人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）

这是一份人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测），共16页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测） 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若复数满足其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.（5分）一个直立圆柱的侧视图是面积为的正方形，则该圆柱的体积为A.  B.  C.  D. 3.（5分）已知平面平面，直线，直线，且与相交，则和的位置关系是 A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 上述三种都有可能4.（5分）已知三棱锥的四个顶点都在同一个球的球面上，，，，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为A.  B.  C.  D. 5.（5分）已知直线，及平面，，下列命题中正确的是A. 若，，且，则
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则6.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的外接圆半径A.  B.  C.  D. 7.（5分）已知，则在方向上的投影为A.  B.  C.  D. 8.（5分）在平行四边形中，为对角线上一点，且，则A.  B.
C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）从装有个红球和个白球的口袋中任取个球，那么互斥而不对立的事件是A. 恰有个红球与恰有个红球 B. 至少有个白球与都是红球
C. 恰有个红球与恰有个白球 D. 至少有个红球与至少有个白球10.（5分）如图，已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是 
 
 A. 平面 B. 平面
C. 三棱锥的体积为 D. 直线与所成的角为11.（5分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是A. 直线与是异面直线
B. 在棱上存在点，使平面
C. 平面与平面的交线 平面
D. 当时，四棱锥的体积为12.（5分）在正方体中，点是棱上的动点，则过，，三点的截面图形是A. 等边三角形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 正方形13.（5分）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续天复工复产指数折线图，下列说法正确的是  A. 这天复工指数和复产指数均逐日增加
B. 这天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C. 第天至第天复工复产指数均超过
D. 第天至第天复产指数增量大于复工指数的增量三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．15.（5分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为______． 
 
 16.（5分）在直角三角形中，，为斜边延长线上靠近的一点，若的面积为，则______．17.（5分）已知不重合的直线，和平面，且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确的命题是_______填序号18.（5分）已知一组样本数据，，，，的极差为若，则其方差为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到的位置，使，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足． 
Ⅰ求证：平面； 
Ⅱ求三棱锥的体积．
 20.（12分）如图，半圆的半径为，为直径延长线上一点，，为半圆上任意一点，以为一边做等边三角形，设． 
当时，求四边形的面积； 
求线段长度的最大值，并指出此时的值．
 21.（12分）如图，四棱锥中，底面，，，．  
 
Ⅰ求证：平面；  
Ⅱ若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．22.（12分）已知复数，，，为虚数单位． 
若在复平面内对应向量，将绕点顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； 
若是关于的方程的一个根，求实数与的值．23.（12分）已知中，角，，的对边分别是，，，． 
若，求的值； 
若的平分线交于点，且，求周长的最小值．
答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由， 
得， 
则在复平面内对应的点的坐标为：，位于第三象限． 
故选：． 
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标得答案． 
该题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 2.【答案】A;【解析】解：一个直立圆柱的侧视图是面积为的正方形， 
该圆柱的底面圆直径和高都是， 
则该圆柱的体积为 
故选： 
该圆柱的底面圆直径和高都是，由此能求出该圆柱的体积． 
此题主要考查圆柱体积的求法，考查直立圆柱的侧视图、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】C;【解析】 
此题主要考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题. 
从选项出发，假设直线，平行或相交，推出矛盾，即可得到结论. 
 
解：若与平行， 因为，所以，与与相交矛盾，所以错 
若和相交，因为直线，直线，平面平面， 
则和都和相交且在同一点处， 这与矛盾， 所以错 
因为两条直线的位置关系有平行， 相交， 异面这三种情况， 故和只能异面 
故选
 4.【答案】C;【解析】解：三棱锥的四个顶点都在同一个球的球面上，，，，则为直角三角形． 
三棱锥体积的最大值为，所以，解得， 
所以设外接球的半径为，则，解得， 
故球的表面积为 
故选： 
首先利用锥体的体积公式的应用求出锥体的高，进一步利用勾股定理的应用求出外接球的半径，进一步求出球的表面积． 
此题主要考查的知识要点：锥体的体积公式的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 5.【答案】D;【解析】解：若，，且，，，  
 
故A不正确；  
若，，且，则不正确，  
如两个面相交，两个相交的墙面，直线，都平行于交线，  
也满足，，，所以不正确；  
若，，且，则有可能，不一定，所以不正确；  
若，，且可以判断是正确的，因为可以设两个平面的，，可得数量积为零，  
，所以可判断是正确的，故D 正确，  
故选：  
根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．  
本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断．
 6.【答案】A;【解析】解：由余弦定理可得，即，解得， 
根据正弦定理可得， 
故， 
故选：． 
先根据余弦定理求出，再由正弦定理可求得． 
该题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
 7.【答案】C;【解析】【分析】 
本题考查向量的数量积，考查向量的投影，属于基础题． 
通过向量的垂直得到向量的数量积的值，然后求解在方向上的投影． 
【解答】 
解：因为，，且， 
所以，所以， 
则在方向上的投影为 
故选：
 8.【答案】A;【解析】解：如图所示： 
 
