江苏省泰州市靖江高级中学2022-2023学年高一上学期第三次阶段考试数学试题及答案

江苏省泰州市靖江高级中学2022-2023学年高一上学期第三次阶段考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算（    ）

A． B． C． D．

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数（，且）的图像恒过点P，若点是角终边上的一点，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．4

5．若，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ）

A．是偶函数

B．的图象关于直线对称

C．的最小正周期是

D．在内单调递增

8．记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

10．下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的有（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数的图象关于点对称，则（    ）

A．

B．直线是曲线的一条对称轴

C．

D．在区间上单调递增

12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其中正确的有（    ）

A．任意，函数都恰有3个不同的零点

B．存在，使得函数没有零点

C．任意，函数都恰有1个零点

D．存在，使得函数有4个不同的零点

三、填空题

13．已知面积为的圆弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为__________.

14．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.

15．已知函数为偶函数，点是函数图象上的两点，若的最小值为3，则__________.

16．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

18．已知函数.

(1)求值；

(2)若，求的值.

19．己知函数的最小正周期是4，且图象经过点.

(1)求的解析式；

(2)求在上的单调增区间.

20．已知函数为偶函数.

(1)求的值；

(2)解不等式.

21．已知函数

(1)求的单调递减区间，对称轴和对称中心；

(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值.

22．已知为偶函数，其中且且.

(1)求的最小值；

(2)设，当时，总存在，使得，求的取值范围.

参考答案：

1．D

【分析】利用诱导公式化简可得结果.

【详解】由诱导公式可得.

故选：D.

2．A

【分析】根据对数的真数大于0，分母不为0，偶次根下大于等于0，列出相应的不等式方程组进行求解.

【详解】由已知得，，解得，故定义域为.

故选：A

3．D

【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求解即可.

【详解】解：∵，

∴函数（，且）的图像恒过点，

∴由三角函数定义得

故选：D

4．B

【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】函数是定义在上的奇函数，

.

故选：B

5．C

【分析】由指数函数，对数函数的性质，诱导公式与余弦函数的性质比较，

【详解】，，，，

故，

故选：C

6．D

【分析】由题知在上单调递增，且在恒成立，进而解即可得答案.

【详解】解：因为函数在上单调递增，

所以在上单调递增，且在恒成立，

所以，，解得

所以，实数的取值范围为

故选：D

7．C

【分析】作出的图象，结合正切函数的性质对选项逐一判断，

【详解】作出的图象如图所示，

对于A，，故是偶函数，故A正确，

对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确，

对于C，的最小正周期是，故C错误

对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确，

故选：C

8．A

【分析】根据已知条件列方程，求得的表达式，进而求得的最小值.

【详解】由于，所以，

由于，所以，则，

由于为的一条对称轴，

所以，

由于，所以的最小值为.

故选：A

9．ACD

【分析】根据同角三角函数的平方关系可求出的值，根据角的范围得出角，进而求解.

【详解】因为，所以，

因为，也即，解得：或，

因为，所以，则，

所以，

故选：.

10．BCD

【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可.

【详解】对于A，是奇函数，因为，所以函数在定义域内不是增函数，所以A错误，

对于B，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，

因为和在上为增函数，所以在上为增函数，所以B正确，

对于C，定义域为，因为，所以此函数是奇函数，

，任取，且，则

，

因为，且，所以，，

所以，即，所以函数在上为增函数，所以C正确，

对于D，定义域为，因为，

所以函数为奇函数，

令，则，任取，且，则

，

因为，所以，，

所以，即，

所以在上为增函数，

因为在上为增函数，

所以在上为增函数，所以D正确，

故选：BCD

11．BC

【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.

【详解】依题意，

由于，所以，A选项错误.

则，

，所以直线是曲线的一条对称轴，B选项正确.

的最小正周期，所以，C选项正确.

由得，所以不是的递增区间，D选项错误.

