD，
∴AB•BC＝BD2，
又∵AB•BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴BD2＝2AC2，
∵BD＞0，AC＞0，
∴BD＝AC，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到AB＝BC＝4，根据勾股定理得到AF＝＝＝2，如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG＝BF＝2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∵当A、E、F三点在一直线上时，
∵∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝2，
如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，
∴CD＝﹣；
如图2，当AE在AB右下方时，
同理，AE＝AF+EF＝2+2，
∴CD＝+；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为﹣或+；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，
则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝2，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴2≤AG≤6，
∴FM≤3．
【点评】本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
江苏省无锡市无锡金桥双语实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
4．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（第4题） （第5题） （第8题）
5．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
6．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等； ④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点D，E，与AB分别交于点G，H，且DG的延长线和CB的延长线交于点F，则CF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：
①∠A＝45°；②AC＝AB；③弧AE＝弧BE； ④2CE•AB＝BC2，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10． 如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝2BE＝6，将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF，取EF中点G，连接AG，延长CF交AG于点H．若2AH＝5HG，则BD长是（ ）
A． B．9 C． D．3
（第9题） （第10题）
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填与在横线上）.
11.若关于x的一元二次方方程的根是 .
12．在一张比例尺为1：200000的地图上，A、B两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是 千米．
13．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为 ．
14．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径AD交BC于点E，若∠B＝40°，则∠AEC的度数为 °．
16．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是 ．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝ ．
（第14题） （第15题） （第17题） （第18题）
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分12分）解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0（配方法）． （2）（x+2）2＝3x+6；
（3）x2+4x+2＝0（用公式法）． （4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0．
20． （本题满分8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，
AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
21．（本题满分8分）（1）如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上．．请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝．
（2）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）．
①如图2，AC＝BC；②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC．
22．（本题满分8分）已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
23．（本题满分10分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
24．（本题满分10分）如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）如图2，若＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．
25．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
26．（本题满分10分）“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通罩的日均销售量为120包，当每包售价降价0.5元时，日均销售量增加10包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是 元．（直接写出答案，售价为整数元）
27．（本题满分10分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
28．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【参考答案】
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据一元二次方程的概念判断．
【解答】解：是一元一次方程，故A错误；
还有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；
还有分式，不是一元二次方程，故C错误；
是一元二次方程。
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的概念．
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据比例的性质，即可得到2x＝3y，进而得出＝．
【解答】解：∵，
∴5x＝3x+3y，
即2x＝3y，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
3．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
【分析】先根据点P坐标求出点P到原点O的距离OP，再判断OP与圆的半径的大小关系，从而得出答案．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
又⊙P的半径r＝4，
∴OP＞r，
∴原点O在⊙P外，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
4．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM＝AB＝3，
根据勾股定理，得：OA＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．