， 
故选：． 
根据三角形法则和平行四边形法则即可求解． 
该题考查了平面向量基本定理，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 9.【答案】AC;【解析】解：从装有个红球和个白球的口袋中任取个球， 
对于，恰有个红球与恰有个红球不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故正确； 
对于，至少有个白球与都是红球是对立事件，故错误； 
对于，恰有个红球与恰有个白球不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故正确； 
对于，至少有个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故错误． 
故选： 
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 
此题主要考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
 10.【答案】ABD;【解析】 
此题主要考查线面平行、线面垂直的判定，棱锥的体积以及异面直线所成的角，属于中档题. 
根据题意逐项进行分析判定即可. 
 
解：，如图 ， 
 
因为在正方体中，，平面，所以 平面，故正确； 
，如图，连接，在正方形中，， 
 
又因为平面，平面，所以， 
又，、平面， 
所以平面， 
因为平面，所以， 
同理可证， 
又，、平面， 
所以平面，故正确； 
，如图， 
 
， 
所以三棱锥的体积为，故错误； 
，如图，取的中点，连接，，则， 
 
又，所以，所以即为直线与所成的角， 
在中，，， 
， 
所以，即直线与所成的角为，故正确. 
故选 

 11.【答案】ABC;【解析】此题主要考查空间几何体中线面平行、线面垂直的判定，考查三棱锥的体积求解问题，属于较难题． 
根据空间中异面直线的概念即可推出选项正确；取的中点，根据线面垂直的判定定理即可推出选项成立；根据线面平行的判定定理和性质定理即可得选项正确；根据面面垂直的性质定理可证得平面，计算四棱锥的体积，继而可判断出选项的正误． 
解：如图所示， 
 
选项：因为平面，平面，，平面， 
所以根据异面直线的概念可知选项正确； 
选项：取的中点，连接，，连接对角线，相交于点 
侧面为正三角形， 
 
又底面为菱形，， 
是等边三角形， 
又为中点， 
 
又，、平面 
平面，故选项正确； 
选项：因为底面为菱形， 
所以， 
又平面，平面， 
所以平面 
设平面与平面的交线为， 
因为平面，平面，平面平面， 
所以 
又因为平面，平面， 
所以平面，故选项正确； 
选项：由选项的证明过程可知， 
又因为平面平面，平面平面，平面， 
所以平面 
因为为正三角形，， 
所以 
底面为菱形，，， 
所以菱形的面积为： 
所以四棱锥的体积为：， 
故选项错误． 
故选
 12.【答案】ABC;【解析】 
此题主要考查几何体的截面问题，以及简单多面体结构特征，线面平行的应用. 
利用简单多面体的结构特征，线面平行的性质，分别讨论点的位置，即可得解. 
 
解：由点在线段上移动， 
当点与点重合时，截面图形为等边三角形； 
当点与点重合时，截面图形为矩形； 
当点不与点，重合时，截面图形为等腰梯形． 
理由如下： 
如图所示： 
 
因为，平面， 
过点作， 
所以， 
显然，易证和全等， 
则， 
所以四边形为等腰梯形. 
故选
 13.【答案】CD;【解析】 
此题主要考查折线图表示的函数的认知和理解，属于中档题． 
通过复工和折线图中都有递减的部分来判断；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断； 
 
解：由图可知，这天的复工指数和复产指数有增有减，故A错； 
由折线的变化程度可见这天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误； 
第天至第天复工复产指数均超过，故C正确； 
第天至第天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确； 
故选：． 

 14.【答案】;【解析】 
此题主要考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题． 
设三棱柱底面直角三角形的直角边为，，则棱柱的高，由外接球的体积为求得半径，可得，即，则，得到，代入三棱柱的体积公式得答案． 
 
解：设三棱柱底面直角三角形的直角边为，，则斜边长为， 
即棱柱的高， 
设外接球的半径为，则，解得， 
上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，且侧棱长等于底面三角形的斜边长， 
则， 
，则， 
当且仅当时“”成立． 
三棱柱的体积． 
即该三棱柱体积的最大值为． 
故答案为：． 

 15.【答案】;【解析】 
该题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题． 
取的中点，连接，，由于，则即为异面直线与所成的角，再用余弦定理即可． 
 
解：取的中点，连接，． 
 
由于， 
则即为异面直线与所成的角， 
设， 
则，，，． 
故答案为． 

 16.【答案】-1;【解析】解：如图：过作，垂足为， 
，， 
，， 
 
 
 
