【期末模拟检测】人教A版(2019)数学选择性必修第一册-高二上学期——期末模拟题（四）

这是一份【期末模拟检测】人教A版(2019)数学选择性必修第一册-高二上学期——期末模拟题（四），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二上册数学期末模拟题（四）-人教A版（2019）新高考  一、单选题1．以，两点为直径的圆的半径是（    ）A． B． C．2 D．12．已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（    ）A．3 B．4 C．6 D．83．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，，则下列结论中错误的是（    ）A． B．C．是平面ABCD的法向量 D．4．已知数列的前项积为，且，则（    ）A．-1 B．1 C．2 D．-25．设直线与函数的图象交于点，与直线交于点．则的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．7．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（    ）A． B． C．2 D．8．设函数（表示，中的较小者），则函数的最大值为（    ）A． B．1 C． D． 二、多选题9．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（    ）A．22 B．24C．26 D．2810．下列说法正确的是（    ）A．直线一定经过第一象限B．经过点，倾斜角为的直线方程为C．经过两点，的直线方程为D．截距相等的直线都可以用方程表示11．在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（    ）A．直线平面B．三棱锥体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为  三、填空题12．若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为______.13．已知函数曲线在点处的切线方程___________．14．已知数列的首项，其前项和为，且满足，则当取得最小值时，___________.15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________.16．已知椭圆：上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的有___________.①若，则满足题意的点有4个；②若，则；③的最大值为；④若是钝角三角形，则的取值范围是. 四、解答题17．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．18．已知，，以为邻边作平行四边形（1）求点的坐标；（2）过点A的直线l交直线BC与点E，若，求直线l的方程.19．设是等比数列的前项的和，，且、、成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为实数，为的前项的和，为数列的前项的和，且，求的值.20．如图，已知在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，．（1）求点B到平面PCD的距离；（2）在线段PB上是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆E：(a>b>0)的右焦点坐标为F ，过F的直线l交椭圆于A，B两点，当A与上顶点重合时，.（1）求椭圆E的方程；（2）若点P，记直线PA，PB的斜率分别为，证明：为定值.22．已知函数，.（1）若，证明：；（2）若恒成立，求a的取值范围.
参考答案1．A【分析】利用两点之间的距离公式求出，再根据该圆的半径为，即可得到结果.【详解】由题意可知，所以以，两点为直径的圆的半径是.故选：A.2．D【分析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，即，如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为 故选：D.3．D【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.【详解】因为，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；由A，B知，C正确；与不平行，故D错误．故选：D.4．A【分析】由递推式可得是周期为3的数列且、，可得，进而求.【详解】由题设，，，…，∴是周期为3的数列，又，且，∴.故选：A.5．A【分析】根据题意，用表示出，结合导数判断单调性，求出最值即可.【详解】由题意得，，则．设函数，，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以的值域为，故的取值范围是．故选：A.6．D【分析】先由，求得直线的交点坐标，代入直线，得到，然后将点到原点的距离的最小值，转化为原点到直线的距离求解.【详解】由，解得，所以直线的交点为，因为交点在直线上，所以，所以点到原点的距离的最小值为，故选：D7．D【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.【详解】以向量为基底向量， 所以 所以 故选：D8．B【分析】根据题意，令，根据零点存在性定理可知在上存在零点，设零点为，则，分别设和，利用导数研究函数的单调性，并结合函数图象可知当时，，可得出，当时，，此时，根据函数的单调性比较两个最大值，即可得出结果.【详解】解：由题可知，函数的定义域为，令，则，可知在上存在零点，设零点为，则，设，则，令，解得：，所以在上单调递减；在上单调递增，设，则，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，大致画出函数和的图象，结合图象可知，当时，，此时，当时，，此时，由于，则，所以函数的最大值为1.故选：B.9．AD【分析】通过计算找到数列的周期，即得解.【详解】解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．故选：AD10．