5．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
【分析】由▱ABCD，推出AD∥BE，BN＝ND，进而推得△ADM∽△EBM，根据相似三角形的性质和E为BC的中点可证得＝，即可证得结论．
【解答】解：∵▱ABCD，
∴AD∥BE，AD＝BC，BN＝ND，
∴△ADM∽△EBM，
∴，
∵E为BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴＝，
设BM＝1，则MD＝2，BD＝3，
∴DN＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
6．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等； ④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误；
不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误；
等弧所对的圆周角相等，正确，故命题③正确；
平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故命题④错误，
故选：B．
【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否正确．
8. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
【分析】根据根与系数的关系，在的条件下，得出．把变形为，代入得出方程，求出方程的解，最后检验即可。
【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴
∴，
∴，解得（舍）
故选：A．
【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否正确．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点D，E，与AB分别交于点G，H，且DG的延长线和CB的延长线交于点F，则CF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】如图所示，连接OD、OE，根据切线的性质得到∠ODC＝∠OEC＝90°，OE＝OD，据等腰直角三角形的性质得到∠C＝90°，∠A＝45°，得到四边形DCEO是正方形，求得OD＝AD＝AC＝1，求得∠EOB＝45°，得到∠ODG＝135°，得到∠OGD＝∠ODG＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到BG＝BF，；根据角平分线的判定定理得到O在∠ACB的角平分线上，根据等腰三角形的性质得到O是AB中点，求得AD＝CD＝OD＝OE＝1，得到OG＝1，根据勾股定理得到AB＝AC＝2，于是得到AH＝BG＝﹣1；CF＝2+BF＝+1．
【解答】解：如右图所示，连接OD、OE，
∵⊙O与AC、BC切于点D、E，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，OE＝OD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝90°，∠A＝45°，
∴四边形DCEO是正方形，
∴OD∥BC，OE＝OD，OD⊥AC，
△ADO是等腰直角三角形，
∴OD＝AD＝AC＝1，
∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠EOB＝45°，
∴∠ODG＝135°，
∵OD＝OG，
∴∠OGD＝∠ODG＝22.5°，
∴∠BGF＝22.5°，
∵∠BGF+∠F＝∠ABC＝45°，
∴∠F＝22.5°，
∴BG＝BF，
∵OE＝OD，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴O是AB中点，
∴AD＝CD，
又∵AC＝2，
∴AD＝CD＝OD＝OE＝1，
∴OG＝1，
又∵AB＝AC＝2，
∴OB＝，
∴BG＝OB﹣OG＝﹣1，
∴CF＝2+BF＝2+BG＝+1．．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、切线的性质．解题的关键是构造正方形DCEO．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：
①∠A＝45°；②AC＝AB；③弧AE＝弧BE； ④2CE•AB＝BC2，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先连接AD，OE，BE，由AB为⊙O的直径，CD＝BD，易证得AB＝AC，又由∠C＝70°，可求得∠BAC＝40°；继而可求得∠BOE＝80°，∠AOE＝100°，则可得弧AE≠弧BE；易证得△CEB∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2CE•AB＝BC2．
【解答】解：连接AD，OE，BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵CD＝BD，
∴AC＝AB，
故②正确；
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
故①错误；
∵∠BOE＝2∠BAC＝80°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝100°，
∴弧AE≠弧BE；
故③错误；
∵∠CEB＝∠ADB＝90°，∠CBE＝∠CAD＝∠BAD，
∴△CEB∽△BDA，
∴，
∴BC•BD＝AB•CE，
∵BC＝2BD，
∴2CE•AB＝BC2．
故④正确．
故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
11． 如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝2BE＝6，将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF，取EF中点G，连接AG，延长CF交AG于点H．若2AH＝5HG，则BD长是（ ）
A． B．9 C． D．3
【分析】在BC上截取CM＝BE＝3，连接FM，则利用等边三角形的性质得BD＝EM，再根据旋转的性质得到∠DEF＝60°，ED＝EF，接着可证明△BDE≌△MEF，得到∠B＝∠EMF＝60°，BE＝MF＝CM，则∠MCF＝∠MFC＝30°，所以CH平分∠ACB；延长CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，根据等边三角形的性质得CN垂直平分AB，所以CN∥GO∥EP，利用平行线分线段成比例定理得到＝＝，则ON＝AN，＝＝1，则NO＝OP，所以NP＝AN＝BN，于是BP＝BN﹣NP＝BN，然后利用∠BEP＝∠NCB＝30°得到BP＝BE＝1.5，所以BN＝AN＝6，易得AB＝2BN＝12，再利用BD＝AB﹣AD进行计算即可．
【解答】解：在BC上截取CM＝BE＝3，连接FM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝60°，
AD＝2BE＝BE+CM，
∴BD＝EM，
∵将线段DE绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，
∴∠DEF＝60°，ED＝EF，
∴∠DEB+∠MEF＝120°，
而∠DEB+∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝∠MEF，
在△BDE和△MEF中，
，
∴△BDE≌△MEF（SAS），
∴∠B＝∠EMF＝60°，BE＝FM，
∴MF＝CM，
∴∠MCF＝∠MFC＝∠EMF＝30°，
∴CH平分∠ACB；
延长CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，
∵CH平分∠ACB
∴CN垂直平分AB，AN＝BN，
∴CN∥GO∥EP
∴＝＝，即ON＝AN，
∵G点为EF的中点，
∴EG＝GF，
∴＝＝1，
即NO＝OP，
∴NP＝AN＝BN，
∴BP＝BN﹣NP＝BN﹣BN＝BN，
∵PE∥CN，
∴∠BEP＝∠NCB＝30°，
∴BP＝BE＝×3＝1.5，
∴BN＝AN＝6，
∴AB＝2BN＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理．本题难度较大．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填与在横线上）.
