江苏省无锡市江阴市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江苏省无锡市江阴市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
5．某种服装原价每件160元，经两次降价，现售价每件102.4元．设该服装平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．已知的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与的公共点个数为（ ）
A．2个B．1个C．0个D．无法判断
7．下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，PA、PB是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若，则的周长为（ ）
（第8题图）
A．B．2C．3D．6
9．如图，的半径为3，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L是它的十二等分点，则图中阴影部分（即四边形BCKL和四边形EFHI）的面积之和为（ ）
（第9题图）
A．9B．18C．D．
10．如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（ ）
（第10题图）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则______．
12．如图，AB是的直径，AC切于A，BC交于点D，若，则的度数为______°．
（第12题图）
13．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是______．
14．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
15．用一个半径为20cm，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为______cm．
16．勾股容圆最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是______步．
17．如图，半径为1的与正五边形ABCDE的边AE、CD相切，切点分别是点A、C，则劣弧AC的长度为______．
（第17题图）
18．已知，点，点，直线l经过点B且垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，的角平分线与直线l交于点Q，则的形状一定是______；当点P运动至某一位置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P的坐标为______．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分10分）解方程：
（1）；（2）．
20．（本题满分8分）已知一个数的平方与20的差等于这个数与10的和，求这个数．
21．（本题满分8分）如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离少1m．求梯子的底端到墙面的距离．
（第21题图）
22．（本题满分10分）如图，BD是的角平分线，点O是BD上一点，与AB相切于点M，与BD交于点E、F．
（第22题图）
（1）求证：BC是的切线；
（2）连接EM，若，求的度数．
23．（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值．
24．（本题满分10分）如图，在中，，以AB为直径的圆交BC于点D，交AC于点E，连接OD．
（第24题图）
（1）求证：；
（2）若，，求BD的长．
25．（本题满分10分）一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元．如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低0.5元，但每件商品价格不得少于100元．
（1）若购买商品63件，则每件商品的价格为______元；
（2）若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？
26．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．
（第26题图） （备用图）
（1）当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值；
（2）当以EF为直径的圆与BC相切时，求t的值；
（3）在运动的过程中，点B到EF的最远距离为______．
27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，过点A、B的与y轴交于C、D两点（点C在点D上方），连接AC、BD，点E为AC中点．
（第27题图） （备用图1） （备用图2）
（1）连接OE，求证：；
（2）若的半径为2，AB、CD的平方和等于24，求OP的长度；
（3）连接PE，若，点P在内部，且，则B点坐标为______．
28．（本题满分10分）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”．
【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，AB长为半径画圆弧，则三条弧AB，BC，AC及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”．
【判断】（1）______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”；
【操作】（2）如图2，边长为1的正方形ABCD，请作出正方形ABCD的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形ABCD的“伴侣形”的周长；
图1 图2
【探究】（3）结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；
【归纳】（4）边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______．
图3
2023—2024学年第一学期期中考试
初三数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．D 2．C 3．C 4．D 5．D 6．A 7．B 8．B 9．A 10．B
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分．）
11．－6 12．40° 13．12 14．
15．15 16．6 17． 18．等腰三角形；或
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）解：或，，．
（2）解：，，．（公式法判别式算对给2分）
20．解：设这个数为x，则，∴，．
21．解：设梯子的底端到墙面的距离为x米，
由勾股定理可得：．解之得：，．
∵，∴，答：梯子的底端到墙面的距离为3米．
22．证明：（1）连接OM，过O作于N．
∵AB与相切于M，∴．
∵BD是的角平分线，，，
∴半径．∴BC是的切线．
（2）∵，∴．
∵BD是的角平分线，∴，
∴，∵，∴．
∵，∴，，
∴，∴．
23．（1）由题可知：，∴．
（2）由题可知：，
∴，∵，∴．
24．解：（1）∵AB为直径，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴．∴．
（法二：中位线）
（2）连接BE．则．
∵，，∴．
∵．由勾股定理得：．
∵．由勾股定理得：．
∵，∴．
25．解：（1）118.5．
（2）设买了x件商品．
①当时，舍去．
②当时，．解之得，．
∵每件价格不得少于100元，∴．
③当时，舍去．
答：小明共买了80件商品．
26．解：（1）（过程略）．
（2）连接AC，与EF交于点O，
∵，∴，即EF的中点为矩形ABCD中心．
∴圆半径为3，则，由勾股定理可得：，
解之得，．综上：或．
（3）．
27．（１）延长EO交BD于F，
∵，，∴，∴.
∵，，
∴，∴.
（2）由题可知：，
过P作于M，作于N．
∴，.
由勾股定理可知：，，
相加可得：，∴．
（3）．
28．（1）不是；不是． （2）画出图形 （3） （4）