AC【分析】求出直线过的定点可判断A；当时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判断C；当横纵截距都等于时可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由可得，由可得，所以该直线恒过定点，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；对于B：当时，直线的斜率不存在，所以不能写成的形式，故选项B不正确；对于C：因为，所以过点，两点的直线斜率为，所以直线的方程为，故选项C正确；对于D：当直线的横纵截距都等于时，直线的方程为，不可以用方程表示，故选项D不正确；故选：AC.11．ABD【分析】在正方体中，本题涉及线面垂直的证明，三棱锥体积的求解，异面直线所成角的范围及线面角正弦值的范围.需逐个分析、计算、证明各选项.【详解】如图，对于选项A,连接、 ,由正方体可得,且平面,则,又,且平面,所以平面,故同理可证,又,且平面,所以平面,故A正确;对于选项B, 在正方体中，易知,而平面，平面，所以平面，且因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值，面积为定值，所以三棱锥体积为定值,故B正确;对于选项C,因为, 则异面直线与所成角等于直线与所成角,易知，当点与线段的端点重合时，直线与所成角取得最小值为，故C错误;对于选项D，如图所示建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1，则,设则, 由B选项证明可知，平面,所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，当时，即为中点时，取得最大值，故D正确故选：ABD.12．2【分析】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可．【详解】解：设点，，，，或（舍去），，到抛物线的准线的距离，点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，点到该抛物线焦点的距离为：．故答案为：2.13．##【分析】根据导数的几何意义即可求出.【详解】因为,所以,曲线在点处的切线方程为.故答案为: .14．5【分析】首先根据得到，令得到，从而得到，再求当取得最小值时的值即可.【详解】由题意，可得，.令，则，即是常数列，所以，故.当时，；当时，.故当时，取得最小值.故答案为：515．【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】设点A关于直线的对称点，的中点为， ,故解得，由知军营所在区域中心为，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，“将军饮马”的最短总路程为，故答案为：16．①②③④【分析】根据椭圆焦点三角形的性质逐一判断即可.【详解】由已知得，，，对于①，因为，所以，所以这样的点有个，故①正确；对于②，因为，，，故，故②正确；对于③，，，所以，故③正确；对于④，因为为钝角三角形，且由③得，所以或为钝角，当时，最大，此时，，解得，所以三角形面积，所以，故④正确；故答案为：①②③④.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于＝(0，1，－1)，则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，则，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.18．（1）（2）和【分析】（1）根据，设列出方程，求得的值，即可求解；（2）要使，得到点B，C到直线l 的距离之比为2，分直线l的斜率存在和不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解.（1）解：由题可知，以为邻边作平行四边形，可得，所以，设且，则可得，解得，所以的坐标为.（2）解：要使，则点B，C到直线l 的距离之比为2，当斜率存在时，设l的方程为，即所以由，可得，即，解得，所以直线l的方程为.当直线斜率不存在时，l的方程为，此时，仍符合题意. 综上：l的方程为和.19．（1）（2）【分析】（1）求出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式求出、，进而可求得的值.（1）解：设等比数列的公比为，则，由已知可得，即，即，则，解得，因此，.（2）解：由（1）可知，则，，则，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，因此，.20．（1）;（2）存在，E为PB上靠近点B的三等分点.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到面距离的公式即可求出结果；（2）假设线段PB上存在点E ，设，，则，进而结合空间向量的夹角坐标公式建立方程，解方程即可求出结果.（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，．设平面PCD的法向量为，则有，即，取．设点B到平面PCD的距离为d，则，所以点B到平面PCD的距离为．（2）假设线段PB上存在点E，使得二面角的余弦值为．设，，则，从而，，．设平面ACE的法向量为，则有，即，取设平面PAC的法向量为，则有，即，取．，解得或（舍去），故线段PB上存在点E，使得二面角的余弦值为，此时E为PB上靠近点B的三等分点．21．（1）；（2）为定值0，证明见解析.【分析】(1)由已知可得点，由向量关系求出点B的坐标，然后代入椭圆E的方程即可计算得解.(2)直线l不垂直于y轴时设出其方程，与椭圆E的方程联立，借助韦达定理计算即可得解，再讨论直线l垂直于y轴的情况即可.（1）依题意，点，，于是得点，而点B在椭圆E上，因此，，解得，则有，所以椭圆E的方程为：.（2）当直线l不垂直于y轴时，设其方程为：，令，由消去x并整理得：，则，，因此，，，当直线l垂直于y轴时，点A，B分别为椭圆E的左右顶点，则，有，所以为定值0.22．（1）证明见解析（2）【分析】（1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；（2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.（1）当时，，，，易知在单调递增，且，所以时，，时，∴在单调递减，单调递增，∴.（2）∵，∴，∴，，，易知在单调递增，且，，∴，且在单调递减，单调递增，∴，且，∴，易证，∴，∴，∴，∴∴.当时，，∴实数a的取值范围是.