故选：BC

12．AC

【分析】画出函数的图像，利用函数的零点

转化为函数图像的交点逐项分析.

【详解】如图的图像：

令

所以化为：

，

令，

由

所以有两个不同的实数根，

设为：，

所以，

由

所以

选项A：任意， 则如图所示：      

有两个交点，即此时原函数有两个零点，

有一个交点，即此时原函数有一个零点，

所以共3个不同的零点，故A选项正确；

当时，，此时，

故此时函数有2个零点

当时，由选项A知有3个不同的零点；

当时，，

有，此时函数有1个零点，

所以函数至少有1个零点，故B不正确；

由选项B，可知C正确；

若存在，使得函数有4个不同的零点，

如图：

则即：

有两个交点，即原函数有两个零点，

有两个交点，即原函数有两个零点，

共4个零点；

此时，

当时，矛盾；

当时，矛盾；

当时，矛盾，

故D选项错误.

故选：AC.

13．2

【分析】设弧所在圆的半径为，利用面积公式计算即可；

【详解】设弧所在圆的半径为，由题意得圆弧的面积为，

圆弧所对圆心角为，

所以由，

所以，

所以弧所在圆的半径为：2，

故答案为：2.

14．

【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.

【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.

故答案为：

15．

【分析】根据函数的奇偶性确定，再根据的最小值为3确定函数最小正周期，求得，即得函数解析式，即可求得答案.

【详解】因为函数为偶函数，

故，即，

所以，不恒等于0，

故，而，则，

点是函数图象上的两点，的最小值为3，

则的最小正周期为6，则 ，

故，故，

故答案为：

16．

【分析】转化为与有两个交点，数形结合求解，

【详解】令，得，

分别作出与的函数图象，

当经过时，

数形结合得当时在时有两个交点，

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据指数、根式的运算求得正确答案.

（2）根据对数运算求得正确答案.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．(1)1；

(2).

【分析】（1）用诱导公式和同角三角函数基本关系化简，将代入计算；

（2）由条件得的值，将代数式化简成由表示，代入计算即可.

【详解】（1），

所以.

（2），所以，

.

19．(1)

(2)和

【分析】（1）由最小正周期得，再将代入解析式求解；

（2）由三角函数的性质求解.

【详解】（1）函数的最小正周期为，得，

，得，而，

故，得，

（2）令，得，

故在上的单调增区间为和

20．(1)2；

(2)

【分析】（1）利用偶函数的性质求出的即可；

（2）由，分或解出即可；

【详解】（1）由函数为偶函数，

所以，

即

所以

（2）由（1）

所以，

当时，

，

所以

解得：；

当时，

，

所以

解得：，

所以不等式的解集为：.

21．(1)单调递减区间是；对称轴是；对称中心是

(2)或

【分析】（1）利用整体代入法求得的单调减区间，对称轴和对称中心；

（2）先求得在区间上的值域，对进行分类讨论，由此列方程求得的值.

【详解】（1）由解得，

所以的单调递减区间是.

由解得，

所以的对称轴为.

由解得，

所以的对称中心是.

（2）依题意，

由得，

所以，，

函数的最大值为6，最小值为，

若，是常数函数，不符合题意.

若，则，解得.

若，则，解得.

综上所述，或

22．(1)4

(2)

【分析】（1）利用函数为偶函数得，代入中利用基本不等式求出最小值；

（2）当时，总存在，使得，所以当时，则函数在内有零点，然后根据题意换元转化，等价出恒成立问题，再利用函数的单调性建立出不等式解出即可.

【详解】（1）因为为偶函数，

所以

所以，

所以

当且仅当时取等号，

所以的最小值为4.

（2）当时，总存在，使得，

所以当时，函数在内有零点，

由（1）知：，

令

所以，

从而，

由

所以，

令，

所以，

当不成立，

时，，对恒成立，等价于，

即，

所以或（舍去），

因为在单调递增，

所以，

即，

所以或，

又且，

所以或，

的取值范围为：.