11.若关于x的一元二次方方程的根是 .
【分析】用因式分解法解方程。
【解答】解：
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解方程．
12．在一张比例尺为1：200000的地图上，A、B两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是 千米．
【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．
【解答】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：200000＝3：x，
解得：x＝600000，
600000厘米＝6km．
故答案为：6．
【点评】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算．
13．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为 ．
【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．
【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2＝144，
解得：x＝0.2＝20%或x＝-2.2（舍去），
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
14．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ．
【分析】根据三角形的重心的概念得到BD＝DC＝BC＝6，AG＝2GD，证明△AGE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BD＝DC＝BC＝6，AG＝2GD，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得，GE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径AD交BC于点E，若∠B＝40°，则∠AEC的度数为 °．
【分析】连接BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB，利三角形的内角和定理可求解∠BAC，∠ACB的度数，根据圆周角定理可得∠BAD的度数，进而可求解．
【解答】解：连接BD，则∠ACB＝∠ADB，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAD＝40°+20°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求解∠BAD的度数是解题的关键．
16．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 ．
【分析】将n2+2n﹣1＝0变形为_﹣1＝0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+＝2，代入＝m+1+可得．
【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+﹣＝0．
∴﹣﹣1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+＝2．
∴＝m+1+＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是 ．
【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝13，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝6.5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝2，
∴BN﹣MN≤BM≤BN+NM，
∴6.5﹣2≤BM≤6.5+2，即4.5≤BM≤8.5，
故答案为：4.5≤BM≤8.5．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝ ．
【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，
∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，
∵∠ACB＝90°，
∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，
∴∠BAD+∠ABE＝45°，
∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝，
∴FG＝EG＝1，
∵AF＝4，
∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理得，AE＝＝，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACF＝45°＝∠AFE，
∵∠CAF＝∠FAE，
∴△AEF∽△AFC，
∴，
∴AC＝＝＝，
故答案为．
【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE是解本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分12分）解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0（配方法）． （2）（x+2）2＝3x+6；
（3）x2+4x+2＝0（用公式法）． （4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（3）首先计算b2﹣4ac的值，再利用求根公式得出答案；
（4）分解因式进而解方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣5x+1＝0，
方程变形得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程变形得：（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（x+2﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（3）x2+4x+2＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝2，b2﹣4ac＝16-8＝8，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
（x+2﹣5）2＝0，
∴x1＝x2＝3．
【点评】此题主要考查了配方法以及公式法和因式分解法解方程，正确应用公式法解方程是解题关键．
20．（本题满分8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
【分析】（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，构建方程即可解决问题．
（2）根据S△BCO＝BC⋅OF＝OC⋅BE，求解即可．
【解答】解：（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4，
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2+42＝r2
∴r＝5．
（2）∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，
∴BC＝＝4（cm）
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝BC⋅OF＝OC⋅BE
∴4⋅OF＝5×4，
∴OF＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（本题满分8分）（1）如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上．．请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝．
（2）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）．
①如图2，AC＝BC；②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC．
【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB＝2，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可；
（2）①过点C作直径CD，由于AC＝BC，＝，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