 
 
． 
故答案为： 
如图：过作，垂足为，根据的面积为，可得，再根据向量数量积以及三角函数知识可得． 
此题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

 17.【答案】①④;【解析】 
此题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题. 
根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，线面垂直面面垂直的判定定理逐一判断即可. 
 解：①因为若，则，因为，则；正确；②若，则或异面；故错误；③若，则，的位置关系不确定；故错误；④若，因为，则，又则，故正确.故答案为①④.
 18.【答案】3.2;【解析】解：根据题意，样本数据，，，，的极差为，而， 
则必有或， 
解可得或，又由，则， 
数据为，，，，，其平均数， 
则其方差； 
故答案为： 
根据题意，由数据的极差分析可得的值，进而由方差公式计算可得答案． 
此题主要考查数据的方差、极差的计算，注意求出的值，属于基础题．
 19.【答案】（Ⅰ）证明：取A1E中点F，连接MF，CF， 
∵M为棱A1D的中点， 
∴MF∥DE且MF=，而△ABC中，D，E为边AB，AC的中点， 
则DE∥BC，且DE=， 
∴MF∥BC，MF∥NC且MF=， 
∴四边形MFCN为平行四边形                       ……（4分） 
∴MN∥FC，……（5分） 
∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC， 
∴MN∥平面A1EC．……（6分） 
（Ⅱ）取BD中点H，连PH． 
∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DA1，DE⊥BD， 
∵DB⊥DA1，DE∩BD=D，∴DA1⊥面BCDE， 
∵PH∥A1D，∴PH⊥面BCDE， 
∴PH为三棱锥P-NCE的高．  ……（9分） 
∴PH=，． 
 
 
∴VN-PEC=VP-NCE==   ……（12分）;【解析】 
Ⅰ取中点，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，从而得出结论平面；  
Ⅱ取中点，连，易证为三棱锥的高，代入公式即可． 
该题考查了线面平行的判定和几何体体积计算，构造平行线和找到题中的垂直关系是解题关键．
 20.【答案】解：（1）在△OAB中，由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2×cos=3， 
∴AB=， 
∴S△ABC==，S△AOB==， 
∴四边形OACB的面积为+=． 
（2）由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2×cosθ=5-4cosθ， 
∴AB=，∴AC=， 
由正弦定理得，即sin∠OAB==， 
∴cos∠OAB=， 
∴cos∠OAC=cos（∠OAB+）=-， 
由余弦定理得：OC2=4+5-4cosθ-2×2××（-）=5+2sinθ-2cosθ=5+4sin（θ-）． 
∵θ∈（0，π）， 
∴当θ=时，OC最大，OC的最大值为3．;【解析】 
利用余弦定理计算，分布求出和的面积即可；  
根据余弦定理、正弦定理用表示出，，计算，利用余弦定理得出关于的函数，根据三角恒等变换求出最值． 
该题考查了正弦定理和余弦定理，解三角形的应用，三角恒等变换，属于中档题．
 21.【答案】解：Ⅰ，为等腰三角形，再由，． 
再由底面，可得． 
而，故BD平面． 
Ⅱ侧棱上的点满足， 
三棱锥的高是三棱锥的高的． 
的面积． 
三棱锥的体积 
．;【解析】 
Ⅰ由等腰三角形的性质可得，再由底面，可得再利用直线和平面垂直的判定定理证明平面． 
Ⅱ由侧棱上的点满足，可得三棱锥的高是三棱锥的高的求出的面积，再根据三棱锥的体积，运算求得结果． 
这道题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．
 22.【答案】解：（1）依题意可知， 
∴． 
（2）由条件可知：（m-i）2-n（m-i）+10=0，整理得：（-nm+9）-（2m-n）i=0， 
∵m，n∈R， 
∴，解得m=3，n=6或m=-3，n=-6．;【解析】 
根据已知条件，先求出，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 
将代入方程，再结合复数的相等性准则，即可求解． 
此题主要考查复数的性质，考查转化能力，属于基础题．
 23.【答案】解：（1）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=120°． 
若a=2b， 
所以sinA=2sinB，整理得：sinA=2sin（180°-120°-A）， 
整理得：sinA=， 
解得tanA=． 
（2）∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=1， 
利用三角形的面积： 
所以， 
整理得， 
所以=1++1≥2+2=4， 
当且仅当a=b=2时，等号成立． 
所以=+-2abcos120°，解得c=， 
所以△ABC周长的最小值为2+2+2=4+2．;【解析】 
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果．  
利用三角形的面积和余弦定理的应用及基本不等式的应用求出结果 
该题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．