②连接PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE＝CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）如图1，由勾股定理得，AB＝＝2；
∵AB＝2，所以，AP＝时AP：BP＝2：1．
点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
（2）①如图1，
直径CD为所求；
②如图2，
弦AD为所求．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．
22．（本题满分8分）已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
【分析】（1）把x＝2代入方程，列出关于k的新方程；然后由根与系数的关系解答；
（2）证明根的判别式是非负数0即可．
【解答】解：（1）把x＝2代入方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0，
得：4（k﹣2）﹣2k+2＝0．
解得：k＝3．
由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，即2+x2＝﹣＝3，
所以x2＝1；
（2）证明：当k﹣2＝0即＝2时，该方程是﹣2x+2＝0，此时x＝1，符合题意．
当k﹣2≠0，时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）×2＝（k﹣4）2≥0，该方程总有实数根．
综上所述，无论k取何值，该方程总有实数根．
【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（本题满分10分）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明＝，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（本题满分10分）如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）如图2，若＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【解答】（1）相似．
证明：如图1中，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE
∴，即，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）如图2中，连接DM、EM．
由＝得，
∴BC＝18，
又EM＝DM＝9，MF⊥DE，且FD＝FE＝6，
∴FM＝＝＝3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
【分析】（1）连接AE，OE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到AD＝DE，求得∠DAE＝∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，等量代换得到∠DEO＝90°，于是得到结论；
（2）证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．
【解答】（1）证明：连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA＝90°，
即∠DEO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC，
∴，
∵CA＝6，CE＝3.6，
∴，
∴BC＝10，
∵∠CAB＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB＝＝8，
∴OA＝4，
即⊙O的半径OA的长是4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．
26．（本题满分10分）“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通罩的日均销售量为120包，当每包售价降价0.5元时，日均销售量增加10包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是 元．（直接写出答案，售价为整数元）
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设N95口罩每包售价是n元，根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可用含n的代数式表示出a值，结合a的取值范围可得出n的取值范围，再结合a，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元；
（3）设 N95口罩每包的售价是n元，
依题意，得：（20000﹣a）n﹣20×20000＝20×20000×10%，≤n≤，
∴a＝20000﹣．
∵6000≤a≤7000，
∴6000≤20000﹣≤7000，
又∵a和n均为正整数，
∴n＝32．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出a值．
27．（本题满分10分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；
（2）①先判断出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA即可；
②由△ABC∽△DCA得出CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD，即可得出结论；
（3）过点A作AH⊥BD于点H，证△ABH∽△DBC，得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，再由AB•BC＝AC2推出BD2＝AC2，据此可得答案．
【解答】（1）解：①当AC2＝BC•AB时，AC2＝2×3＝6，
∵AC＞0，
∴AC＝，3﹣2＜＜3+2（成立）；
②当AB2＝BC•AC时，22＝3AC，
∴AC＝，3﹣2＜＜3+2（成立）；
③当BC2＝AB•AC时，32＝2AC，
∴AC＝，3﹣2＜＜3+2（成立）；
综上所述，满足条件的AC的长为或或；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠CAD，
∴△ABC∽△DCA，
∴＝，
即CA2＝BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC•AB，
∴△ABC是比例三角形．
（3）解：如图2，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD，
∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴＝，
即AB•BC＝BH•BD，
∴AB•BC＝BD2，
又∵AB•BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴BD2＝2AC2，
∵BD＞0，AC＞0，
∴BD＝AC，
∴＝．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到AB＝BC＝4，根据勾股定理得到AF＝＝＝2，如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG＝BF＝2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝4，
∵当A、E、F三点在一直线上时，
∵∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝2，
如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，
∴CD＝﹣；
如图2，当AE在AB右下方时，
同理，AE＝AF+EF＝2+2，
∴CD＝+；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为﹣或+；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，
则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝2，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴2≤AG≤6，
∴FM≤3．
【点评】本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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